n n n ⎩ 复旦附中 2017-2018 学年高一期末数学试卷
一. 填空题
1. 在等差数列{a n } 中，若a 4 = 0 ， a 6 + a 7 = 10 ，则 a 7 = . 答案： 6
2. 在数列1、3、7、15、⋅⋅⋅ 中，按此规律，127 是该数列的第 项.
答案： 7
3. 已知数列{a } 的前 n 项和 S = n 2 -1，那么数列{a } 的通项公式为
.
⎧0, n = 1 答案： ⎨
2n -1, n ≥ 2
4. 若在等比数列{a n } 中， a 1 ⋅ a 2 ⋅⋅ ⋅⋅⋅ a 9 = 512 ，则 a 5 = . 答案： 2
5. 方程(3cos x -1)(cos x + 1
3 sin x ) = 0 的解集是
.
π 答案：{x | x = ±arccos + 2k π , x = - + k π , k ∈ Z }
3 6
6. 若数列{a } 满足 a = 13 ， a - a = n ，则 a n
的最小值为 .
n 1
答案：
23 5
n +1 n n
7. 若数列{a } 是等差数列，则数列b = a n +1 + ⋅ ⋅⋅
+ a n +m (m ∈ N * ) 也为等差数列，类比上述性质，相应地，若正项 n n
m
数列{c n } 是等比数列，则数列d n = 也是等比数列
m c n +1 ⋅ c n +2 ⋅⋅ ⋅⋅⋅ c n +m
8. 观察下列式子：1+ 1 ≥ 3 ，1+ 1 + 1 + 1 > 2 ，1+ 1 + 1
+ ⋅ ⋅⋅ + 1 > 5 ，…，你可归纳出的不等式是
.
2 2 2
3 4
2 3 8 2
答案：1+ 1 + 1 + ⋅⋅ ⋅ + 1
≥ 2 3 2n
n + 2
2 9. 在我国古代数学著作《孙子算经》中，卷下第二十六题是：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三， 七七数之剩二，问物几何？满足题意的答案可以用数列表示，该数列的通项公式可以表示为 a n = . 答案：105n + 23
10. 对于下列数排成的数阵：
-1 4 -9 16 -25
36 -49
64
-81 100
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
它的第10 行所有数的和为
. 答案： -505
11. 对于数列{a } 满足：a = 1，a
- a ∈{a , a ,⋅⋅ ⋅, a } (n ∈ N *
) ，其前 n 项和为 S ，记满足条件的所有数列{a }
n
1
n +1
n
1
2
n
n
n
3 3 3 3 = * n
k
中， S 12 的最大值为a ，最小值为b ，则 a - b = 答案： 4017
12. 设n ∈ N *
，用 A 表示所有形如 2r 1
+ 2r 2
+ ⋅ ⋅⋅ + 2r n
的正整数集合，其中0 ≤ r < r < ⋅⋅⋅ < r
≤ n ，r ∈ N (i ∈ N * ) ，
n
b n 为集合 A n 中的所有元素之和，则{b n } 的通项公式为b n = .
答案： n (2n +1 -1)
1
2
n
i
二. 选择题
13. “ b 是1+ 与1- 的等差中项”是“ b 是2 + 与 2 - 的等比中项”的（
）
A. 充分不必要条件
答案： A
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
14. 在数列{a } 中，a = 1，a = 64 ，且数列{
a n +1 } 是等比数列，其公比 q = - 1
，则数列{a } 的最大项等于（
）
n
A. a 7
1
2
B. a 8
a n
C. a 9 2 n
D. a 10
答案： C
15. 若数列 a
π π
cos( n + ) ，若k ∈ N ，则在下列数列中，可取遍数列{a } 前6 项值的数列为（ ）
n
A . {a 2k +1} 答案： D
3 5 B . {a 3k +1} C . {a 4k +1} n
D . {a 5k +1}
16. 数列{a } 中，若 a = a ， a
= π
， n ∈ N * ，则下列命题中真命题个数是（ ）
n 1 n +1
sin( 2
a n ) （1） 若数列{a n } 为常数数列，则 a = ±1 ；
（2） 若 a ∈ (0,1) ，数列{a n } 都是单调递增数列；
（3） ） 若 a ∉ Z ， 任取{a n } 中的 9 项a k
、 a 2 、…、 a 9
(1 < k 1 < k 2 < ⋅⋅⋅ < k 9 ) 构成数列{a n } 的子数列{a k } ， n = 1, 2,⋅⋅⋅,9 ，则{a } 都是单调数列. n
A. 0 个 答案： C
B. 1个
C. 2 个
D. 3 个
三. 解答题
17. 已知{a n } 是一个公差大于 0 的等差数列， 且满足 a 4 a 6 = 96 ， a 3 + a 7 = 20 ， 数列{b n } 满足等式：
a =
b 1 + b 2 + b 3 + ⋅⋅ ⋅ + b
n (n ∈ N * ) . n
2 22 2
3 2n
（1） 求数列{a n } 的通项公式；
n + 1
（2） 求数列{b n + 2
} 的前 n 项和 S n .
答案：（1） 2n ；（2） b n = 2n +1 ， S = 2n +2
- 4 +
n (n + 3) .
4
1 k k n
⎩
n
2
⎧⎪b ⋅ n -1, n 为奇数
18. 已知 b 、c 为常数且均不为零，数列{a n } 的通项公式为a n = ⎰
⎪c ⋅ 3n
,
，并且a 1 、a 3 、a 2 成等差数列，
n 为偶数
a 1 、a 2 、 a 4 成等比数列.
（1） 求 b 、c 的值；
（2） 设 S 是数列{a }
前 n 项的和，求使得不等式 S > 20182 成立的最小正整数 n .
答案：（1） b = 2 ， c = 1；（2） n = 7 .
19. 王某2017 年12 月31日向银行贷款100000 元，银行贷款年利率为5% ，若此贷款分十年还清（ 2027 年12 月31 日还清），每年年底等额还款（每次还款金额相同），设第 n 年末还款后此人在银行的欠款额为 a n 元.
（1） 设每年的还款额为m 元，请用 m 表示出a 2 ； （2） 求每年的还款额（精确到1元）.
答案：（1） a = 100000(1 + 5%)2 - m (1 + 5%) - m = 110250 - 2.05m ；
（2） a 10 = 100000(1.05) - m (1.05) - m (1.05) - ⋅ ⋅⋅ - m = 0 ， 10 9
8
100000(1.05)10
- m (1-1.0510 ) 1 -1.05 = 0 ， m =
100000(0.05)(1.05)10
(1.05)10 -1
≈ 12950 .
20. 设数列{a } 的首项a 为常数，且 a
= 3n - 2a (n ∈ N * ) .
n
1
n +1
n
3n
（1） 判断数列{a n - 5
} 是否为等比数列，请说明理由；
（2） S n 是数列{a n } 的前 n 项的和，若{S n } 是递增数列，求 a 1 的取值范围.
3
3n 3 3
答案：（1） a 1 ≠ 5 时，{a n - 5 } 为等比数列，公比为-2 ；（2） - 4 < a 1 < 2
.
n n +2 n n +1 n 21. 如果数列{a } 对任意的 n ∈ N *
满足： a + a > 2a ，则称数列{a } 为“
M 数列”.
（1） 已知数列{a } 是“ M 数列”，设b = a
- a ， n ∈ N * ，求证：数列{b } 是递增数列，并指出 2(a - a ) 与
n
n
n +1
n
a 4 - a 2 的大小关系（不需要证明）；
n
5
4
（2） 已知数列{a n } 是首项为1，公差为2d 的等差数列， S n 是其前 n 项的和，若数列{| S n |} 是“ M 数列”，求 d
的取值范围；
（3） 已知数列{a n } 是各项均为正数的“ M 数列”，对于 n 取相同的正整数时，比较 u n =
a 1 + a 3 + ⋅ ⋅⋅ + a 2n +1 和
n +1
v =
a 2 + a 4 + ⋅⋅ ⋅ + a 2n
的大小，并说明理由. n
n
答案：（1） 2(a 5 - a 4 ) > a 4 - a 2 ； （2） d ∈ (-∞, - 3
) (0, +∞) ；
5
（3）数学归纳法， u n > v n .。