广东省云浮市郁南县蔡朝焜纪念中学2020-2021学年八年级上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列长度的三条线段，哪一组不能构成三角形（ ）A ．3，3，3B ．3，4，5C ．5，6，10D ．4，5，9 3．如果一个多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形的边数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．84．下列计算结果正确的是（ ）A ．（ab ）3=a 3b 3B ．x•x 2=x 2C ．（a b 2）3=a 3b 3D ．a 6÷a 2=a 3 5．下列从左到右的运算是因式分解的是（ ）A ．2x 2﹣2x ﹣1=2x （x ﹣1）﹣1B ．4a 2+4a+1=（2a+1）2C ．（a+b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2D ．x 2+y 2=（x+y ）2﹣2xy6．如图，∠ABC=∠ABD ，要使△ABC ≌△ABD ，还需添加一个条件，那么在①AC=AD ；②BC=BD ；③∠C=∠D ；④∠CAB=∠DAB 这四个关系中可以选择的是（ ）A ．②③B ．②④C ．①③④D ．②③④ 7．若22()()a b a b A +=-+,则A 为( )A ．2abB ．-2abC ．4abD ．-4ab 8．若(x －2)(x 2＋ax ＋b)的展开式中不含x 的二次项和一次项，则a 和b 的值分别为( ) A ．a ＝0，b ＝2 B ．a ＝2，b ＝0 C ．a ＝－1，b ＝2 D ．a ＝2，b ＝4 9．图（1）是一个长为2a ，宽为2b （a ＞b ）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）A．2ab B．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b210．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2EC，给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AB＝3BF，其中正确的结论共有( )A．①②③B．①③④C．②③D．①②③④二、填空题11．点A(2，－3)关于x轴的对称点A′的坐标是__________．12．因式分解：x﹣x3=_____．13．已知等腰三角形的一个内角为50°，则顶角为____________．14．若x2﹣kx+36是完全平方式，则k=_____．15．如图，在△ABC中，BD⊥AD，∠A=15°，AC=BC=6，则BD的长是_____．16．如图，四边形ABCD中，∠BAD=136°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使三角形AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为____度．三、解答题17．计算：（﹣2a）3-（﹣a）•（-3a）2 +018．分解因式：（x-1）（x﹣3）+119．如图，已知E、F在AC上，AD//CB，且∠D=∠B，AE=CF．求证：DF=BE．20．如图，在R t△ABC中，∠ACB=90°（1）用尺规作AB的垂直平分线MN交BC于点P（不写作法，保留作图痕迹）．（2）连接AP，如果AP平分∠CAB，求∠B的度数．21．先化简，再求值．[（x+3y）（x﹣3y）+（2y﹣x）2+5y2（1﹣x）﹣（2x2﹣x2y）]÷（﹣12xy），其中x=3，y=2．22．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM 交BN于点P．（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求∠APN的度数．23．若m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，求m、n的值．解：∵m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，∴（m2-2m n＋n2）＋（）＝0，即（）2＋（）2＝0．根据非负数的性质，∴m＝n＝（1）完善上述解答过程，然后解答下面的问题：（2）设等腰三角形ABC 的三边长a 、b 、c ，且满足a 2＋b 2－4a －6b ＋13＝0，求△ABC 的周长．24．回答下列问题(1)填空：x 2+21x ＝(x+1x )2﹣_____＝(x ﹣1x)2+_____. (2)若a+1a ＝5，则a 2+21a＝_____； (3)若a 2﹣3a+1＝0，求a 2+21a 的值. 25．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在ABC 内，BD BC =，DBC 60∠︒=，点E 在ABC 外，BCE 150∠︒=，ABE 60∠︒=．（1）求ADB ∠的度数；（2）判断ABE 的形状并加以证明；（3）连接DE ，若DE BD ⊥，DE 8=，求AD 的长．参考答案1．C【分析】轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．【详解】前三个均是轴对称图形，第四个不是轴对称图形，故选C.【点睛】本题考查的是轴对称图形，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握轴对称图形的定义，即可完成．2．D【分析】根据三角形三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得出答案. 【详解】解：A、3+3＞3，符合三角形的三边关系定理，故本选项错误；B、3+4＞5，符合三角形的三边关系定理，故本选项错误；C、5+6＞10，符合三角形的三边关系定理，故本选项错误；D、4+5=9，不符合三角形的三边关系定理，故本选项正确；故选D.【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，注意：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边3．D【分析】根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．【详解】解：多边形的边数是：3608 45，故选D．4．A【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．【详解】解：A、（ab）3=a3b3，故此选项正确；B、x•x2=x3，故此选项错误；C、（ab2）3=a3b6，故此选项错误；D、a6÷a2=a4，故此选项错误．故选：A．【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．B【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项错误；B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项正确；C、是整式的乘法，故本选项错误；D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．6．D【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）判断即可．【详解】解：①∵AD=AC，∠ABC=∠ABD，AB=AB，∴根据SSA不能推出△ABC≌△ABD，故错误；②根据BD=BC，AB=AB，∠ABC=∠ABD能推出△ABC≌△ABD（SAS），故正确；③∵∠D=∠C，∠ABC=∠ABD，AB=AB，∴根据AAS 能推出△ABC ≌△ABD ，故正确；④∵∠DAB=∠CAB ，AB=AB ，∠ABC=∠ABD ，∴根据ASA 能推出△ABC ≌△ABD ，故正确；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有：SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．7．C【解析】试题解析：∵（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，（a-b ）2=a 2-2ab+b 2，∴A=（a+b ）2-（a-b ）2=4ab ．故选C ．点睛：完全平方式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2与（a-b ）2=a 2-2ab+b 2两公式的联系，它们的差是两数乘积的四倍．8．D【解析】(x －2)(x 2＋ax ＋b)=322222x ax bx x ax b ++---= 32(2)(2)2x a x b a x b +-+--，因(x －2)(x 2＋ax ＋b)的展开式中不含x 的二次项和一次项，即可得a-2=0，b-2a=0，解得a=2，b=4，故选D.9．C【分析】中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．【详解】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b-2b=a-b ，则面积是（a-b ）2．故选：C ．【点睛】本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键．10．D【解析】试题解析：∵BF ∥AC ，∴∠C=∠CBF ，∵BC 平分∠ABF ，∴∠ABC=∠CBF ，∴∠C=∠ABC ，∴AB=AC ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴BD=CD ，AD ⊥BC ，故②③正确，在△CDE 与△DBF 中，C CBF CD BDEDC BDF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△CDE ≌△DBF ，∴DE=DF ，CE=BF ，故①正确；∵AE=2EC ，∴AC=3EC=3BF ，故④正确．故选D ．11．(2，3)【分析】直接利用关于x 轴对称点的性质，得出点A′的坐标．【详解】点A （2，−3）关于x 轴的对称点A′的坐标是：（2，3）．故答案为：（2，3）．【点睛】本题考查关于x 轴对称点的性质，正确把握横纵坐标关系是解题关键．12．x （1+x ）（1-x ）；【分析】先提取公因式x ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【详解】解：x -x3-=x（1-x2）=x（1+x）（1-x）；故答案为：x（1+x）（1-x）【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．50°或80°【解析】①50°是底角，则顶角为：180°-50°×2=80°；②50°为顶角；所以顶角的度数为50°或80°，故答案为50°或80°.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，分情况讨论是解决本题的关键.14．±12【分析】由完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，把所求式化成该形式就能求出k的值．【详解】解：x2-kx+36=（x±6）2，解得k=±12．故答案为：±12．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，此题解题的关键是利用平方项求乘积二倍项，比较简单．15．3【分析】由三角形外角性质，等腰三角形的性质得到∠BCD=30°，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，据此解答．【详解】解：如图，∵在△ABC中，∠A=15°，AC=BC，∴∠A=∠CBA=15°，∴∠BCD=∠A+∠CBA=30°．又BD⊥AD，AC=BC=6，∴BD=12BC=12×6=3．故答案是：3．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形．含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．16．88【分析】延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）即可解决．【详解】解：延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵∠ABC=∠ADC=90°，∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，∵BA=BA′，MB⊥AB，∴MA=MA′，同理：NA=NA″，∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD，∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），∵∠BAD=136°，∴∠A′+∠A″=180°-∠BAD=44°∴∠AMN+∠ANM=2×44°=88°．故答案为：88．【点睛】本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键．17．31a +【分析】根据整式的混合运算法则计算即可.【详解】解：原式=()32891a a a ---⋅+ =33891a a -++=31a +故答案为：31a +.【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算的顺序和运算法则． 18．（x-2）2；【分析】先根据多项式乘多项式的法则计算，再根据完全平方公式进行因式分解即可【详解】解：（x-1）（x ﹣3）+1=x 2-4x+4=（x-2）2；故答案为：（x-2）2；【点睛】本题考查了公式法因式分解，熟练运用完全平方公式是解题的关键19．见解析【分析】根据两直线平行内错角相等即可得出∠A=∠C ，再根据全等三角形的判定即可判断出△ADF ≌△CBE ，根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：证明：∵AE=CF ，∴AE-EF=CF-EF即AF=CE ，∵AD ∥CB ，∴∠A=∠C ，在△ADF 和△CBE 中，A C AF CE DB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADF ≌△CBE （ASA ），∴DF=BE ．【点睛】本题考查了平行线的性质以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．20．（1）见解析；（2）30°．【分析】（1）分别以A 、B 为圆心，以大于AB 一半长为半径画弧，两弧在AB 两侧分别有一个交点，过这两个交点作直线即可得；（2）由线段垂直平分线的性质可得PA=PB ，从而得∠B=∠PAB ，再根据AP 平分∠CAB ，可得∠PAB=12∠CAB ，继而根据直角三角形两锐角互余即可得解. 【详解】（1）如图，点P 为所作；（2）∵点P 在AB 的垂直平分线MN 上，∴PA=PB ，∴∠B=∠PAB ，∵AP 平分∠CAB ，∴∠PAB=12∠CAB ， ∴∠CAB=2∠B ，∵∠CAB+∠B=90°， 即2∠B+∠B=90°， ∴∠B=30°． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握尺规作图的方法以及线段垂直平分线的性质是解题的关键. 21．8+10y-2x ；22【分析】先去括号，然后合并同类项，最后将x ，y 值代入求解．【详解】解：原式=222222222944552x y y xy x y xy x x y xy ⎛⎫⎡⎤-+-++--+⨯- ⎪⎣⎦⎝⎭=()22245xy xy x y xy ⎛⎫--+⨯-⎪⎝⎭=8+10y-2x把x=3，y=2代入得：原式=8+10×2-2×3=22． 【点睛】 此题考查了整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（1）证明见解析；（2）∠APN 的度数为108°．【分析】（1）利用正五边形的性质得出AB=BC ，∠ABM=∠C ，再利用全等三角形的判定得出即可；（2）利用全等三角形的性质得出∠BAM+∠ABP=∠APN ，进而得出∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC 即可得出答案．【详解】（1）∵正五边形ABCDE ，∴AB=BC ，∠ABM=∠C ，∴在△ABM 和△BCN 中AB BC ABM C BM CN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM ≌△BCN （SAS ）；（2）∵△ABM ≌△BCN ，∴∠BAM=∠CBN ，∵∠BAM+∠ABP=∠APN ，∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC=()521805-⨯=108°．即∠APN 的度数为108°．考点：1.全等三角形的判定与性质2.多边形内角与外角．23．（1）n 2-8n+16；m-n ；n-4；4；（2）7或8【分析】（1）先根据“添括号法则”结合“完全平方公式”将例题的解答过程补充完整；（2）参考例题的解题方法，将等式a 2＋b 2－4a －6b ＋13＝0变形为22(44)(69)0a a b b -++-+=，进而化为22(2)(3)0a b -+-=即可得到23a b ==，，再结合△ABC 是等腰三角形即可求出△ABC 的周长了.【详解】解：（1）完善例题的解题过程：∵m 2－2mn ＋2n 2－8n ＋16＝0，∴（m 2-2m n ＋n 2）＋（ n 2-8n+16 ）＝0，即（ m-n ）2＋（ n-4 ）2＝0，∴m ＝n ＝ 4 ；（2）∵a 2＋b 2－4a －6b ＋13＝0，∴22(44)(69)0a a b b -++-+=，∴22(2)(3)0a b -+-=，∴20a -=且30b -=，∴23a b ==，，∵等腰△ABC 的三边长为：a 、b 、c ，∴当c a =时，三边分别为：2、2、3，此时能围成三角形，△ABC 的周长=2+2+3=7； 当c b =时，三边分别为：2、3、3，此时能围成三角形，△ABC 的周长=2+3+3=8； 综上所述，等腰△ABC 的周长为7或8.【点睛】本题的解题要点有：（1）读懂题意，能将等式a 2＋b 2－4a －6b ＋13＝0变形为22(44)(69)0a a b b -++-+=，并由此求得23a b ==，；（2）当已知等腰三角形两边长，求等腰三角形的周长时，需分已知两边分别为底边两种情况讨论，且需用三角形三边间的关系检验每种情况能否围成三角形.24．(1)2，2；(2)23；(3)7.【分析】（1）根据完全平方公式进行解答即可；（2）根据完全平方公式进行解答即可；（3）先将已知条件化为13a a +=，然后根据完全平方公式求解即可. 【详解】（1）2222221111()2,()2x x x x x x x x+=++-=-+ 故答案为2，2.（2）22211()2a a a a+=++ 222211()25223a a a a∴+=+-=-=. （3）2310a a -+= 两边同除以a 得130a a -+=（显然0a ≠） 则13a a+= 222211()2327a a a a∴+=+-=-=. 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题关键.25．(1) 150°;(2) △ABE 是等边三角形,理由见解析;(3)4【分析】（1）首先证明△DBC 是等边三角形，推出∠BDC=60°，再证明△ADB ≌△ADC ，推出∠ADB=∠ADC 即可解决问题．（2）结论：△ABE 是等边三角形．只要证明△ABD ≌△EBC 即可．（3）首先证明△DEC 是含有30度角的直角三角形，求出EC 的长，理由全等三角形的性质即可解决问题．【详解】（1）解：∵BD=BC ，∠DBC=60°，∴△DBC 是等边三角形，∴DB=DC ，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°，在△ADB 和△ADC 中，AB AC AD AD DB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△ADC ，∴∠ADB=∠ADC ，∴∠ADB=12（360°﹣60°）=150°． （2）解：结论：△ABE 是等边三角形．理由：∵∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠CBE ，在△ABD 和△EBC 中， 150AB EB ADB BCE ABD CBE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABD ≌△EBC ，∴AB=BE ，∵∠ABE=60°，∴△ABE 是等边三角形．（3）解：连接DE ．∵∠BCE=150°，∠DCB=60°，∴∠DCE=90°，∵∠EDB=90°，∠BDC=60°，∴∠EDC=30°，∴EC=12DE=4，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC=4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．。