初中数学中考方程专题 Prepared on 24 November 2020
第四讲方程、方程组及其应用
第一节方程、方程的解
【中考要求】
1.能根据具体问题中的数量关系列出方程；
2.掌握等式的基本性质；
3.了解方程及方程解的概念；
4.会由方程的解求出方程中带点系数的值；
5.能根据具体问题的实际意义检验方程的解是否合理。
【考点一】等式及其性质
1. 用连接的表示关系的式子叫等式；
2. 等式的性质：
1）等式两边同时或同一个数（或式子），结果仍相等；
2）等式两边同一个数，或同除一个
的数，结果仍相等。
【考点二】方程的有关概念。
1. 方程：含有的式叫做方程；
2. 方程的解：使方程左右两边的值的未知数的值叫做方程的解，只含
有一个未知数的方程的解也叫做方程的
3. 解方程：求方程的解或确定方程无解的过程叫做解方程
【练习】
1． 一元一次方程的解是（ ）
A.
B.
C. D.
2．
已知关于x 的方程062
=--kx x 的一个根为x =3，则实数k 的值为（ ） A ．1
B ．-1
C ．2
D ．-2
3． 已知2=x 是一元二次方程022=++mx x 的一个解，则m 的值是 ( ) A ．-3
B ．3
C ． 0
D ．0或
3
4．
已知是二元一次方程组的解，则m+3n 的立方根为 ．
5． 对于实数a 、b ，定义运算“*”：a *b ＝例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝ 42－4×2＝8．若x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，则x 1*x 2＝
第二节一元一次方程及二元一次方程组
【中考要求】
1.了解一元一次方程及二元一次方程组的有关概念；
2.熟练掌握一元一次方程的解法；
3.知道代入、加减消元法的意义，数量掌握代入加减消元的方法，并能选择适
当的方法解方程组；
4.会运用一元一次方程或二元一次方程组解简单的应用题。
【考点一】基本概念：
1. 一元一次方程：只含有未知数，且未知数的次数是
的整式方程；
一般形式：
2. 二元一次方程：含有个未知数，并且含有未知数项的次数为的整式方程；
一般形式：
3. 二元一次方程组：由个一次方程组成，并且含有
个未知数的方程组；
同时使方程组中每个方程等号两边数值都相等的两个未知数的值叫做方程组的解。
【考点二】解法：
1. 一元一次方程的解法：把方程转变成
的形式再求解。
例1：解方程：
2. 二元一次方程组的解法：利用消元或
消元，将“二元”转变为“一元”
例2：解方程组: 1）．2）
27
28 x y
x y
+=⎧
⎨
+=⎩
【考点三】列方程解应用题
例3：中考对策P17 4、5，西城总复习P19 例11
第三节
分式方程及其应用
【中考要求】
1.
了解分式方程的概念；
2. 会解可化为一元一次方程的分式方程并会验根；
3. 会运用分式方程解决简单的实际问题。
【考点一】基本概念： 1. 分式方程：分母中含有
的有理方程；
2. 解法：一般通过
的方法，使分式方程转化为整式方程在求
解； 3.
验根：将结果带入最简公分母中，看公分母的值是否为。
例1：解分式方程
: 1）12
422
=-+-x x
x ． 2）
23112
x x x x -=-+- 3）
2x x 2 =1 1
2x
4）
【考点二】方程的增根: 例2：已知x=1是方程－
=0的增根，这m=
【考点三】列方程解应用题
例3. 中考对策的第20页第18、19、20题。
例4：某城市在道路改建过程中，需要铺设一条长为1500米的管道，为了尽量减少施工队交通的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了20%，结果提前2天完成任务，求实际每天铺设了多少米管道
第四节
一元二次方程
【中考要求】
1. 了解一元二次方程的概念，理解配方法，会用配方法、直接开方法、因式分解
法、公式法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据；能选择适当的方法解一元二次方程；
2. 能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；
3. 会用一元二次方程根的判别式判断根的情况；
4. 能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情
况确定方程中待定系数的取值范围； 5. 会运用一元二次方程解决简单的实际问题。
【考点一】一元二次方程的概念及解法 1. 一元二次方程：只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是
次的整式方程； 标准形式： （
）
例1：已知方程2
1
(1)250a
a x x +-+-=是一元二次方程，则a=
2. 一元二次方程的解法：
解一元二次方程的基本思想：
，即将“二次”转化为“一次”来达到求
解的目的。
一元二次方程的基本解法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。
例2：选择适当的方法解下列方程：
1）2410
x x
-+=3）
2520
-+=2）2
x x
-=-
7(3)4(3)
x x x
4）5）22
-+=-6）(3)(6)8
x x x
69(52)
+-=-
x x
【考点二】一元二次方程根与系数的关系
根的判别式：△=24
b ac
-
有两个不相等的实数根；
有两个相等的实数根；
没有实数根
1. 根的情况的判定
1）关于x的一元二次方程2210
--=有两个不相等的实数根，则实数k的取
kx x
值范围是（）
A．1
k≠ D．1
k>-且0
k≠
k≥-且0
k>- B．1
k<且0
k≠ C．1
2）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）
A．x2＋3＝0 B．x2＋2x＝0
C．(x＋1)2＝0 D．(x＋3)(x－1)＝0
3）对于任意实数k，关于x的方程程x2－2(k+1)x－k2+2k－1=0的根的情况为( )
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
4) 若0205<+k ，则关于x 的一元二次方程042=-+k x x 的根的情况是
（ ）
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.
无法判 5) 若
，且一元二次方程kx 2+ax +b =0有两个实数根，则k 的取值范
围是
例3：m 为何值时，方程2(1)230m x mx m -+++= 1）
实数根
2）只有一个实数根
3）有两个实数根
2.
整数根问题
例4：关于x 的一元二次方程为012)1(2=++--m mx x m ．
（1）求出方程的根；
（2）m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数 练习：西城总复习P 21页第16题 3. 列一元二次方程解应用题
例5：某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，求平均每月增长的百
分率。
例6：南昌市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售. （1）求平均每次下调的百分率.
（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠
4. 小综合
例7：已知关于x 的一元二次方程()22x 2k 1x k k 0-+++=。
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC 的两边AB 、AC 的长是方程的两个实数根，第三边BC 的长为5。
当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值。
例8：已知:关于x 的一元二次方程2(41)330kx k x k -+++=（k 是整数）.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为x 1，x 2(其中),设y = x 2 - x 1，判断y 是否为变量k 的
函数如果是，请写出函数表达式；若不是，请说明理由
例9：关于x 的一元二次方程2(6)890a x x --+=有实根.
（1）求a 的最大整数值；
（2）当a 取最大整数值时，①求出该方程的根；②求223272811
x x x x ---+的值.。