作业5 刚体力学1 23 ♫刚体：在力的作用下不发生形变的物体4⎰=-⇒=210t t dt dtd ωθθθω角速度5 ⎰=-⇒=210t t dt dtd βωωωβ角加速度6 1、基础训练（8）绕定轴转动的飞轮均匀地减速，t ＝0时角速度为05rad s ω=，7 t ＝20s 时角速度为00.8ωω=，则飞轮的角加速度β= -0.05 rad/s 2 ，t ＝0到 8 t ＝100 s 时间内飞轮所转过的角度θ= 250rad ． 9【解答】10飞轮作匀变速转动，据0t ωωβ=+，可得出：200.05rad s tωωβ-==-11据2012t t θωβ=+可得结果。
12♫定轴转动的转动定律：13 定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.14 βJ M =15 质点运动与刚体定轴转动对照16 17 18 192021 222324 25 262728 2930 [C ] 1、基础训练（2）一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M 的31 定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m 1和m 2的物体(m 1＜m 2)，如图所32 示．绳与轮之间无相对滑动．若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳33 中的张力34(A) 处处相等． (B) 左边大于右边．35(C) 右边大于左边． (D) 哪边大无法判断． 36【解答】37逆时针转动时角速度方向垂直于纸面向外, 由于(m 1＜m 2)，实际上滑轮在作减38 速转动,角加速度方向垂直纸面向内,所以,由转动定律21()T T R J β-=可得：39 21T T >40 [ C ] 2、自测提高（2）将细绳绕在一个具有水平光滑轴的飞轮边缘上，现41 在在绳端挂一质量为m 的重物，飞轮的角加速度为．如果以拉力2mg 代替重42 物拉绳时，飞轮的角加速度将 43(A) 小于． (B) 大于，小于2． (C) 大于2． (D)44 等于2．45【解答】46m 2m 1O47 484950'2mgR J β=，2'mgRJβ=，比较二者可得出结论。
5152 3、基础训练（9）一长为l ，质量可以忽略的直杆，可绕通53 过其一端的水平光滑轴在竖直平面内作定轴转动，在杆的另一54 端固定着一质量为m 的小球，如图5-12所示．现将杆由水平55 位置无初转速地释放．则杆刚被释放时的角加速度β0= g/l ，杆与水平方向夹56 角为60°时的角加速度β= g/2l ． 57【解答】58由转动定律:M J β=59(1)开始时杆处于水平位置: 0mgl J β=60其中 2J ml =为小球相对于转轴的转动惯量,得：0g lβ=61(2) cos mgl J θβ=, 2glβ=62m4、基础训练（12） 如图5-14所示，滑块A 、重物63 B 和滑轮C 的质量分别为m A 、m B 和m C ，滑轮的半径为R ，64 滑轮对轴的转动惯量J ＝21m C R 2．滑块A 与桌面间、65 滑轮与轴承之间均无摩擦，绳的质量可不计，绳与滑轮之间无相对滑动．滑块A 66 的加速度CB A B m m m gm a ++=)(2267【解答】6869 70 71 72B B B G T m a -= (2) 73A A T m a = (3)74a R β= (4)754个方程,共有4个未知量: A T 、B T 、a 和β。
可求：()22B A B c a m g m m m =++⎡⎤⎣⎦765、基础训练（18）如图5-17所示、质量分别为m 和2m 、半径分别为r 和2r 77 的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固78 定轴转动，对转轴的转动惯量为9mr 2/2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端79 都挂一质量为m 的重物，求盘的角加速度的大小． 80【解答】81受力情况如图5-17，'11T T =，'22T T = 82 11mg T ma -= (1) 8322T mg ma -= (2) 84122T r T r J β-= (3)85 12a r β= (4) 86 2a r β= (5)87 联立以上几式解得: 219g r886、自测提高（15）如图5-23所示，转轮A 、B 可分别独立地89 绕光滑的固定轴O 转动，它们的质量分别为m A ＝10 kg 和m B ＝20 90 kg ，半径分别为r A 和r B ．现用力f A 和f B 分别向下拉绕在轮上的91 细绳且使绳与轮之间无滑动．为使A 、B 轮边缘处的切向加速度92 相同，相应的拉力f A 、f B 之比应为多少？(其中A 、B 轮绕O 轴转93 动时的转动惯量分别为221A A A r m J =和221B B B r m J =)94 【解答】95根据转动定律 A A A A f r J β= （1） 96 B B B B f r J r = （2） 97 其中212A A A J m r =212B B B J m r = 98要使A 、B 轮边缘处的切向加速度相同，应有： 99 A A B B a r r ββ== （3）100由（1）、（2）式有A AB A A A AB B A B B B Bf J r m r f J r m r ββββ== （4） 101f B B A f Ar Br A由（3）式有A AB Br r ββ= 102将上式代入（4），得12A AB B f m f m == 103♫转动惯量：104质量非连续分布：22222112j j j j r m r m r m r m J +++=∆=∑ 105质量连续分布：m r r m J j jj d 22⎰∑=∆=1061、基础训练（10）如图5-13所示，P 、Q 、R 和S 是附于刚性轻质细杆上的质107 量分别为4m 、3m 、2m 和m 的四个质点，PQ ＝QR ＝RS ＝l ，则系统对O O '轴的转108 动惯量为 50ml 2 。
109【解答】110据 2i i J m r =∑有：11122224(3)3(2)2050J m l m l ml ml =+++=112113 ♫摩擦力矩：⎰=-=-=-=dMM gdm r dN r rdf dM μμ1141、自测提高（12）一根质量为m 、长为l 的均匀细杆，可在水平桌面上绕通115 过其一端的竖直固定轴转动．已知细杆与桌面的滑动摩擦系数为，则杆转动116 时受的摩擦力矩的大小为=μmgl /2 117【解答】118RPS R Q RO′在细杆长x 处取线元dx ，所受到的摩擦力矩dM=μ(m/l)gxdx ，则119 02lm mgl M gxdx l μμ==⎰120♫121♫定轴转动的角动量定理：1221d d d ωωJ J t M tL M t t -=⇒=⎰122角动量守恒:合外力矩为零。
ωJ L =为常量123[ B ] 1、基础训练（5）如图5-9所示，一静止的均匀细棒，长为L 、质量为124 M ，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O 在水平面内转动，转动惯量125 为231ML ．一质量为m 、速率为v 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿126出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为v 21127(A)ML mv ． (B) ML m 23v ． (C) ML m 35v ． (D) MLm 47v． 128【解答】129130131132v21v俯视图[ C ] 2、基础训练（7）一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，133 如图5-11射来两个质量相同，速度大小相同，方向134 相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留135 在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度136(A) 增大． (B) 不变．137(C) 减小． (D) 不能确定． 138 【解答】139把三者看作同一系统时,系统所受合外力矩为零,系统角动量守恒。
140设L 为每一子弹相对与O 点的角动量大小，据角动量守恒定律有：14100()J L L J J J J J ωωωωω+-=+=<+子弹子弹142[ A ] 3、自测提高（7）质量为m 的小孩站在半径为R 的水平平台边缘上．平143 台可以绕通过其中心的竖直光滑固定轴自由转动，转动惯量为J ．平台和小孩开144 始时均静止．当小孩突然以相对于地面为v 的速率在台边缘沿逆时针转向走动145 时，则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向分别为146(A) ⎪⎭⎫⎝⎛=R J mR v 2ω，顺时针． (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛=R J mR v 2ω，逆时针．147(C) ⎪⎭⎫⎝⎛+=R mR J mR v 22ω，顺时针． (D) ⎪⎭⎫⎝⎛+=R mR J mR v 22ω，逆时针． 148【解答】149OMmm图5-11视小孩与平台为一个系统，该系统所受的外力矩为零，系统角动量守恒：1500Rmv J ω=- 可得 2()Rmv mR vJ J R ω==。
151，顺时针． (D) ⎪⎭⎫⎝⎛+=R mR J mR v 22ω，逆时针． 1524、基础训练（16）一转动惯量为J 的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为0ω，153 设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即M k ω=- (k 为正的常数)，求圆盘154 的角速度从0ω变为021ω时所需时间．155【解答】156 ωk M -= 157 根据 dtd JJ M ωβ== 158ωJd Mdt = ωκωJd dt =-159 ⎰⎰=-t d J dt 02100ωωωωκ 160所以得 kJ t 2ln =1615、自测提高（16）如图5-24所示，长为l 的轻杆，两端各162 固定质量分别为m 和2m 的小球，杆可绕水平光滑固定轴O 在163 竖直面内转动，转轴O 距两端分别为31l 和32l ．轻杆原来静止164 在竖直位置．今有一质量为m 的小球，以水平速度0v与杆下端165 小球m 作对心碰撞，碰后以021v的速度返回，试求碰撞后轻杆166 所获得的角速度．167【解答】168系统所受的合外力矩为零，角动量守恒： 169 碰前的角动量为： 170171 碰后的角动量为： 172 173 所以174175 得176177 6、自测提高（17）如图5-25所示，一质量均匀分布的圆盘，178 质量为0m ，半径为R ，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之179 间的摩擦系数为)，圆盘可绕通过其中心O 的竖直固定光滑180 轴转动．开始时，圆盘静止，一质量为m 的子弹以水平速度v 0181 垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，如图5-25所示。