经典合同海伦公式的证明姓名：XXX 日期：XX年X月X日海伦公式的证明与海伦在他的著作"metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。
设三角形的三边a、b、c的对角分别为a、b、c，则余弦定理为cosc =(a^2+b^2-c^2)/2abs=1/2*ab*sinc=1/2*ab*√(1-cos^2c)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2 +b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+ b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形abc面积s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]第二篇：海伦公式的几种证明与推广海伦公式的几种证明与推广古镇高级中学付增德高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔heron's formula〕：假设有一个三角形，边长分别为a,b,c,，三角形的面积s可由以下公式求得：s?(p?a)(p?b)(p?c)，而公式里的p?12(a?b?c)，称为半周长。
图1第 2 页共 32 页海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。
但根据morris kline 在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
海伦公式形式漂亮，结构工整，有多种变形，如：s= p(p?a)(p?b)(p?c)222141414(a?b?c)(a?b?c)(a?c?b)(b?c?a)(a214[(a?b)?c][c144ab22?(a?b)]22?b第 3 页共 32 页2?c2?2ab)[?(a22?b42?c42?2ab)]4?(a2?b?c)222ab2?2ac2?2bc第 4 页共 32 页?a?b?c12absinc和余弦定理教课书中并以习题形式出现，给出的参考答案是利用三角形面积计算公式s?121212c2?a2?b2?2abcosc的证明过程：s?absinc=ab1?cosnc=2ab1?(a2?b2?c2第 5 页共 32 页2下略。
我国南宋著名数学家秦九韶也发现了与海伦公式等价的“三斜求积”公式，中国古代的天元术发展水平非常高，笔者猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，因此海伦公式可以作如下推证，从三角形最基本的面积公式s?abc?12aha入手，利用勾股定理，布列方程组求高。
如图2，b图2c?x2?y2?c2222?2a?c?b22在△abc中，ad为边bc上的高，根据勾股定理，有?x?z?b解方程，得y?，2a?y?z?a?z?a?b?c2a，x?c第 6 页共 32 页?ca?c?b2a12a4ac22?(a?c?b)下略。
在求22高的方法上，我们也可以用斯特瓦尔特定理，根据斯氏定理，△abc 顶点a于对边bc上任一点d间的距离ad有下列等式确定：ab ad?dc?ac?bd?ad?bc?bd?dc?bc，等式改写为?abdcbc?acbdbc?bc第 7 页共 32 页bdbcaa22而当点d是顶点a的正射影时,有bddcabcosbaccosc?c?b22?b?c22，利用比例的性质，变形得bdbca?c22?b2adcbca?b22?c2a第 8 页共 32 页，代入即求出高ad。
推证海伦公式也可以考虑应用三角函数的恒等式，容易证明下列三角恒等式：若∠a+∠b+∠c =180°那么abacbcta?ta+tan?tan?tan+tan=1，222222zzc图3如图3,在△abc中，内切圆⊙o的半径是r,则tana2rx, tanb2ry,tanc2rz,代入恒等式tana2?tanb2+tana2?tan第 9 页共 32 页c2+tanb2?tanc2=1，得rxyrxzryz?1，两边同乘xyz，有等式r(x?y?z)?xyz???①又，b?c?a?(x?z)?(x?y)?(y?z)?2x ，所以，x? z?a?b?cb?c?a，同理y?a?c?b。
???②于是△abc的面积s?12(a?b?c)r=12第 10 页共 32 页(y?z?x?z?x?y)r=(x?y?z)r=(x?y?z)r=14，把①、②式代入，即得s?(x?y?z)xyz(a?b?c)(a?b?c)(b?c?a)(a?c?b)三角形的面积和三边有如此优美和谐的关系，我们不禁会类比猜想(更多请关注)，简单四边形的面积和它的四条边又是什么关系呢？由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形abcd中，设四条边长分别为a,b,c,d，且p?a?b?c?d,则s四边形=(p?a)(p?b)(p?c)(p?d)现根据猜想进行证明。
证明：如图，延长da，cb交于点e。
设ea = eeb = f∵∠1+∠2 =180∠2+∠3 =180 ∴∠1 =∠3∴△eab～△ecd ∴fa?eef?cbds?eabs四边形abcdbd?b解得： e =b(ab?cd)d③f =b(ad?bc)d?b④由于s四边形abcd =d?bbs△ea b将③，④跟b =b(dd?b)?b代入海伦公式公式变形，得：∴s四边形abcd =d?b4eb22?(e?b?f4bd?bb(ab?cd)(d(db224?b)22d4b?b)b(ab?cd)(d ?b)22b(d(d22?b)22?b)b(ad?bc)(d 22?b)22?b4b(d?b)?4(ab22?b)?[(ab?cd)?(d 2222?b)?(ad?bc)]224(d?b)14(ab?cd)(d22?b)?[{ab?cd}?{d 2222?b}?{ad?bc}] 22224(d?b)14(ab?cd)(d22?b)?(ab2222?cd22?d?b22?ad22?bc)224(d?b)14(ab?cd)(d22?b)?[b(a2222?b?d?c)?d(d222?b?a?c)4(d1?b)(d?b)[4(ab?cd)?(c 2222?b?a)]22=4(2ab?2cd?c?d?b?a)(2ab?2cd?d22?b?a?c)=4a?c)?(b?d)][(b?d)?(a?c)]2222(a?b?c?d)(a?b?d?c)(a?d?c?b)(b?d?c?a)=4=(p?a)(p?b)(p?c)(p?d)所以，海伦公式的推广得证。
图4参考文献［1］七市高中选修教材编写委员会．数学问题探究[m]．北京：生活·读书·新知三联书店，XX：14～２６．［2］王林全．初等几何研究教程[m]．广州：暨南大学出版社，１９９６．第三篇：海伦公式海伦公式与海伦在他的著作"metrica"(《度量论》）中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。
设三角形的三边a、b、c的对角分别为a、b、c，则余弦定理为下述推导[1]cosc = (a^2+b^2-c^2）/2abs=1/2*ab*sinc=1/2*ab*√（1-cos^2 c)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2]=1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形abc面积s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明⑵中国宋代的数学家秦九韶在1247年也提出了“三斜求积术”。
它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角形，要找出它来并非易事。
所以他们想到了三角形的三条边。
如果这样做求三角形的面积也就方便多了。
但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。
“术”即方法。
三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。
相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。
所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p为“隅”，q为“实”。
以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}当p=1时，△ 2=q,△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}因式分解得△ ^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2）^2]=1/4[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2]=1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)=1/4[2p（2p-2a）（2p-2b）（2p-2c)]=p(p-a)(p-b)(p-c)由此可得：s△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p=1/2(a+b+c)这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。
s=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2} .其中c>b>a.根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。