计算水力学第三章
第四节 截断误差和相容性
以FTBS格式为例
等价方程
截断误差
FTCS格式的截断误差 FTFS格式的截断误差 蛙跳格式的截断误差
对流方程的差分方程等价形式
差分方程和相应的微分方程相容
定解条件 差分算子
截断误差 定解问题相容
第五节 收敛性
相容性:是指当自变量的步长趋于零时, 差分格式与微分问题的截误差的范数是 否趋于零,从而可看出是否能用此差分格 式来逼近微分问题。 收敛性:是指当自变量步长趋于零时,要 求差分格式的解趋于微分方程定解问题 的解。要求差分格式的解(数值解)与微 分方程定解问题的解(精确解)是一致的。
二、偏导数的差商近似
1.Taylor展开法 通过对差商近似点(i,j)的Tay lor展开,可以分析差商对偏导近似 的精度
一阶向前差商
一阶向后差商
二阶中心差商
边界处偏导数的差商近似
对点(0,j)进行Taylor展开
构造一阶偏导数的二阶精度的差商近似 必须有
解得
构造二阶偏导数的差商近似必须有
差分格式的解 微分问题的解 离散误差 差分格式收敛 相容性是收敛性的必要条件, 相容性 是形式上的逼近,收敛性是解的逼近, 相容性不一定能保证收敛性
例微分方程定解问题
解析解为
将[0,a]等分为n段 则步长Δx=a/n
差分解为
微分问题
FTBS格式
离散误差
由截断误差分析有
深水波相速度
为弥散波或称色散波 浅水波相速度
为非弥散波
1、无耗散和色散的模型
放大因子的模|r|=1,说明波在传 播过程中,经过Δt时刻后振幅没有衰减。 放大因子的幅角Δφ=-CkΔt,表明传 播Δt时刻后,同一位置x处波的相位迟 后为Δφ,它是相函数的差;而相速度C 为与波数无关,没有色散现象。方程描 述了无衰减、无弥散的物理现象。
2、有耗散的模型
分别为二阶、四阶耗散
系数。 方程描述了有物理耗散而无色散的波运 动。耗散系数引起波幅的衰减,但相速 度不发生改变。
3、有弥散的模型
ε3、ε5称为三阶、五阶弥散系数 方程描述了有弥散的波动,波分量的振幅 值不随时间变化,而相速度是波数k的 函数。
三、数值耗散和弥散
用差分方程逼近微分方程时引入了误差, 有时这些误差项使计算结果的幅值衰减 和相速度发生变化,其作用相当于流动 中的物理耗散和弥散,这种虚假的物理 效应称作数值耗散和数值弥散。
“逆风”格式
二、物理耗散与弥散
一维行波的波高
在一固定时刻,空间上相差一个波长λ其 波高相等
所以kλ=2π k称为波数 在一固定位置,时间相差一个周期T, 其波高相等
f为频率。 C表示单位时间传播的距离,称为相速 度。 物理耗散是指波幅A因阻尼作用而衰减 的现象 弥散是指波的相速度C随波数发生变化 的现象。
根据此定理,在线性适定和格式相容的条件下, 只要证明了格式是稳定的,则一定收敛;若不 稳定,则不收敛。由于收敛性的证明往往比稳 定性更难,故人们就可以把注意力集中在稳定 性的研究上。
第八节 差分方程数值效应
微分方程是描述物理量在时间和空间上 的连续变化的规律 差分方程来描述离散化后物理量的变化 规律 离散误差使原系统的物理性质和规律遭 到歪曲和破坏的作用称为数值效应或离 散近似的伪物理效应。 必须对这些效应有明确的概念,从物理 上来考虑数值格式的合理性,减少数值 效应的影响。
差分 差商
向前差分
向后差分 中心差分
一阶导数,对应的差分称为一阶差分。 对一阶差分再作一阶差分,所得到的称 之为二阶差分。二阶向前差分:
任何阶差分都可以由其低一阶的差分得到:
函数的差分与自变量的差分之比,即为函 数对自变量的差商 一阶向前差商
一阶向后差商
一阶中心差商 二阶中心差商
第七节 Lax等价定理
相容性是收敛性的必要条件,稳定性与收敛性 有一定的联系。Lax等价定理就是阐述相容性、 收敛性和稳定性三者之间的关系的。
Lax等价定理:对一个适定的线性微分问题及一 个与其相容的差分格式,如果该格式稳定则必 收敛,不稳定必不收敛。换言之,若线性微分 问题适定,差分格式相容,则稳定性是收敛性 的必要和充分的条件。
单增长型的不稳定称为静力不稳定性
过冲型振荡的不稳定称为动力不稳定
von Neumann稳定性分析方法
定解问题
FTBS格式
初值误差 误差传播方程
误差展开成傅氏级数
代入误差传播方程
对任意的k有
G为放大因子
FTBS格式稳定条件
FTBS格式稳定条件 FTCS格式为一不稳定格式
一、“逆风”效应
物质的对流输运出现了与波速相反方向 传播的不合理现象,称为“逆风”效应, 是一伪物理现象的数值效应。 对流方程
FTCS格式
假定在某瞬时j在某一断面k处引入某 一物理量u=1,η=1
由表可见,物理量向上、向下游两个方向传播,出现 了与波速相反方向传播的不合理现象,称之为“逆风” 效应。 FTCS格式所描述的物理量的运动规律与它所近似的原 问题固有的规律相差甚大,不仅计算结果误差很大, 而且也往往是引起差分格式不稳定的一个因素,前面 已证明了该差分格式是无条件不稳定的。 对流方程采用一阶精度FTBS格式或FTFS格式能近似 原问题的物理现象。采用何种格式还与波速的方向有 关,当C为正时采用FTBS格式,当C为负时采用 FTFS格式。若C的符号在计算过程中会改变,例 如潮水河道,则可以采用“逆风”格式:
网格剖分使得每一空间步长、时间步长 均相等,则称该网格为一均匀网格,否 则称之为非均匀网格 数值解主要是求解节点上的末知变量的 数值,利用有限的节点上的值来代替整 个求解域内的连续函数值。 概念:离散、插值、误差 构造差分方程、分析数值误差
第二节 偏导数的差商近似
一、差分、差商的基本概念 解析函数 导数定义
FTCS格式
FTFS格式
蛙跳格式
显式格式:由第j时间层上的值,可直接算出 第j+1时间层上的值的格式。 隐式格式:不能直接从j时间层上值直接解出, 需联立求解j+1层上的值的格式。 对同一个定解问题,可以有多种差分格式, 多种步长参数来近似,从而也得到若干个差分 近似解。那么这些解是否可以都作为原定解问 题的近似解?那些解精度高?为什么? 相容性、稳定性及收敛性分析
计算水力学
第三章 有限差分的基本理论
第一节 基本概念
一维对流方程
计算平面为x-t的上半平面。在平面上画出 两族平行于坐标轴的直线,把求解域分成矩形 的计算网格。网格线的交点称为节点,x方向 上网格线之间的距离Δx称为空间步长,t轴方 向上网格线之间的距离Δt称为时间步长
x-t平面、计算网格
网格节点 节点函数值
FTFS格式稳定条件
蛙跳格式稳定条件
Von Neumann稳定性分析法主要用于 线性初值问题的稳定性分析。对于非线 性问题用局部线性化的方法加以推广。 局部线性化方法假定非线性系数变化得 很缓慢,因而可用局部网格结点上的函 数值代入后作为常数处理,并认为每一 网格结点上的计算稳定性与相邻结点无 关,以网格结点上最小的局部稳定极限 值作为整个差分问题的稳定极限值。
用高阶多项式插值可得到高阶差商表达式。 高阶多项式插值具有龙格不稳定性,使得插值 对计算误差十分敏感。 多项式插值法在计算流体力学中多用于处理边 界处的差商近似。 偏导数的差商近似还有其它多种方法,但最终 均需用Taylor展开来计算其近似的误差, 因此在实际计算中通常均用Taylor展开 法来构造,因为此法在构造差商近似的同时还 得出了其近似的误差精度。
解得
构造二阶偏导数具有二阶精度的差商近 似必须有
解得:
2.多项式插值法
用多项式插值法把待求函数表示成含待 定系数的解析函数,由节点函数值确定 该系数,然后对此函数求偏导数,得到 逼近偏导数的差商表达式。 设函数u可用抛物插值公式来近似:
设原点x=0在点i的位置上,则有
解出待定系数
a.取Δx=1,Δt=0.5 , C=1.0 则
b.取Δx=1,Δt=2,C=1.0则
对同一定解问题的同一差分格式(FTBS) 其不同的空间与时间步长,将得到不同的结果, 如果作为原始定解问题的近似解,那一个解精 度高呢?。 不稳定的解是不能作为原定解问题的近似解的。 偏导数的差商近似并非一种,同一偏微分方程 的差分方程也并非一个,可以有若干个,对原 始定解问题也相应有若干种差分格式。
函数
导数 差商
差商与导数的比值为衰减比:
长波有λ>>Δx,衰减系数:
因为kΔx<<1,所以长波幅值很小,差商是 微商好的近似,且当Δx→0时r→1
考虑可辨认的短波。如λ=4Δx,则k Δx=2πΔx/λ=π/2,衰减比为 r =2/π,这时差商带来了很大的误差。 对于和空间步长Δx接近的短波,差商无 法近似导数。
第三节 差分方程
偏导数用其差商近似来代替 偏微分方程转变为相应的代数方程称之 为差分方程。 对流方程
ห้องสมุดไป่ตู้
在点(i,j)成立