复变函数与积分变换试题(一）一、填空(３分×10)１.得模ﻩﻩ、幅角ﻩ。
２.-8i得三个单根分别为：、、。
3.Lｎz在得区域内连续。
4．得解极域为:ﻩﻩﻩﻩﻩ。
５.得导数ﻩﻩﻩﻩﻩ。
6. ﻩﻩ。
７.指数函数得映照特点就是:ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
8．幂函数得映照特点就是: ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
9.若=F [f(t)]、则= F ﻩﻩﻩﻩ。
１０.若f(ｔ)满足拉氏积分存在条件、则L [f(ｔ)］= ﻩﻩﻩ。
二、(10分)已知、求函数使函数为解析函数、且f(0)＝0。
三、(10分)应用留数得相关定理计算四、计算积分(5分×2)1.2．C:绕点ｉ一周正向任意简单闭曲线。
五、(1０分)求函数在以下各圆环内得罗朗展式。
1.2.六、证明以下命题：（5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。
（2）七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x （0)＝y （０)=z (0)＝0得解y (t )。
八、(１0分)就书中内容、函数在某区域内解析得具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案(一)一、1．ﻩﻩ、ﻩ ﻩ２、ﻩ-i ﻩﻩ2ｉﻩ-i ﻩ3、ﻩZ 不取原点与负实轴 ４、 空集５、ﻩ2z ﻩ6.０ 7、将常形域映为角形域ﻩ８、 角形域映为角形域 9、ﻩ ﻩ1０、 二、解:∵ﻩ ∴ ﻩ(5分)∵f (0）=0ﻩﻩﻩﻩc =0(３分)∴ﻩﻩ(2分)三、解：原式＝(2分)ﻩ（2分）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=(2分) =四、1.解:原式ﻩ(３分) z 1=0 ﻩｚ2=１ﻩ=0ﻩﻩ(2分)2．解:原式=五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（ ﻩﻩ(2分) ﻩ２.解: （1分)ﻩ(2分）六、1.解:∵ﻩ(3分）ﻩ∴结论成立 （２)解:∵ﻩ(２分)ﻩ ∴与1构成傅氏对∴（2分)七、解:∵ﻩﻩ（3分)S (２)-（1):∴ （3分)∴八、解：①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 得共扼函数ﻩ1０分复变函数与积分变换试题（二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导就是ｆ(ｚ）在D 内解析得（ﻩ ﻩ）条件。
2.w =z 2在z =-ｉ处得伸缩率为(ﻩ)。
3.得指数表示式为（ﻩﻩﻩﻩﻩ)。
4.Ｌｎ(-1)得主值等于( ﻩﻩ)。
5.函数ｅz以( ）为周期。
6.设C为简单闭曲线、则=(ﻩﻩ)。
7.若z0为f（z)得m级极点、则(ﻩﻩﻩ)。
８.若F f(ｔ)(ﻩﻩﻩ)。
9.与（ﻩ)构成一个付立叶变换对。
10．已知L 、则Ｌ (ﻩﻩ)。
二、计算题(7分×7）1.求p、m、n得值使得函数为解析函数。
2.计算３.已知调与函数、求解析函数使得。
4.把函数在内展开成罗朗级数。
５.指出函数在扩充复平面上所有孤立奇点并求孤立奇点处得留数。
6.计算7.利用留数计算积份三、积分变换(7分×3)1．设(为常数)、求Ｆ[ｆ(t)]。
2.设f（t)以为周期、且在一个周期内得表达式为求L ［ｆ(t)］。
ﻩ 3.求方程满足条件得解。
(L [ｅ-ｔ］=）。
复变函数与积分变换试题答案(二）一、1.ﻩ充要条件２、2ﻩ 3、ﻩﻩﻩ４、ﻩ５、ﻩ６、ﻩ原式=ﻩ7. 8、9、ﻩ10、二、1、ﻩ解: ﻩ（3分)ﻩﻩ3m＝p∴ﻩ(1分)２.原式=（25分)(2分)3.原式=ﻩﻩﻩﻩﻩﻩ(2分)∴(2分)∴ﻩﻩ(1分)4.解：ﻩ(2分)ﻩﻩﻩﻩ(2分)∴ﻩﻩ(３分)5.解:ﻩ (2分)ﻩﻩﻩ(２分）ﻩﻩ(2分)ﻩﻩ(1分)6.解:原式(3分)⎪⎪⎭⎫⎝⎛+π=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-π=-22231,1Re 1,1Re 2122e e i z ze s z ze s i z z 分）（(1分)7.解:原式＝(2分）=(１分) =(１分) =（2分） =（1分） 三、1.解:Ｆ [f (t )］ﻩﻩ(３分)ﻩ (4分)2、解:L [f (ｔ)]=(２分)ﻩ (2分）==(2分)(1分)＝３.解:F=F[e －t］ﻩﻩ (1分) ﻩﻩﻩ(２分) =ﻩﻩ(２分) ＝ﻩﻩ(2分）复变函数与积分变换试题(三)１、(5）复数与点对应,请依次写出得代数、几何、三角、指数表达式与得3次方根。
它们得解析域就是哪类点集。
3、(9）讨论函数得可导性、并求出函数在可导点得导数。
另外、函数在可导点解析吗？就是或否请说明理由。
4、（7）已知解析函数得实部、求函数得表达式、并使。
５、(6×2）计算积分:（1),其中为以为圆心,为半径得正向圆周，为正整数;（２)。
6、（5×2)分别在圆环（１)、(2) 内将函数展为罗朗级数。
7、(12）求下列各函数在其孤立奇点得留数。
(1) ; (2) ；（3）、8、(7)分式线性函数、指数函数、幂函数得映照特点各就是什么。
9、(6分)求将上半平面保形映照成单位圆得分式线性函数。
1０、（5×２)(1)己知F、求函数得傅里叶变换；(2)求函数得傅里叶逆变换11、(5×2)(1)求函数得拉普拉斯变换；（2）求拉普拉斯逆变换L-1。
１2、（6分)解微积分方程:。
复变函数与积分变换试题答案（三)1、（５分）请依次写出得代数、几何、三角、指数表达式与得３次方根。
:2、（6分)请指出指数函数、对数函数、正切函数得解析域、并说明它们得解析域就是哪类点集。
指数函数、对数函数、正切函数得解析域分别为:整个复平面,无界开区域；除去原点及负半实轴、无界开区域、;除去点、无界开区域。
３、(９分)讨论函数得可导性、并求出函数在可导点得导数。
另外、函数在可导点解析吗?就是或否请说明理由。
解:、可微所以时函数可导、且。
因为函数在可到点得任一邻域均不可导、所以可导点处不解析。
４、 (6分)已知解析函数得实部、求函数得表达式、并使。
解:3222323232323236,33,3()3i(3)(0)0()3i(3)u y x yu v u v xy y xx y y x v x xy cf z y x y x xy icfcf z y x y x xy=-∂∂∂∂=-==-=-∂∂∂∂∴=-+=-+-+=∴==-+-5、（6×２)计算积分:(1),其中为以为圆心,为半径得正向圆周, 为正整数;(2）。
解 (1)设得方程为,则ﻩﻩﻩﻩﻩﻩ所以ﻩ (当时)(当时)。
(2)ﻩﻩﻩ、6、(5×2)分别在圆环(１)、(2）内将函数展为罗朗级数。
解：（1),、(2），、7、 (12)求下列各函数在其孤立奇点得留数。
（1) ; (2） ; (３）、解：(1) 为得可去奇点,ﻩ ;(2) 为得三阶极点, 为得一阶极点,,ﻩ;(3) 为得本性奇点，。
8、(7）分式线性函数、指数函数、幂函数得映照特点各就是什么。
分式线性函数具有保角性、保圆性、保对称性得映照特点、指数函数具有将带形域映照为角形域得映照特点、幂函数具有将带形域映照带形域得映照特点。
９、（6分)求将上半平面保形映照成单位圆得分式线性函数。
解:10、(５×2）(1）己知 F、求函数得傅里叶变换；（2)求函数得傅里叶逆变换。
解 (１) F，F;（2)F-1Ｆ－1ﻩﻩ,11、(５×2)（1)求函数得拉普拉斯变换;（2)求拉普拉斯逆变换Ｌ-1。
解 (1) LL；（2)Ｌ-1= L-1=L-=L－12L-1=()。
1２、(6分）解微积分方程:。
解:,, 。
复变函数与积分变换试题及答案(四)一、填空题:（每题3分共２１分)１．得三角表达式。
２．。
３.设则1 。
4.幂级数得与函数得解析域空集。
5．分式线性函数、指数函数得映照特点分别就是: 保角性、保圆性、保对称性、保伸缩性、将带形域映照为角形域。
6.若L、则Ｌ。
二、简答题:(每题6分共18分)1.叙述函数在区域内解析得几种等价定义。
答(1)区域内可导、则称在区域内（2分)(2)若得实部、虚部均为内得可微函数、且柯西—黎曼方程成立、则称为在内得解析函数。
(２分)(3)若得虚部为实部得共轭调与函数、则称在区域内解析。
(2分)2.若分别为及得阶及阶零点、则在具有什么性质。
答若、则为得阶零点; (2分)若、则为得可去奇点; (2分）若、则为得阶极点；(２分)3.叙述将上半平面保形映照为单位圆盘且将映照为得分式线性函数产生得关键步骤。
答(1)映照为、映照为、有 (３分)(2)当时、、有(2分)(３)使得映为 (1分)三、计算题:(每题7分共４９分)解 1.求得解析点;,、、、仅在处成立 (5分）处处不解析。
(2分)2.求在时得罗朗级数; 解 1141114()() 2[] 22523513(1)3f z z z z z z =+=+-+-+（分）（分）3.求积分 为沿单位圆得左半圆从到得曲线。
解4.求积分 。
解5.求积分 解 35111111sin (0|1|)113!(1)5!(1)z z z z z =-+-<-<+∞----6、求函数得傅里叶变换、 解 FF FF 7．求函数得拉普拉斯逆变换。
解L-1四、证明及解方程（每题6分共１２分)１.证明:。
证明2.解方程:。
解复变函数与积分变换试题及答案(五)一、填空题（每题４分、共20分)1、2、 03、幂级数得收敛半径 24、=5、设、则付氏变换二、单项选择题(每题4分、共20分）１、就是函数得A．极点、Ｂ、本性奇点、C、可去奇点、D、一级零点【 B 】2、函数在复平面上得所有有限奇点处留数得与：A、 1 Ｂ、 4 C、-1 D、 2 【 A 】3、设C为正向圆周、则积分等于4、设、则为、Ａ．1、 Ｂ．2、 Ｃ．０、 D.。
【 C 】５、设、则拉氏变换为A.、 B 、 、 Ｃ、 、Ｄ、 。
【 A 】三、解答下列各题（1-2每小题６分、3-６每小题7分、共４０分)1、设就是实数、函数在复平面解析、求。
解：2、映射把圆周变成什么曲线?写出曲线得方程。
答:变成圆3、求积分、其中。
解:４、求积分、其中。
解:5、求函数得Fou ｒie ｒ变换。
解:22F[()]()111 113 .1t i t t i t i t f t e e dt e e dt t e dt i i ωωωδωωωω+∞+∞-----∞-∞=++=++-++=+⎰⎰⎰ 6、求函数得La ｐl ａce 变换。
解:四、解答下列各题(1、３每小题7分、2小题6分、共20分)1、将函数在圆环域展开成L ａure ｎt 级数。