《微观经济学：原理与模型》第三篇企业经济行为第八章生产函数第五节生产函数与技术进步==========================================附：一般生产函数的一般性质在经济学中经常涉及到要用一个函数来描述厂商的生产过程，我们把这个函数叫做生产函数。

它的性质在经济学中经常用到，这里给出一个简单介绍。

假设厂商的产出Y由厂商投入资本存量)(tL来生K和劳动力)(t产，这个过程由函数))RRY=给出。

假设函数RF→⋅(,t⨯⋅:)((F()),K(ttL是二阶连续可微的，并且满足：A1．0K=tFtLF，即没有资本投入或者没有劳动力投入,0(=)0(),(),0(都不可能生产出产品。

这也是人们通常讲的“没有免费的午餐!”A2．函数),F对于变量是非降的，即投入品越多，产出越多。

由生(⋅⋅产函数的可微性，假设A2可以表示为A3．生产函数是常数规模回报的，即对任意的0λ，有>假设A3告诉我们，如果把所有的投入同时提高λ倍，总的产出也会相应地提高λ倍。

在生产函数的连续可微性假设下，由假设A3可以得到下面的Euler方程：Euler方程告诉：在完全竞争的假设下，具有常数规模回报的厂商的所有收益被资本回报和工资所瓜分，因此它的极大化利润为零。

A4．生产函数对变量是拟凹的，即对任意的生产可行性计划),(),,(2211L K L K 和任意的]1,0[∈λ有条件A4等价于厂商的要素需求集是凸集合，但它在应用中较难，因此通常用更强的条件来代替：A4．生产函数对变量是严格凹的，即对任意的不同的生产可行性计划),(),,(2211L K L K 和任意的)1,0(∈λ，有在生产函数的可微性下，严格凹性等价于生产函数的Hessian 矩阵是负定的。

同时也可以得到因此，在生产函数的严格凹性下，资本存量和劳动力的边际生产率都是递减的。

A5．生产函数满足Inada 条件，即假设A5表明当资本存量水平或者劳动力水平充分大时，它们的边际生产率充分小；反之，当它们的水平充分小时，它们的边际生产率充分大。

例如：对任意的0>γ，0<ρ，考虑生产函数：可以验证上面函数满足条件A1~A3，4'A 和A5。

我们通常所讲的Cobb-Douglas 生产函数就满足上述所有的假设。

其中βα,为非负常数，满足1,0<<βα。

==========================================一、常用生产函数在企业现实生产中，生产函数大多是非线性的。

为简单起见，通常假设生产函数为线性或可以线性化的生产函数(1inear producdon function)，并据此来分析有关生产函数的性质。

(一)线性齐次生产函数线性齐次生产函数具有如下性质：1．规模报酬不变。

规模报酬不变是线性齐次生产函数的首要性质。

根据式(8．13)和式(8．16)，由于1==r E ε，则q K L f K L f r λλλλ==),(),( (8．17) 式(8．17)表示投入K L ,变动λ倍，产量也相应变动λ倍，呈线性变动。

2．要素投入的平均产量和边际产量取决于投入比例，而与投人数量无关。

从平均产量来看，令L 1=λ，并代入式(8．17)，可得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=L K L K f L K L L f L q φ,1,(8．18) 由于KL L q K q ⋅=，将式(8．18)代入，可得⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=L K L K L K K L L K K q φφφ (8．19) 从边际产量来看，由式(8. 18)有 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=L K L L K Lf q φ,1 (8．20) 求上式对L 的偏导数，可得⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂L K L K L K L K L K L L K L q φφφφ2 (8．21) 由式(8．20)对K 的偏导数，可得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∂∂L K LL K L L q φφ1 (8．21)式(8．18)和式(8．19)，式(8．21)和式(8．22)说明，AP ，MP 都是LK 的函数。

3．线性齐次生产函数满足欧拉定理(Euler ’s theorem)。

针对线性齐次生产函数，欧拉定理可用式(8．23)来表示。

其经济含义是，各种投入的边际产量与投人数量乘积之和，等于总产量。

K Kq L L q q ∂∂+∂∂=(8．23) (二)柯布一道格拉斯生产函数柯布一道格拉斯生产函数(Cobb-Douglas production function)简称C-D 生产函数，其表达式为βαK AL q = (8．24) 其中，A 为规模参数(scale parameter)，0φA 。

α为劳动的产出弹性(10<<α)；β为资本的产出弹性(10<<β)。

C-D 生产函数具有如下性质：1．βα+次齐次生产函数。

由于q K L A K L A K L A βαβαβαββααβαλλλλλλ++===)()( (8．25)对照式(8．16)，可知2．等产量线的斜率为负，并凸向原点。

对式(8．24)微分，可得由于故 )0,,,(011><-==--K L L K K L A K L A dL dK βαβαβαβαβα (8．26) 上式表示：C-D 生产函数等产量线的斜率，即劳动对资本的边际技术替代率为负。

而且上式表明：C-D 生产函数等产量线斜率的变化率为正，故等产量线凸向原点。

3．规模报酬状况取决于βα+大于、小于还是等于1。

若1=+βα，则为线性齐次生产函数。

因αβ-=1，式(8．24)可表达为q K AL K L A K L A K L A λλλλλλλαααααααααα====-----11111)()( (8．27)(三)不变替代弹性生产函数不变替代弹性生产函数(constant elasticity of substitution production function)简称CES 生产函数，是包括线性生产函数、投入产出生产函数、C-D 生产函数在内的一簇具有不变替代弹性的生产函数。

它的一般形式是 ρρραα1])1([----+=K L A q (8．28) 其中，A 为规模参数，0φA ；α为产出弹性，10ππα；ρ为替代参数，替代弹性011>+=ρσE ，故1≥ρ。

根据替代参数，可以推导替代弹性，从而确定生产函数的性质：1、若1-=ρ，∞=+=ρσ11E ，CES 生产函数蜕化为具有完全替代弹性的线性生产函数2、若∞=ρ，011=+=ρσE ，CES 生产函数变成完全无替代弹性的投入产出生产函数3、若0=ρ，111=+=ρσE ，CES 生产函数变成为具有单一替代弹性的C-D 生产函数显然，C-D 生产函数是CES 生产函数的特例，即具有单一替代弹性的CES 生产函数，而CES 生产函数是C-D 生产函数的一般化，即替代弹性虽为常数，但不一定是单一替代弹性的C-D 生产函数。

上述各种不同替代弹性生产函数的等产量线可以表示为图8．10。

图8.10 不同替代弹性的等产量线二、技术进步及其测定(一)技术进步的概念技术进步(technical progress)的概念来自经济学运用生产函数对经济增长的研究。

在考虑技术进步时，通常把生产函数定义为),()(K L f t A q = (8．29)其中，L和K分别代表劳动和资本的投入，q代表产量。

A代表技术进步因子，为时间t的函数。

人们将劳动和资本投入以外影响产出的一切因素，笼统地称为技术进步。

为了解释技术进步的性质，经济学采取各种统计方法对其进行剖析，分解出一系列解释变量。

尽管如此，技术进步仍然带有某种神秘色彩，受到各种术语含义不同的困扰。

这里，我们从广义上将技术进步定义为：能够使一定数量的投入组合，产出更多产品的所有因素共同作用的过程。

一般来说，广义的技术进步主要体现在以下几方面：知识创新，装备改进，工艺变革，劳动素质，管理水平，政策环境，等等。

(二)技术进步的类型一般来说，任何意义上的技术进步，都意味着生产函数的变动。

按照边际技术替代率的变化，可将技术进步分为三种类型：1．资本使用型技术进步在一定的资本、劳动比例下，技术进步的结果使资本边际产量的变化率大于劳动边际产量的变化率，即劳动对资本的边际技术替代率递减，称为资本使用型(capital using)技术进步，又称劳动节约型(1abor saving)技术进步。

即2．劳动使用型技术进步在一定的资本、劳动比例下，技术进步的结果使资本边际产量的变化率小于劳动边际产量的变化率，即劳动对资本的边际技术替代率递增，称为劳动使用型(1abor using)技术进步，又称资本节约型(capital saving)技术进步。

即3．中性技术进步在一定的资本、劳动比例下，技术进步的结果使资本边际产量的变化率等于劳动边际产量的变化率，即劳动对资本的边际技术替代率不变，称为中性(neutral)技术进步。

即上述不同类型的技术进步，可以通过等产量线向原点移动的不同方式来反映。

在图8．11中，假设所有产量水平相同，但2q ，3q ，4q 的技术水平都高于1q 。

等产量线向原点移动的不同轨迹，反映技术进步的类型不同。

在价格因素不变的条件下，21q q →属于中性技术进步，31q q →属于资本使用型技术进步，41q q →则属于劳动使用型技术进步。

图8.11 技术进步的类型(三)技术进步的测定1．综要素生产率如何测定技术进步的作用，是一直困扰着经济学界的难题，至今尚未取得共识。

在实际工作中，目前影响较大的是美国索洛(R ．Solow)在1957年发表的《技术进步与总生产函数》。

①以Y 表示产出，生产函数的一般形式为βαK AL q = (8．30)两边取自然对数并微分，可得因为①Robert Solow: Technical change and the aggregate production function, Review of Economics and Statistics, 1957所以式中，左端为经济增长率，右端第一项为广义技术进步贡献率，第二项为劳动贡献率(劳动产出弹性与其增长率之积)，第三项为资本贡献率(资本产出弹性与其增长率之积)。

即 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅-=K dK E L dL E Y dY A A d K L (8．31) 在实际测算中，由于难以直接估计各项投入的产出弹性，通常假设它们等于各自在总产出中所占的比例，而且规模报酬不变。