B 的所有 4 阶子式全为零.
2 1 而0 0 3 0
3 2 0, 4
R( B ) 3.
行阶梯形矩阵的秩 = 非零行的行数
例3
1 3 2 2 已知 A 0 2 1 3 ，求该矩阵的秩． 2 0 1 5
解
1 3 0 2
2 0, 计算A的3阶子式，
0 1 1 2 3 2 1 6 4 1 . A 3 2 a 7 1 1 1 6 1 b
当a =-8, b=-2, r(A) =2; 当a = - 8,b≠-2,r(A)=3； 当a≠-8, b= -2, r(Ａ)=3; 当a≠ -8,b≠ -2, r (Ａ)= 4.

1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 B 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R( B ) 3,
R( A) R( B ) 3.
求 A 的一个最高阶非零子式 .
R( A) 3, 知A的最高阶非零子式为3阶 .
1 2 2 1 1 0 2 4 8 2 例5 设A 2 4 2 3 , b 3 3 6 0 6 4
求矩阵A及矩阵B ( A b)的秩.
~ ~ ~ 分析： 设 B 的行阶梯形矩阵为B ( A, b ), ~ 则 A 就是 A 的行阶梯形矩阵， ~ ~ ~ 故从 B ( A, b ) 中可同时看出R( A) 及 R( B).
解
在 A 中，
1 2 2 3
0.
又 A的 3 阶子式只有一个 A， 且 A 0，
R( A) 2.
3 2 2 1 0 3 1 2 5 0 例2 求矩阵 B 的秩. 0 0 0 4 3 0 0 0 0 0
解 B是一个行阶梯形矩阵， 其非零行有3行，
R( A) 2,
R( B ) 3.
以B ( A, b)为增广矩阵的线性方程组无解.
?
三、小结
1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 寻找矩阵的最高非零子式，其阶数即为秩. (2)初等变换法 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩 .
3 3 A 的 3 阶子式共有 C4 C5 40 个 .
考察A的行阶梯形矩阵，
记A (a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ), 则矩阵A1 (a1 , a2 , a4 )的行 阶梯形矩阵为
1 6 1 0 4 1 0 0 4 0 0 0
1 0 ( 2) A 0 0
3 1 3 2 1 4 . 0 0 3 5 0 0 0 0 2 1
解 (1) A的2阶子式
1 1 2 1
1 0, 所有3阶子式
1 1 2 1 1 3 1 2 3 1 2 3 2 1 1 0, 2 1 3 0, 2 1 3 0, 1 1 3 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0
解：
1 2 2 1 0 2 4 8 B 2 4 2 3 3 6 0 6 1 2 2 1 4 2 0 0 0 0 2 1 0 0 6 3
1 2 3 4 A) n, 故 A的标准形为单位阵 , A ~ E . E
可逆矩阵的秩等于阶数 ，故称可逆矩阵 为满秩矩阵. 奇异矩阵为降秩矩阵 .
例3 求矩阵 A的秩
0 2 3 0 1 1 2 3 1 1 解 2 1 6 4 1 r2 2 r1 0 1 2 2 1 r3 3 r1 A 3 2 a 7 1 r4 r1 0 1 a 6 2 1 1 1 6 1 b 0 2 4 4 b 2 3 0 1 1 r3 r2 0 1 2 2 1 r4 2 r21 0 0 a8 0 0 0 0 b 2 0 0
练习 题
求矩阵A的秩 : 2 5 A 3 3 2 5 2 5 ~ 1 8 0 21 0 42 ~ 1 8 0 21
2 1 0 1 0 5 0 0 ~ 1 8 1 0 2 5 1 0 1 0 1 0 0 42 6 0 1 0 ~ 1 8 1 0 3 0 0 21 3 0 6 0 1 8 1 0 1 0 ~ 0 42 6 0 R( A) 2. 3 0 0 0 0 0
1 3 2 3 2 2 1 2 2 0 , 0 0 2 1 00 2 3 2 , 1 3 0, 1 3 0, 2 0 1 2 0 5 0 1 5 2 1 5 1 3 2
0.
R A 2.
1 1 2 3 练习1 求矩阵的秩 (1) A 2 1 1 3 1 0 1 0
显然，非零行的行数为2，
R A 2.
此方法简单！
？
二、求矩阵秩的初等变换法
因为对于任何矩阵Amn , 总可经过有限次初 等行变换把他变为行阶梯形.
问题：初等变换前后，两个矩阵的秩之间的关系？
定理 1 若 A ~ B, 则 R A R B .
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
§9
矩阵的秩
一、矩阵的秩的概念
定义1 在 m n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列（k m , k n），位于这些行列交叉 处的 k 2 个元素, 不改 变它们在 A 中所处的位置次序而得 k阶行列式， 的 称为矩阵 A 的 k 阶子式.
定义 m n 矩阵 A 中不等于零的最高阶非 零子式
所以r(A)=2. (2)由于矩阵A的最后一行元素均为零, 因此A的所 有4阶子式均为零，而容易看出A的一个3阶子式
1 2 3 0 3 1 9 0, 所以r(A)=3. 0 0 3
阶梯形矩阵的秩等 于其非零行的个数.
1 3 2 2 另解 对矩阵 A 0 2 1 3 做初等变换， 2 0 1 5 1 3 2 2 1 3 2 2 0 2 1 3 ~ 0 2 1 3 , 2 0 1 5 0 0 0 0
的阶数称为矩阵 的秩, 记作R( A). A 注意
1. 当A O时，规定 ( A) 0. r
2. 0 r ( A) min( , n) m
r ( A) min(m, n)
A为满秩矩阵
3. r ( I n ) n
4. r ( A) r ( AT )
1 2 3 例1 求矩阵 A 1 2 3 的秩. 2 3 1
r4 3r1
r2 2r1 1 2 2 1 4 2 r3 2r1 0 0 0 0 2 1 r4 3r1 0 0 6 3

1 0 5 1
1 2 0 0 0 0 0 0
2 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0
A1 (a1 , a2 , a4 ) 0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
2
6 11 2 5
16 0.
这个子式也是 A 的一个最高阶非零子式.
对 n 阶可逆矩阵 A，
A 0, A的最高阶非零子式为 A ,
1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 A~ 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
R( A1 ) 3,
A1 中必有 3 阶非零子式. 计算A1的前三行构成的子式
3
2
5
6
0
11 6 5
3 2 6 3 2 2 0 5 2 0
作业：
P 154 D 2