齐次线性方程组 Ax=0 总是有解的，x=0 就是一个解， 称为零解。 所以我们更关心的是它是否有非零解.
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定理 Ax=0 的解的情况：
1.Ax=0 有非零解 r(A)<n 只有零解 r(A)=n
2.若A是方阵，Ax 0有非零解 A 0 只有零解 A 0
3.Ax 0,若m n,则一定有非零解。 m :方程个数 n :未知量个数
k
2
1 2
0
3 2
1
.
其中k1
,
k
为任意常数。
2
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定理 3 线性方程组 Ax=b 有解 r(A)=r(Ab)
定理 4 设线性方程组 Ax=b 有解。 若A为方阵，
如果 r(A)=n，则它有唯一解; A 0,唯一解
如果
r(A)<n，则它有无穷多解。
A
0，无穷解
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x1 x2 a1
a4
x5 x1 a5
RA RB
5
ai 0
i 1
15/44
5
方程组有解的充要条件是 ai 0.
i 1
x1 x2 a1
由于原方程组等价于方程组
x2 x3
x3 x4
a2 a3
例４
证明方
程组
x2 x3
x3 x4
a2 a3
x4
x5
a4
x5 x1 a5
有解的充要条件
是a1 a2 a3 a4 a5 0.在有解的情况下，
求出它的一切解．
解证 对增广矩阵B进行初等变换， 方程组的增广矩阵为
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1 1 0 0 0 a1
0 1 1 0 0 a2
第十-十一次
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回顾
3.秩的性质
新
(1) 设A是m n矩阵，则r( A) min{ m, n},
A是n阶方阵，则r( A) n
定义：若 n 阶方阵 A 的秩 r(A)=n,则称 A 为满秩矩阵， 否则称为 降秩矩阵.
A为满秩矩阵的充要条件是 A 0，故满秩矩阵 就是可逆矩阵.
(2) r( AT ) r( A). (3) 阶梯阵的秩等于它的非零行数.
解 用初等变换把增广矩阵化为行最简形，
(Ab) 112
2 1 2
3 1 2
121
~r2 2r1
r3 r1
1 0 0
2 5 4
3 7 5
233
9/44
1 0 0
2 5 4
3 7 5
~ 233
r3
4 5
r2
(1)r2
1 0
0
2 5
0
3 7 3
5
2
3 3
5
~ ~ 5
3
r3
1 0 0
2 5 0
3 7 1
321
r1 3r3 r2 7r3
1 0 0
2 5 0
0 0 1
1501
~1
5
r2
1 0 0
1
r1 2r2
0 0
1 0
0 1
21
r(A)=r(Ab)=n
x1 1, x2 2, x3 1.
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例
3
解线性方程组
x1 x2 x3 x4 2x1 2x2 x4
可写成矩阵形式 Ax b,
若b 0, 称Ax 0为齐次的；
若b 0, 称Ax b为非齐次的.
满足方程组Ax b的向量x, 称为它的解向量, 也 称 为 解.
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(A
b)
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1n a2n
amn
b1 b2 bm
称为增广矩阵.
若增广矩阵为阶梯阵，则称它所对应的方程组 为 阶 梯 形 方 程 组.
定理 若线性方程组 Ax=b 的增广矩阵(Ab)经初等行变换 化为(Ud),则它与方程组 Ux=d 是同解的.
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用初等行变换解线性方程组： 1)写出增广矩阵（A b); 2)用初等行变换将（A b）化为阶梯阵，
有解时化为最简形； 3)写出同解的最简形方程组, 得出原方程组的解。
2.3.2 齐次线性方程组
B 0
0
1
1
0
a3
0 0 0 1 1 a4
1 0 0 0 1 a5
1 1 0 0 0 a1
0 1 1 0 0 a2
~
0
0
1 1 0
a3
0 0 0 1 1 a4
5
0 0 0 0 0 ai
i1
x1 x2 a1
x2 x3
x3 x4
a2 a3
x4
x5
1 2
x1 x2 x3 2x4 1
~ 解 (Ab)
1 2 1
1 2 1
1 0 1
1 1 2
112
r2 2r1 r3 r1
~ 100
1 0 0
1 2 2
1 3 3
100 r3 r2 100
1 0 0
1 2 0
1 3 0
100
~1
2
r1
r2 r2
1 0
1 0
0 1
1 2
3 2
1 0
0 0 0 0 0
11/44
1
1
0
1 2
0
0
1
3 2
0 0 0 0
得同解方程组：
x1
x2 x3
1 2
x4
3 2
x4
1 0
1
0 r(A)=r(Ab)<n
0
即
x1
1
x2
1 2
x4
x2
x3
x2
3 2 x4
x4
x4
得
原
方
程
组
的
解 xx12
x30
3 7 7
2 3 6
~(1)r2
r3 r2
1 0 0
2 5 0
3 7 0
323
r(Ab)=r(A)+1
从最后一非零行可知 0x1 0x2 0x3 3 即0 3.
这是一个矛盾方程，所以原方程组无解。8/44
例 2 解线性方程组
x1 2x1
2x2 3x3 x2 x3
2 1
x1 2x2 2x3 1
4.基本未知量个数: r( A) r 自由未知量个数: n r
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2.3.3 非齐次线性方程组
例 1 解线性方程组
x21
x1
2x2 3x3 x2 x3
2 1
3x1 x2 2x3 0
解
~ (Ab)
1 2 3
2 1 1
3 1 2
102
r2 r3
2r1 3r1
1 0 0
2 5 5
即： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩
阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
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2.3 线性方程组的解
2.3.1 概述
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1
am1 x1
a22 x2
am2 x2
a2n xn amn xn
b2 bm
— m n方程组
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2.2.2 矩阵秩的求法
因为对于任何矩阵Amn ,总可经过有限次初 等行变换把他变为行阶梯形.
问题：经过变换矩阵的秩变吗？
定理1 若 A ~ B,则 RA RB. 应明白其意义
表明初等变换不改变矩阵的秩.
用 初 等 变 换 求 矩 阵 的 秩：
1) A 初等行(列）变换 阶梯阵U ,
2)r( A) r(U ) U的非零行数。