竞赛中著名不等式汇集作者 阿道夫 （配以典型的例题） 2013.2.28在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地。
不等式常以其优美的结构、严谨的解法、恢弘的气势、广阔的知识容纳性、深层的数学背景等，而被众多竞赛大家所看重，也被莘莘学子所追崇。
以下根据自己在前些年教学中的总结并引学了其他贤人的智慧汇集如下，希望对同学们有所帮助。
1. 平均不等式（均值不等式）2. 柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）3. 排序不等式（排序原理）4. 契比雪夫不等式5. 贝努利不等式6. 琴生不等式7. 含有绝对值的不等式 8. 舒尔不等式9. 一些几何不等式01 佩多不等式02外森比克不等式03 三角形内角的嵌入不等式10. 内斯比特不等式 11． Holder 不等式.12. 闵可夫斯基（Minkowski ）不等式1. 平均不等式（均值不等式）设n a a a ,,,21 是n 个正数，令na a a nn H 111)(21+++=（调和平均值），n n a a a n G 21)(= （几何平均值）， na a a n A n+++=21)( （算术平均值），na a a n Q n22221)(+++= （平方平均值），则有（I ）(调和平均几何平均不等式) )()(n G n H ≤；（II ）(几何平均算术平均不等式) )()(n A n G ≤； （III ）（算术平均平方平均不等式） )()(n Q n A ≤.这些不等式又统称为均值不等式.等号成立的充要条件是n a a a === 21. （I ） )()(n G n H ≤ ⇔na a a n11121+++ ≤n n a a a 21⇔n a a a a a a a a a a a a n nnnnnn≥+++21221121 (1)121221121=⋅nnnnnnna a a a a a a a a a a a,由3的推论2知（1）式成立，故（I ）成立.等号成立的充要条件是nnnnnnna a a a a a a a a a a a 21221121===，即n a a a === 21.（II ）)()(n A n G ≤⇔nn a a a 21≤na a a n+++ 21⇔n a a a a a a a a a a a a nnnnnnn≥+++21212211 (2)121212211=⋅nnnnnnna a a a a a a a a a a a,所以由3的推论2知（2）成立，故（II ）成立.显然等号成立的充要条件是n a a a === 21.（III ） 令na a a cn+++=21，再令ii a c α=+ ，n i ,,2,1 =，则1212n n a a a nc ααα+++=++++1212n n a a a ααα=+++++++（）.∴ 12n ααα+++=0 ,2222221212()()()n n a a a c c c n n ααα+++++++++=2222212n c c c nααα+++=+≥=.等号成立的充要条件是222120n ααα+++=，即n a a a === 21.另：G,Q 证明还可以借助2维形式加以证明练习：1）.设的最小值为 .2）. 设A 、B 、C 、D 为空间中的四点，求证：证明：如图，取BD 的中点E ，连结AE 和EC ，则在△ABD 和△BCD 中，根据中线的性质，有3）. （2005年日本数学奥林匹克）若正实数,,,c b a 满足1=++c b a ，求证1111333≤-++-++-+b a c a c b c b a .证 ∵021>+=-+++=-+b a c b c b a c b ， 由均值不等式，得 313)1(1113cb c b c b -+=-+++≤-+，∴ 313acab a c b a -+≤-+. 同理可得,313babc b a c b -+≤-+ .313cbca c b a c -+≤-+将上述3个不等式相加，得333111b a c a c b c b a -++-++-+c b a ++≤ 1=.4）.（2004年中国香港数学集训队试题）证明对于任意正实数,,,c b a 均有.222444c b a abc ca b bc a ++≥++ 解：,422244a c b bc a bc a ≥+++,422244b c a ac b ac b ≥+++,422244c b a abc ab c ≥+++ 上述3个式子相加，得)(4)(2)(2222222444c b a c b a ab c ac b bc a ++≥+++++， 所以.222444c b a abc ca b bc a ++≥++2. 柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式） 对任意两组实数 ，，…，；，，…，，有，其中等号当且仅当时成立。
柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的 ，…，；，…，都表示实数）是：（1），，则（2）（3）柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们学习中应给予极大的重视。
关键在于使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式证明有关的不等式。
练习：1）.① 设a 、b 、c 为正数且各不相等。
求证：cb a ac c b b a ++>+++++9222 )111)](()()[( )111)((2ac c b b a a c c b b a ac c b b a c b a ++++++++++=+++++++ 证明：9)111(2=++≥又a 、b 、c 各不相等，故等号不能成立∴原不等式成立。
巧拆常数 ②a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++。
212122212112212121)( )())(( ))((x x x x b a x x b x x a bx ax bx ax ax bx bx ax =+=+≥++=++证： （∵a +b =1） 重新安排某些项的次序 ③若a >b >c ，求证：ca cb b a -≥-+-411 4)11( )11)](()[()11)((2=+≥-+--+-=-+--c b b a c b b a c b b a c a 证明：∴ca cb b a -≥-+-411 结构的改变从而达到使用柯西不等式 ④ 已知+∈R c b a ,,求证：23≥+++++b a c a c b c b a23329 29)111(21 )111)](()()[(21 )111)(( )1()1()1(32=-≥+++++∴=++≥++++++++++=+++++++=++++++++=++++++b a c c a b c b a b a a c c b b a a c c b ba a c cbc b a bc c c a b c b a b C c a c b c b a证明 添项 2）.设已知e d c b a ,,,,是实数，满足222228,16,a b c d e a b c d e +++++++==+⎧⎨⎩试确定e 的最大值.证 由算术平方平均不等式得：442222dc b ad c b a +++≥+++， 从而有 22222)()(4d c b a d c b a +++≥+++， 224(16)(8)e e -≥- ， 解之得 5160≤≤e .当516====d c b a 时，516=e ，因此e 的最大值为516. 3）. 试确定 的所有实数解.解：由取“=”号.所以，原方程组有唯一实数解4）.3. 排序不等式设n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的一个全排列，则有 1121b a b a b a n n n +++- （倒序和） n i n i i b a b a b a +++≤ 2121 （乱序和） n n b a b a b a +++≤ 2211， （顺序和）等号全成立的充要条件是n a a a === 21或n b b b === 21.证： 我们先用数学归纳法证明.n i n i i b a b a b a +++ 2121n n b a b a b a +++≤ 2211 （1）当2=n 时，因为)(12212211b a b a b a b a +-+0))((1212≥--=b b a a ，所以 2=n 时，（1）式成立。
假设对于k n =时（1）式成立，即k i k i i b a b a b a +++ 2121k k b a b a b a +++≤ 2211，其中k i i i ,,,21 是1,2,k , 的一个排列，那么对于1+=k n ，设121,,,+k i i i 是1,2，1,+k 的一个全排列，则当11+=+k i k 时，由归纳假设知，121121++++++k k i k i k i i b a b a b a b a=112121++++++k k i k i i b a b a b a b a k112211++++++≤k k k k b a b a b a b a ，所以（1）式成立当11+≠+k i k 时，必存在j i ，1j k ≤≤，使得1j i k =+，则 11111111++-++-++++++k j j j i k i j i j i j i b a b a b a b a b a)()(11111111++-++-+++++++=k j k j j i k i j i k i j i j i b a b a b a b a b a b a111111111()()j j k k i j i j i k i j k k i a b a b a b a b a b a b -++-+++=+++++++)()(111111111+++-+++++++≤++-k k i j i k i j i j i b a b a b a b a b a b a k k j j11111)(1111+++-+++++++=++-k k i k i j i j i j i b a b a b a b a b a b a k j k j112211)(++++++≤k k k k b a b a b a b a1111+++++=k k k k b a b a b a ，即1+=k n 时（1）式成立。