2、若xa (t ) 为带限信号，最高频率分量为 Qh ，即
X a ( j ) X a ( j ) 0 h h
则当采样频率 Qs 2Qh 时的 xs ( jQ) 频谱无混叠失真， 可以由 xs (t ) 无失真的恢复 xa (t ) 。 3、反之当采样频率 Qs 2Qh 时的 xs ( jQ) 频谱有混叠失真 xs (t ) 无失真的恢复 xa (t ) 。 ，无法由

sin
(t nT )
若记 n (t ) (t T nT ) T
sin
(t nT )
T (t nT ) T

为内插函数，则xa (t ) n xa (nT ) n (t )
*输出=原信号抽样点的值与内插函数乘积和。
3.内插函数 n (t )






n
xa ( ) ( nT )h(t )dt
n xa ( ) ( nT )h(t )dt

n xa (nT ) h(t nT ) n xa (nT )
由于 Y ( j) X s ( j) H ( j) X a ( j) 卷积定理 y(t ) xs (t ) h(t ) xa (t ) 因为
T H ( j ) 0 s 2 s 2
，根据时域
所以
1 h(t ) F H j 2
一、信号采样
xa (t )
采样器一般由电子开关组成，开关每隔Ｔ秒短暂地 闭合一次，将连续信号接通，实现一次采样。
采样x s (Βιβλιοθήκη )xa (t )
x s (t )
s (t )
x ( t ) x ( t ) s ( t ) s(t ) n [u (t nT ) u (t nT )] 采样过程 s ，其中 a
1 xs (t ) xa (t ) T (t ) xa (t ) k e jk st T
X s ( j) xs (t )e jt dt

1 xa (t ) k e jk st e jt dt T 1 k xa (t )e j ( k s )t dt T 1 k X a ( j ( k s )) T
采样定理解决了在什么条件下，采样信号能够保留原信号全 部信息的问题
如何从采样信号中恢复原来的连续信号？ 1、从工程实现的角度，可以利用理想低通滤波器提取原 信 号的频谱。 2、从数学的角度就是函数的插值。
三.信号的恢复与采样内插公式
1.频域分析
xs (t ) xa (t ) 无失真恢复的条件：满足时域采样定理， s 2h 即
xs (t ) 的频谱为 X s ( j)
1 X a ( j ( k s )) k T
假设 xa (t )为带限信号,最高频率分量为 Qh ,则有
(1).Qs 2Qh
X a ( j )
(2).Qs 2Qh
X a ( j )
1
1
h
0
h

h
0
h
xs (t ) xa (t ) T (t ) xa (t ) n (t nT )

n xa (t ) (t nT ) n xa (nT ) (t nT )

T (t )
xs (t )
0
t
0
t
注意区分 xs (t )和x(n) ，它们都是连续信号采样后的离散序列表 示，不同点是：xs (t ) 实质是连续时间信号，该信号仅在采样周 期的整数倍上取非零值，而 x(n) 为离散时间信号，它只依赖 于变量n，不包含任何有关采样周期或采样频率的信息，也就 是说相当于引入了时间归一化。

s
其中
1 T2 Ak T (t )e jk st dt T T 2 1 T2 n (t nT )e jk st dt T T 2 1 T2 (t )e jk st dt T T 2 1 T
所以
T (t )
1 jk s t e k T
（1）在抽样点上，信号值不变；
（2）抽样点之间的信号则由各抽样函数波形的 延伸叠加而成。
（3）只要满足采样频率高于两倍信号最高频谱， 整个连续信号就可以用它的采样值完全代表， 而不损失任何信息 ——奈奎斯特定律
xa (t )
S a (t T ) T
S a (t 3T ) T
•奈奎斯特采样定理：要使实信号采样后能够不失真 还原，采样频率必须大于信号最高频率的两倍， Ωs≥2Ωh
s 常 称 作 折 叠 频 率 2 .2Q h 称 为 奈 奎 斯 特 速 率
•实际工作中，考虑到有噪声，为避免频谱混淆，采 样频率总是选得比两倍信号最高频率h更大些， 如Ωs >(3--5)h。 •同时，为避免高于折叠频率的噪声信号进入采样器 造成频谱混淆，采样器前常常加一个保护性的前置 低通滤波器（抗混叠滤波），阻止高于S/2频率分 量进入。

X s ( j )
1T
s 2
1T
X s ( j )
s 2
s
h
0
h
s

s h s 2
0
s 2
h s

X (e j )
1T

2

h
0
h hT
2

结论:
xs ( jQ)是 xa ( jQ) 的周期延拓，周期为 Qs 2 / T ,且幅度上 1、 要乘以主要因子1 / T 。
T
2T
3T
为脉宽为 ，周期为T的矩形脉冲周期信号， 为开关闭合时间 ，T为采样周期。
s(t )
xa (t )


xs (t )
0
t
0
t
0
t
实际 采样：
S(t)

S(t)为脉冲序列
…
0
T
t
xs (t )
1 fs T
t
理想采样
1、 开关闭合时间τ→0时，为理想采样。 2、 特点：采样序列表示为冲激函数的序列，这些冲 激函数准确地出现在采样瞬间，其积分幅度准确地 等于输入信号在采样瞬间的幅度。 即：理想采样可看作是对冲激脉冲载波的调幅过程。
二.采样信号的频谱和采样定理
由上可知 xs (t ) xa (t ) s(t ) ，且 s(t ) T (t ) n (t nT )

为周期信号,故可以将 T (t ) 展开成傅立叶级数,即
T (t ) k Ak e jk t , Qs 2 / T
sin
(t nT )
T (t nT ) T
的特性：
在抽样点mT上，其值为1;其余抽样点上， 其值为0。 S a (t mT ) 1 T
(m-1)T (m+1)T (m+2)T (m-2)T mT
4.xa t
m
x m TS
a


a
T
t m T的说明:
3、实际情况下，τ＝0达不到，但τ<<T时，实际采 样接近理想采样，理想采样可看作是实际采样物理 过程的抽象，便于数学描述，可集中反映采样过程 的所有本质特性，理想采样对Z变换分析相当重要。
0 理想采样：当 ，s(t ) T (t ) n (t nT )
从而有：
1



H ( j)e jt d
s sin t sin t 1 s / 2 jt 2 T T e d s 2 s / 2 t t T 2
因此低通滤波器的输出可表示为：
y (t ) xa (t ) xs (t ) h(t ) xs ( )h(t )dt
实现
x s (t )
H ( j )
xa (t )
H ( j )
T
H j
s 2
T , 0 ,
0
s 2

s 2 s 2
由于 Y ( j) X s ( j) H ( j) X a ( j) ，故 我们可以在滤波器输出端无失真的恢复信号
2、时域分析
第 4章
连续时间信号的采样
对信号进行时间上的离散化，这是对信号作 数字化处理的第一个环节。 研究内容： • 信号经采样后发生的变化（如频谱的变化） • 信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始信号、 如何不失真地还原信号） • 由离散信号恢复连续信号的条件 采样的这些性质对离散信号和系统的分析十 分重要，要了解这些性质，首先分析采样过程。