( X z
2

n
, X z
2

n
)
(2) 方差 2 未知 , 的置信区间
S S X t2 ( n 1) , X t2 ( n 1) n n
2、方差的区间估计
未知时, 方差 2 的置信区间为
( n 1) S 2 ( n 1) S 2 , 2 ( n 1) 12 ( n 1) 2 2
,l
分别估计参数i ，i=1,...,k，并称其为i 的矩估计。
2、最大似然估计法
设总体 X 有概率密度 f (x; )（或分布律 p(x; )), =(1,..., k)。设 X1,...,Xn 是来自总体的简单随机样本， x1,...,xn是样本观测值。最大似然估计的想法是选取参 数i, i=1,...,k，使样本X1,...,Xn在样本值x1,...,xn附近取 值的概率达到最大。即构造似然函数
例1.给出容量为50的正态分布 N (10, 22)的随机数，并 以此为样本值，给出 和 的点估计和区间估计;给 出容量为100的正态分布 N (10, 22)的随机数，并以此 为样本值，给出 和 的点估计和区间估计;给出容量 为1000的正态分布 N (10, 22)的随机数，并以此为样本 值，给出 和 的点估计和区间估计. 命令: X1=normrnd(10,2,50,1); [mu1,sigm1,muci1,sigmci1]=normfit(X1) X2=normrnd(10,2,100,1); [mu2,sigm2,muci2,sigmci2]=normfit(X2) X3=normrnd(10,2,1000,1); [mu3,sigm3,muci3,sigmci3]=normfit(X3)
置信区间的意义
反复抽取容量为n 的样本，都得到一个区 间，这个区 间可能包含未知参数 的真值，也可能不包含 未知参 数的真值，包含真值的 区间占1 。
枢轴量
1、数学期望的置信区间 设样本 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 来自正态母体X~N(, 2)
(1) 方差 2已知, 的置信区间
l=1,..., k 阶矩
一般说，它们是1 , 2 ,, k 的函数。
由于样本的l 阶矩
1 n l Al X i n i 1
依概率收敛到总体的l 阶矩 l 。所以令
l (1 , ,k ) Al , l 1,
解此方程组得其根为
,k
ˆ (X , i 1
ห้องสมุดไป่ตู้
, X n ) ,i 1,
概率论与数理统计实验
实验3 参数估计
假设检验
实验目的 直观了解统计描述的基本内容。 实验内容
1、参数估计 2、假设检验 3、实例 4、作业
一、参数估计
参数估计问题的一般提法 设有一个统计总体，总体分布函数为F(x, ), 其 中是未知参数，现从该总体抽样，得样本
X 1 , X 2 ,, X n
S 是样本方差.
2
（三）参数估计的命令
1、正态总体的参数估计
设总体服从正态分布，则其点估计和区间估计可同 时由以下命令获得： [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha) 此命令以alpha为显著性水平，在数据X下，对参数 进行估计。（alpha缺省时设定为0.05）， 返回值muhat是正态分布的均值的点估计值， sigmahat是标准差的点估计值, muci是均值的区间估计, sigmaci是标准差的区间估计. X为矩阵（列为变量）时，输出行变量。
例2.中国改革开放30年来的经济发展使人民的生活得 到了很大的提高，不少家长都觉得这一代孩子的身高 比上一代有了明显变化。下面数据是近期在一个经济 比较发达的城市中学收集的17岁的男生身高（单位： cm），若数据来自正态分布，计算学生身高的均值和 标准差的点估计和置信水平为0.95的区间估计。
170.1,179,171.5,173.1,174.1,177.2,170.3,176.2,175.4, 163.3,179.0,176.5,178.4,165.1,179.4,176.3,179.0,173.9,173.7 173.2,172.3,169.3,172.8,176.4,163.7,177.0,165.9,166.6,167.4 174.0,174.3,184.5,171.9,181.4,164.6,176.4,172.4,180.3,160.5 166.2,173.5,171.7,167.9,168.7,175.6,179.6,171.6,168.1,172.2
（二）区间估计
设总体 X 的分布中含有未知参数 ，若对于给定的概 ˆ1 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 和 率 1 (0 1)，存在两个统计量 ˆ2 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 使得 ˆ1 ˆ2 ) 1 P ( ˆ1 , ˆ2 )为参数 的置信水平为 1 的 则称随机区间 ( ˆ1 称为置信下限， ˆ2 称为置信上限 . 置信区间，
L(1 , 2 ,
或
, k ) f ( xi , 1 ,
i 1 n
n
,k )
L(1 , 2 ,
, k ) p( xi , 1 ,
i 1
,k )
若有参数 =(1,..., k)的取值，
ˆ , ˆ, 1 2
ˆ , k
使得似然函数L(1,...,k)达到最大，则称它为参数1,..., k的最大似然估计。
要依据该样本对参数 作出估计，或估计 的某个已知函数 g ( ).
参数估计

点估计 区间估计
点估计 —— 估计未知参数的值。 区间估计—— 根据样本构造出适当的区间， 使它以一定的概率包含未知参数或未知参 数的已知函数的真值。
（一）点估计的求法 1、矩估计法 基本思想是用样本矩估计总体矩 .
设总体分布含有个k未知参数 1 ，…，k
计算总体的前 k 阶矩
l E ( X ) x l f ( x;1 , 2 ,, k )dx ( X 连续型)
l

或 l E ( X l )
xRX
l x p( x;1 , 2 ,, k ) ( X 离散型)