第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛（A ）卷【小高组】一、填空题（每小题10分,共80分）1.计算:.______107143214.2317=÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-2. 中国北京在2015年7月31日获得了2022年第24届冬季奥林匹克运动会的主办权.预定该届冬奥会的开幕时间为2022年2月4日,星期_______.（今天是2016年3月12日,星期六）3.右图中,AB=5厘米,o 85=∠ABC ，o 45=∠BCA ，o 20=∠DBC ，则AD=_______厘米.4.在9×9的格子纸上,1×1小方格的顶点叫做格点.如右图,三角形ABC 的三个顶点都是格点.若一个格点P 使得三角形PAB 与三角形PAC 的面积相等,就称P 点为“好点”.那么在这张格子纸上共有_______个“好点”.5.对于任意一个三位数n ，用 表示删掉n 中为0的数位得到的数，例如n=102时， =12，那么满足 <n ， 且是n 的约数的三位数n 有_______个6. 共有12名同学玩一种扑克游戏,每次4人参加,且任意2位同学同时参加的次数不超过1.那么他们最多可以玩_______次.7. 如果832 能表示成k 个连续正整数的和,则k 的最大值为_______.对于任意一个三位数n,用表示删掉n 中为0的数位得到的数.例如n=102时=12.那么满足<n 且是n 的约数的三位数n 有个_______.对于任意一个三位数n,用表示删掉n 中为0的数位得到的数.例如n=102时n=12.那么满足n<n 且n 是n 的约数的三位数n 有个_______.任意一个三位数n,用表示删掉n 中为0的数位得到的数.例如n=1022.那么满足n<n 且n 是n 的约数的三位数n 有个_______.对于任意一个三位数n,用表示删掉n 中为0的数位得到的数.例如n=102时n=12.那么满足n<n 且n 是n 的约数的三位数n 有个_______.n 对于任意一个三位数n,用表示删掉n 中为0的数位得到的数.例如n=102时n=12.那么满足n<n 且n 是n 的约数的三位数n 有个_______.对于任意一个三位数n,用表示删掉n 中为时=12.那么满足<n 且是n 的约数的对于任意一个三位数n,用表示删掉n 中时n=12.那么满足n<n 且n 是n 的约数的三对于任意一个三位数n,用表示删掉n 中为0的数位得到的数.例如时n=12.那么满足n<n 且n 是n 的约数的三位数n 有个_______.对于任意一个三位数n,用表示删掉n 中为0的时n=12.那么满足n<n 且n 是n 的约数的三位数n n 对于任意一个三位数n,用表示删掉n 时n=12.那么满足n<n 且n 是n 的约数的对于任意一个三位数n,用表示删掉n 中为0的数位得到的数.例如n=102时=12.那么满足<n 且是n 的约数的三位数n 有个_______.对于任意一个三位数n,用表示删掉n 中为0的数位得到的数.例如n=102时n=12.那么满足n<n 且n 是n 的约数的三位数n 有个_______.,用表示删掉n 中为0的数位得到的数.例如n=102且n 是n 的约数的三位数n 有个_______.任意一个三位数n,用表示删掉n 中为0的数位得到的数.例如n=10212.那么满足n<n 且n 是n 的约数的三位数n 有个_______.n对于任意一个三位数n,用表示删掉n 中为0的数位得到的数.例如n=102时n=12.那么满足n<n 且n 是n 的约数的三位数n 有个_______.任意一个三位数n,用表示删掉n 中为0的数位得到的数.例如n=102=12.那么满足<n 且是n 的约数的三位数n 有个_______.于任意一个三位数n,用表示删掉n 中为0的数位得到的数.例如n=102=12.那么满足n<n 且n 是n 的约数的三位数n 有个_______.表示删掉n 中为0的数位得到的数.例如n=102是n 的约数的三位数n 有个_______.个三位数n,用表示删掉n 中为0的数位得到的数.例如n=102么满足n<n 且n 是n 的约数的三位数n 有个_______.n 对于任意一个三位数n,用表示删掉n 中为0的数位得到的数.例如n=102n=12.那么满足n<n 且n 是n 的约数的三位数n 有个_______.8.两把小尺与一把大尺组成套尺,小尺可以沿着大尺滑动.大尺上每一个单位都标有自然数,第一把小尺将大尺上的11个单位等分为10,第二把小尺将大尺上9个单位等分为10,两把小尺的起点都为0,都分别记为1至10.现测量A,B 两点间距离,A 点在大尺的0单位处,B 点介于大尺的18与19单位之间;将第一把小尺的0单位处于B 点时,其单位3恰好与大尺上某一单位相合.如果将第二把小尺的0单位处置于B 点,那么第二把小尺的第_______个单位恰好与大尺上某一单位相合.二、解答下列各题（每题10分,共40分,要求写出简要过程）9.复活赛上,甲乙二人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名额.投票人数固定,每票必须投给甲乙二人之一.最后,乙的得票数为甲的得票数的2120,甲胜出.但是,若乙得票数至少增加4票,则可胜甲.请计算甲乙所得的票数.10. 如右图,三角形ABC 中,AB=180厘米,AC=204厘米,D,F 是AB 上的点,E,G 是AC 上的点,连结CD,DE,EF,FG,将三角形ABC 分成面积相等的五个小三角形.则AF+AG 为多少厘米?11.某水池有甲、乙两个进水阀.只打开甲注水,10小时可将空水池注满;只打开乙,15小时可将空水池注满.现要求7个小时将空水池注满,可以只打开甲注水若干小时,接着只打开乙注水若干小时,最后同时打开甲乙注水.那么同时打开甲乙的时间是多少小时?12.将一个五边形沿一条直线剪成两个多边形,再将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分,得到了三个多边形,然后将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分,…,如此下去.在得到的多边形中要有20个五边形,则最少剪多少次?三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13.如右图,有一张由四个1×1的小方格组成的凸字形纸片和一张5×6的方格纸.现将凸字形纸片粘到方格纸上,要求凸字形纸片的每个小方格都要与方格纸的某个小方格重合,那么可以粘出多少种不同的图形?(两图形经旋转后相同看作相同图形)14.设n是正整数.若从任意n个非负整数中一定能找到四个不同的数a,b,c,d使得a+b-c-d能被20整除,则n的最小值是多少?第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛（A ）卷参考答案【小高组】一、填空题（每小题10分,共80分） 1.解析：【知识点】四则混合运算 23163221710151363221710)435512(322=-=⨯-=⨯⨯+-=原式 2.解析：【知识点】周期问题从2016年3月12日到2022年3月12日，所经过的天数为365×6+1=2191天，相比2022年2月4日，多算了36天，则从2016年3月12日到2022年2月4日，经过的天数为2191-36=2155天，2155÷7=307……6，星期六往后数六天是星期五； 所以开幕时间在星期五。

3.解析：【知识点】平面几何o 85=∠ABC ，o 20=∠DBC ，则o 65=∠ABD ，o 45=∠BCA ，则o o o o 1152045180=--=∠BDC ，则o 65=∠ADB ，那么o65=∠=∠ADB ABD ，则cm AB AD 5==4.解析：【知识点】几何计数由于AC AB 2=，要使得PAC PAB S S ∆∆=，必须使点P 到AC 的距离是到AB 距离的2倍，又因为AC AB ⊥，所以延长AC 和AB ，然后做长:宽=2:1的长方形，一个长方形就对应一个好点，如图，总共有6个好点。

5.解析：【知识点】计数6.解析：【知识点】极值问题将这12名同学分别编号为1~12，对于一名同学来说，最多只能玩3次，比如：1和2,3,4玩一次，再和5,6,7玩一次，再和8,9,10玩一次，这样12名同学，最多玩36人次，而每次需要4名同学，则最多可以玩9次。

7.解析：【知识点】数论k 个连续正整数构成等差数列，设这k 个连续正整数分别为)1()2(),1(,-+⋅⋅⋅++k n n n n ，则这k 个数的和为k k n k k n n 2)12(21-+=-++，令82832)12(322)12(⨯=-+⇒⨯=-+k n k k k n ， )12(-+n k 和k 的奇偶性相反，22只能分在同一组，当)12(-+n k 和k 最接近，即12-n 最小时，k 可以取到最大值，5328233232⨯⨯=⨯，2433)12(5==-+n k ，1083232=⨯=k ； 则k 的最大值为108. 8.解析：【知识点】组合题 第一把小尺的单位长度是大尺的1011，三个单位长度对应大尺的103331011=⨯，103311033⋅⋅⋅⋅⋅⋅=÷，则B 点在大尺刻度的1033处； 第二把小尺单位长度是大尺的109，那么要求1109÷⎪⎭⎫⎝⎛⨯n 的余数也要是103，解得7=n ，即第二把小尺的第7个单位恰好与大尺的某一单位对齐。

二、解答下列各题（每题10分,共40分,要求写出简要过程）由于<n,则三位数n 里面必然有0，设三位数为)0(≠a abc ，当0==c b 时，n=100,a=1,2,3,4,5,6,7,8,9,共9个；当0,0≠=b c 时，n=10，共9×9=81个；当0,0≠=c b 时，要求c a +100是c a +10的倍数，那么它们的差a 90也是c a +10的倍数，得到的两位数ac 是90的因数，只有185,18,45三个；所以满足条件的三位数总共有9+81+3=93个。

=12.那么满足<n 且是n 的约数的三位数n 有个_______.n 对于任意一个三位数n,用表示删掉n 中为0的数位得到的数.例如n=102时=12.那么满足<n 且是n 的约数的三位数n 有个_______.时n=12.那么满足n<n 且n 是n 的约数的三位数n 有个_______.一个三位数n,用表示删掉n 中为0的数位得到的数.例如n=102那么满足n<n 且n 是n 的约数的三位数n 有个_______.对于任意一个三位数n,用表示删掉n 中为0的数位得到的数.例如n=102时n=12.那么满足n<n 且n 是n 的约数的三位数n 有个_______.n 对于任意一个三位数n,用表示删掉n 中为0的数位得到的数.例如n=102时n=12.那么满足n<n 且n 是n 的约数的三位数n 有个_______.对于任意一个三位数n,用表示删掉n 中为0的数位得到的数.例如n=102时=12.那么满足<n 且是n 的约数的三位数n 有个_______.对于任意一个三位数n,用表示删掉n 中为0的数位得到的数.例如n=102时n=12.那么满足n<n 且n 是n 的约数的三位数n 有个_______.一个三位数n,用表示删掉n 中为0的数位得到的数.例如n=102那么满足对于任意一个三位数n,用表示删掉n 中为0的数位得到的数.例如n=102时n 对于任意一个三位数n,用表示删掉n 中为0的数位得到的数.例如n=1029.解析：【知识点】计数因为投票人数是一定的，所以甲乙二人得到的总票数是一定的； 设甲得到的票数为x 21，则乙得到的票数为x 20，总的票数为x 41； 根据题意可以得到，8420421<⇒+<-x x x当7=x 时，甲得147票，乙的140票，满足乙至少增加4票才能胜甲； 当6=x 时，甲得126票，乙的120票，满足乙至少增加4票才能胜甲； 当5=x 时，甲得105票，乙的100票，乙增加3票就能胜甲，不满足题意；当5<n 时，乙要想战胜甲，所要多得的票数都小于4，所以符合题意的x 的取值只有6和7， 所以甲乙两人所得票数为147票，140票或126票，120票。