本征坐标系下表示
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《力学》电子教案
直角坐标系下表示
r r2 r1 ( x2 i y2 j z2 k ) ( x1i y1 j z1k ) xi yj zk dr d v ( xi yj zk ) dt dt dx dy dz i j k vxi v y j vz k dt dt dt
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《力学》电子教案
位移：
位移是不依赖于参考点选取的矢量，即，对于不同的参考点， 位移矢量是相同的。 质点的位移和路程是不同的概念。路程是质点实际运动距离 的大小，是标量，而位移是矢量。只有 当质点作曲线运动时的无限小位移，或 质点作单向直线运动时的位移大小才与 质点的路程数值相等。
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《力学》电子教案
a(2) 2b 12c
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《力学》电子教案
例 1.2.4-4 沿 x 轴运动的质点，其速度和时间的关系 v 3t 2 sin 6 t 。 在 t 0 时，质点的位置 x0 2 。试求： （1） t 2时质点的位置； （2） t 0 和 t 2两时刻质点的加速度。
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《力学》电子教案
位置矢量、速度、加速度及其相互关系
质点、参考系、坐标系
相互关系
位置矢量、速度、加速度 及相互关系
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《力学》电子教案
质
点：将研究对象简化为无体积、无形状，而只是具有质量的几何
点。质点是一种理想化的模型。 理想化模型的建立不是任意
的，也不是一成不变的。
参考系： 被选作参考的物体或物体组叫做参考系。
解：根据题意： a 3ti 2 j
3 2 v ( t ) a ( t ) dt v (0) t i 2tj 积分得： 2
3 2 v ( t ) (4 t )i 2tj 利用初始条件 v (0) 4i 得： 2
，
t 1 3 2 r ( t ) v ( t ) dt r (0) (4 t t ) i t j 0 对上式进一步积分得： 2
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《力学》电子教案
例 1.2.4-1 质点做匀速直线运动 对于质点的匀速直线运动， v 是一常数，所以，
a dv 0 dt
x vdt vt C
vt
当 t 0 时， x x0 C ，则 x x0
例 1.2.4-2 匀加速直线运动 对于质点匀加速直线运动，a 是一常数，所以，v adt at C 当 t 0 时， v v0 C ，那么 v v0 at ，进而，
x vdt (v0 at )dt v0 t 1 2 at C 2
1 2 x x v t at 0 0 x x C t 0 当 时， ，那么 0 2
16
《力学》电子教案
2 3 x at bt ct 例 1.2.4-3 一物体做直线运动， 它的运动学方程为
速 度：
如图 1.1.2-2 所示，设质点在 t 时间内移动的位移为：
r r r r (t t) r (t) 2 1
平均速度定义为：
r r (t t ) r (t ) dr lim 速度定义为： v lim t dt t 0 t t 0
其中 a 、 b 、 c 均为常量，求： （1） t 1~ 2 期间的位移，平均速度和平均加速度 （2） t 2 时的速度和加速度 解： （1）根据题意： x at bt 2 ct3
得 t 1~ 2 期间的位移： x
x(2) x(1) a 3b 7c
a 平均加速度： v(2) v(1) 2b 9c t
在动力学中，有惯性参考系和非惯性参考系之分，
这两类不同的参考系所表现出的动力学规律是有差别的。
坐标系： 为了定量地描述质点在各个时刻相对参考系的位置，
就需要在参考系上选取合适的坐标系。
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《力学》电子教案
直角坐标系
坐标系
极坐标系
本征坐标系
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《力学》电子教案
直角坐标系
如图 1.1.1-1 所示，三个方向的单位矢量分别用 i , j , k 来表示。质
第一章
质点运动学
本章历史性简介与内容提要 一、位置矢量、速度、加速度及其相互关系 二、位置矢量、速度、加速度相互关系的坐标表示 三、相对运动 本章知识单元与知识点小结
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《力学》电子教案
历史性简介与内容提要
本章目标：质点运动学规律 物体在空间中位置的变化和时间的概念：可以追溯到古代。 运动和时间先后的描述：追溯到中国战国时期的《墨经》中。 速度的概念：亚里士多德的《物理学》中。 加速度的概念：伽利略在研究等加速直线运动时建立。 运动学的系统建立：牛顿采用微元法建立，并创立了微积分。 本章依据牛顿的思想总结质点运动学规律。
v 平均速度：
(2)
x a 3b 7c t 2 3 根据题意： x at bt ct
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
对上式微分得速度表达式：
v(t ) a 2bt 3ct 2
对上式微分得加速度表达式： a(t ) 将t
2b 6ct
2 代入上述速度和加速度表达式得：
v(2) a 4b 12c
位置矢量、速度、加速度三者之间的一般关系： 2 dr d v d r v a 2 微分形式： ， dt dt dt 平均加速度动画演示 r v dt ， v a dt 积分形式：

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《力学》电子教案
直角坐标系下表示
坐标系表示
极坐标系下表示
de dv d a (rer r e ) r er 2r e r e r dt dt dt
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《力学》电子教案
r r deq d q r & = (- er ) = - q er dt dt
由此整理得：
a (r r )er (2r r )e
例 1.2.4-5
一质点沿 x 轴运动，其加速度与位置的关系为 a 3 4 x ，
已知质点在 x 0 处的速度为 3，试求质点在 x 5 处的速度。
解：根据题意： a
dv 3 4 x dt dv (3 4 x) dx 上式两边同乘 dx 有： dx dt
dx 由 v dt ，上式化为： v dv (3 4x)dx
r 是常数，于是有，
r rer
v dr rer rer 0 r e dt dv a r e r e r e r 2er dt
对于匀速圆周运动
0 。 （常数） ，
2 v r e a r er （向心方向） 于是， （切线方向）,
位置矢量：
图 1.1.2-1 所示，从参考点出发作引向 P 点的一特殊矢量 r ，
它依赖于参考点的选取。如图 1.1.2-1
这一矢量称为位置矢量（有时简称位矢） 。
所示，其 P 点位置可用矢量 r 表示，也可用
r 矢量 来表示。实际上位置矢量的定义并不
需要一定有坐标系的存在。
位置矢量动画演示
点在任一时刻 t 的位置都可由坐标表示出来，即
x x(t) ； y y(t) ； z z(t)
运动轨迹方程为：
y f ( x)
经典力学理论中质点有确定的轨道， 而量子力学的理论中，微观粒子并没有确 定的轨道，是由粒子在空间出现的几率来 表示。
直角坐标系动画演示
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《力学》电子教案
v2 3x 2x2 c 对上式两边积分得到: 2 9 由 x 0 ， v 3 ，确定 c 。 2
则当 x 5 时，解得： v
11.8 。
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《力学》电子教案
例 1.2.4-6 一质点从位矢为 r (0) 4 j 的位置以初速度 v (0) 4i 开始运动，其加速 度与时间的关系为 a 3ti 2 j 。所有的长度以米计，时间以秒计，求： （1）经过多长时间质点到达 x 轴； （2）到达 x 轴时的位置。
极坐标系
如图 1.1.1-2 所示， t 时刻质点的位置可表示为：
r r(t) ，
其运动轨迹方程为： r
(t )
f ( ) 。
由图 1.1.1-2 的几何关系可得直角坐标 系和平面极坐标系之间的关系：
x r cos ； y r sin
坐标系动画演示
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dv d a (v x i v y j v z k ) dt dt dv y dvx dv i j z k ax i a y j az k dt dt dt
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《力学》电子教案
一维运动几何意义
dx v dt
x vdt
dv a dt
v adt
位移相对时间曲线的斜率对应速度；速度相对时间曲线的斜 率对应加速度；速度相对时间曲线下的面积对应位移；加速度相 对时间曲线下的面积对应速度。
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《力学》电子教案
本性坐标系下表示
det dv dv a et v dt dt dt
det et et (t t ) et (t ) lim lim 其中， dt t 0 t t 0 t
det d dS d d en en v en dt dt dt dS dS
解：根据题意： v 3t 2 sin

t
6
2 dv 3 2 a 3 cos t x vdt t 12 cos t c 微分得加速度： 积分得位移： 3 6 dt 2 6 ；