2020年辽宁省丹东市中考数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题3分，共24分） 1．（3分）5-的绝对值等于( ) A ．5-B ．5C ．15-D ．152．（3分）下面计算正确的是( ) A ．3332a a a = B ．22423a a a +=C ．933a a a ÷=D ．236(3)27a a -=-3．（3分）如图所示，该几何体的俯视图为( )A ．B ．C ．D ．4．（3分）在函数93y x =-中，自变量x 的取值范围是( ) A ．3xB ．3x <C ．3xD ．3x >5．（3分）四张背面完全相同的卡片，正面分别印有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形，现在把它们的正面向下，随机的摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽到的卡片正面是中心对称图形的概率是( ) A ．14B ．12C ．34D ．16．（3分）如图，CO 是ABC ∆的角平分线，过点B 作//BD AC 交CO 延长线于点D ，若45A ∠=︒，80AOD ∠=︒，则CBD ∠的度数为( )A ．100︒B ．110︒C ．125︒D ．135︒7．（3分）如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AB CD =，60B ∠=︒，83AD =，分别以B 和C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点P 和Q ，直线PQ 与BA 延长线交于点E ，连接CE ，则BCE ∆的内切圆半径是( )A ．4B ．43C ．2D ．238．（3分）如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点A 坐标为(1,0)-，点C 在(0,2)与(0,3)之间（不包括这两点），抛物线的顶点为D ，对称轴为直线2x =．有以下结论： ①0abc >；②若点1(2M -，1)y ，点7(2N ，2)y 是函数图象上的两点，则12y y <；③3255a -<<-；④ADB ∆可以是等腰直角三角形． 其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每小题3分，共24分）9．（3分）据有关报道，2020年某市斥资约5800000元改造老旧小区，数据5800000用科学记数法表示为 ．10．（3分）因式分解：34mn mn -= ．11．（3分）一次函数2y x b =-+，且0b >，则它的图象不经过第 象限．12．（3分）甲、乙两人进行飞镖比赛，每人投5次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为5，乙所得环数如下：2，3，5，7，8，那么成绩较稳定的是 （填“甲”或“乙”)．13．（3分）关于x 的方程2(1)310m x x ++-=有两个实数根，则m 的取值范围是 ． 14．（3分）如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，点C 在反比例函数6y x=的图象上，点D 在反比例函数k y x =的图象上，若5sin 5CAB ∠=，4cos 5OCB ∠=，则k = ．15．（3分）如图，在四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD AC ⊥，AD AC =，105BAD ∠=︒，点E 和点F 分别是AC 和CD 的中点，连接BE ，EF ，BF ，若8CD =，则BEF ∆的面积是 ．16．（3分）如图，在矩形1OAA B 中，3OA =，12AA =，连接1OA ，以1OA 为边，作矩形121OA A B 使12123A A OA =，连接2OA 交1A B 于点C ；以2OA 为边，作矩形232OA A B ，使23223A A OA =，连接3OA 交21A B 于点1C ；以3OA 为边，作矩形343OA A B ，使34323A A OA =，连接4OA 交32AB 于点2C ；⋯按照这个规律进行下去，则△201920202022C C A 的面积为 ．三、解答题（每小题8分，共16分） 17．（8分）先化简，再求代数式的值：24()224x x xx x x -÷-+-，其中1cos606x -=︒+． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A ，B ，C 的坐标分别为(1,2)A ，(3,1)B ，(2,3)C ，先以原点O 为位似中心在第三象限内画一个△111A B C ．使它与ABC ∆位似，且相似比为2:1，然后再把ABC ∆绕原点O 逆时针旋转90︒得到△222A B C ．（1）画出△111A B C ，并直接写出点1A 的坐标；（2）画出△222A B C ，直接写出在旋转过程中，点A 到点2A 所经过的路径长．四、（每小题10分，共20分）19．（10分）某校为了解疫情期间学生居家学习情况，以问卷调查的形式随机调查了部分学生居家学习的主要方式（每名学生只选最主要的一种），并将调查结果绘制成如图不完整的统计图．种类A B C D E学习方式老师直播教学课程国家教育云平台教学课程电视台播放教学课程第三方网上课程其他根据以上信息回答下列问题：（1）参与本次问卷调查的学生共有人，其中选择B类型的有人．（2）在扇形统计图中，求D所对应的圆心角度数，并补全条形统计图．（3）该校学生人数为1250人，选择A、B、C三种学习方式大约共有多少人？20．（10分）在一个不透明的口袋中装有4个依次写有数字1，2，3，4的小球，它们除数字外都相同，每次摸球前都将小球摇匀．（1）从中随机摸出一个小球，小球上写的数字不大于3的概率是．（2）若从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的概率．五、（每小题10分，共20分）21．（10分）为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是1800本，八年级捐书人数比七年级多150人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍．求八年级捐书人数是多少？22．（10分）如图，已知ABC∆，以AB为直径的O交AC于点D，连接BD，CBD∠的平分线交O于点E，交AC于点F，且AF AB=．（1）判断BC所在直线与O的位置关系，并说明理由；（2）若1tan3FBC∠=，2DF=，求O的半径．六、（每小题10分，共20分）23．（10分）如图，小岛C和D都在码头O的正北方向上，它们之间距离为6.4km，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头O的正西方向A处时，测得26.5CAO∠=︒，渔船速度为28/km h，经过0.2h，渔船行驶到了B处，测得49DBO∠=︒，求渔船在B处时距离码头O有多远？（结果精确到0.1)km（参考数据：sin26.50.45︒≈，cos26.50.89︒≈，tan26.50.50︒≈，sin490.75︒≈，cos490.66︒≈，tan49 1.15)︒≈24．（10分）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y（件)与每件的售价x（元)满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元/件）606570销售量y（件)140013001200（1）求出y与x之间的函数表达式；（不需要求自变量x的取值范围）（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w （元)，那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？ 七、（本题12分）25．（12分）已知：菱形ABCD 和菱形A B C D ''''，BAD B A D ∠=∠'''，起始位置点A 在边A B ''上，点B 在A B ''所在直线上，点B 在点A 的右侧，点B '在点A '的右侧，连接AC 和A C ''，将菱形ABCD 以A 为旋转中心逆时针旋转α角(0180)α︒<<︒．（1）如图1，若点A 与A '重合，且90BAD B A D ∠=∠'''=︒，求证：BB DD '='．（2）若点A 与A '不重合，M 是A C ''上一点，当MA MA '=时，连接BM 和A C '，BM 和A C '所在直线相交于点P ．①如图2，当90BAD B A D ∠=∠'''=︒时，请猜想线段BM 和线段A C '的数量关系及BPC ∠的度数．②如图3，当60BAD B A D ∠=∠'''=︒时，请求出线段BM 和线段A C '的数量关系及BPC ∠的度数．③在②的条件下，若点A 与A B ''的中点重合，4A B ''=，2AB =，在整个旋转过程中，当点P 与点M 重合时，请直接写出线段BM 的长．八、（本题14分）26．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，A 点坐标为(2,0)-，与y 轴交于点(0,4)C ，直线12y x m =-+与抛物线交于B ，D 两点．（1）求抛物线的函数表达式． （2）求m 的值和D 点坐标．（3）点P 是直线BD 上方抛物线上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，交直线BD 于点F ，过点D 作x 轴的平行线，交PH 于点N ，当N 是线段PF 的三等分点时，求P 点坐标．（4）如图2，Q是x轴上一点，其坐标为4(5-，0)．动点M从A出发，沿x轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设M的运动时间为(0)t t>，连接AD，过M作MG AD⊥于点G，以MG所在直线为对称轴，线段AQ经轴对称变换后的图形为A Q''，点M在运动过程中，线段A O''的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段A Q''与抛物线有公共点时t的取值范围．2020年辽宁省丹东市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题3分，共24分） 1．（3分）5-的绝对值等于( ) A ．5-B ．5C ．15-D ．15【考点】15：绝对值【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答． 【解答】解：5-的绝对值|5|5-=． 故选：B ．【点评】本题考查了绝对值的性质，熟记一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0是解题的关键． 2．（3分）下面计算正确的是( ) A ．3332a a a = B ．22423a a a +=C ．933a a a ÷=D ．236(3)27a a -=-【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；48：同底数幂的除法【分析】用同底数幂的乘法法则计算A ，用合并同类项法则计算B ，用同底数幂的除法法则计算C ，用积和幂的乘方法则计算D ．【解答】解：因为33632a a a a =≠，故选项A 计算不正确； 2224233a a a a +=≠，故选项B 计算不正确； 9363a a a a ÷=≠，故选项C 计算不正确；236(3)27a a -=-，故选项D 计算正确； 故选：D ．【点评】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项及积和幂的乘方法则．题目难度较小，熟练掌握整式的运算法则是解决本题的关键． 3．（3分）如图所示，该几何体的俯视图为( )A ．B ．C ．D ．【考点】2U ：简单组合体的三视图【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，注意看到的棱用实线，直接看不到的用虚线，可得答案．【解答】解：该几何体的俯视图为故选：C ．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图． 4．（3分）在函数93y x =-x 的取值范围是( ) A ．3xB ．3x <C ．3xD ．3x >【考点】4E ：函数自变量的取值范围【分析】根据二次根式的性质，可得被开方数大于等于0，解不等式即可得到x 的取值范围． 【解答】解：根据题意得：930x -， 解得：3x ． 故选：A ．【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．5．（3分）四张背面完全相同的卡片，正面分别印有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形，现在把它们的正面向下，随机的摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽到的卡片正面是中心对称图形的概率是( ) A ．14B ．12C ．34D ．1【考点】5R：中心对称图形；4X：概率公式【分析】根据中心对称图形的概念，结合概率公式求解可得．【解答】解：从这4张卡片中任意抽取一张共有4种等可能结果，其中抽到的卡片正面是中心对称图形的是圆、平行四边形、正六边形这3种结果，∴抽到的卡片正面是中心对称图形的概率是34，故选：C．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握概率公式和中心对称图形的概念．6．（3分）如图，CO是ABC∆的角平分线，过点B作//BD AC交CO延长线于点D，若45A∠=︒，80AOD∠=︒，则CBD∠的度数为()A．100︒B．110︒C．125︒D．135︒【考点】JA：平行线的性质【分析】利用角平分线的性质、平行线的性质、三角形的外角与内角的关系，先求出D∠、DCB∠的度数，再利用三角形的内角和定理求出CBD∠．【解答】解：CO是ABC∆的角平分线，DCB DCA∴∠=∠．//BD AC，45A DBA∴∠=∠=︒，D ACD DCB∠=∠=∠．AOD D DBA∠=∠+∠，D AOD DBA∴∠=∠-∠8045=︒-︒35=︒．35DCB∴∠=︒．180D DCB DBC∠+∠+∠=︒，110DBC∴∠=︒．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质、角平分线的性质等知识点．利用平行线的性质，把分散的条件集中起来，是解决本题的关键．7．（3分）如图，在四边形ABCD中，//AB CD，AB CD=，60B∠=︒，83AD=，分别以B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，直线PQ与BA延长线交于点E，连接CE，则BCE∆的内切圆半径是()A．4B．43C．2D．23【考点】7L：平行四边形的判定与性质；2N：作图-基本作图；MI：三角形的内切圆与内心【分析】先根据平行四边形的判定可得四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得83BC AD==，根据作图过程可得EB EC=，根据等边三角形的判定可得EBC∆是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解．【解答】解：在四边形ABCD中，//AB CD，AB CD=，∴四边形ABCD是平行四边形，83BC AD∴==由作图过程可得EB EC=，60B∠=︒，EBC∴∆是等边三角形，BCE∴∆的内切圆半径是118334 32⨯=．故选：A ．【点评】本题考查的是平行四边形的判定与性质，三角形的内切圆与内心，作图-基本作图，熟知垂直平分线的作法是解答此题的关键．8．（3分）如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点A 坐标为(1,0)-，点C 在(0,2)与(0,3)之间（不包括这两点），抛物线的顶点为D ，对称轴为直线2x =．有以下结论： ①0abc >；②若点1(2M-，1)y ，点7(2N ，2)y 是函数图象上的两点，则12y y <；③3255a -<<-；④ADB ∆可以是等腰直角三角形． 其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】5H ：二次函数图象上点的坐标特征；4H ：二次函数图象与系数的关系；KW ：等腰直角三角形；HA ：抛物线与x 轴的交点 【分析】由22ba-=，得4b a =-，由点A 坐标与点C 坐标得0a b c -+=，23c <<，由二次函数图象可知0a <，则0b >，得出0abc <，故①不正确；点1(2M -，1)y ，在点C 的下方，点7(2N ，2)y 在点C 关于直线2x =对称点的上方，则12y y <，故②正确；由4023b aa b c c =-⎧⎪-+=⎨⎪<<⎩，解得3255a -<<-，故③正确；易求6AB =，DA DB =，则ADB ∆是等腰三角形，如果ADB ∆是等腰直角三角形，则点D 到AB 的距离等于132AB =，则04342a b c b aa b c-+=⎧⎪=-⎨⎪=++⎩，求出二次函数解析式为2145333y x x =-++，当0x =时，53y =，与点C 在(0,2)与(0,3)之间（不包括这两点）矛盾，得出ADB ∆不可能是等腰直角三角形，故④不正确．【解答】解：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为：2b x a=-， 22ba∴-=， 4b a ∴=-，点A 坐标为(1,0)-，点C 在(0,2)与(0,3)之间，在抛物线上， 0a b c ∴-+=，23c <<，由二次函数图象可知，0a <， 0b ∴>，又0c >，0abc ∴<，故①不正确；点1(2M -，1)y ，在点C 的下方，点7(2N ，2)y 在点C 关于直线2x =对称点的上方，12y y ∴<，故②正确；4023b aa b c c =-⎧⎪-+=⎨⎪<<⎩， 解得：3255a -<<-，故③正确；抛物线的顶点为D ，对称轴为直线2x =，∴点A 与点B 关于直线2x =对称，点D 在直线2x =上，6AB ∴=，DA DB =，ADB ∴∆是等腰三角形，如果ADB ∆是等腰直角三角形，则点D 到AB 的距离等于132AB =，即(2,3)D ，则04342a b c b a a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪=++⎩， 解得：134353a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，∴二次函数解析式为：2145333y x x =-++， 当0x =时，53y =，与点C 在(0,2)与(0,3)之间（不包括这两点）矛盾， ADB ∴∆不可能是等腰直角三角形，故④不正确；∴正确的有2个，故选：B ．【点评】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数解析式的求法、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，属于中考常考题型． 二、填空题（每小题3分，共24分）9．（3分）据有关报道，2020年某市斥资约5800000元改造老旧小区，数据5800000用科学记数法表示为 65.810⨯ ．【考点】1I ：科学记数法-表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数． 【解答】解：数据5800000用科学记数法表示为：65.810⨯． 故答案为：65.810⨯．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．10．（3分）因式分解：34mn mn -= (2)(2)mn n n +- ． 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式2(4)mn n =- (2)(2)mn n n =+-．故答案为：(2)(2)mn n n +-．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．11．（3分）一次函数2y x b =-+，且0b >，则它的图象不经过第 三 象限． 【考点】5F ：一次函数的性质【分析】直接利用y kx b =+与y 轴交于(0,)b ，当0b >时，(0,)b 在y 轴的正半轴上，进而得出答案．【解答】解：一次函数2y x b =-+，且0b >，∴它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．故答案为：三．【点评】此题主要考查了一次函数的性质，正确掌握一次函数图象分布规律是解题关键． 12．（3分）甲、乙两人进行飞镖比赛，每人投5次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为5，乙所得环数如下：2，3，5，7，8，那么成绩较稳定的是 甲 （填“甲”或“乙” )． 【考点】7W ：方差【分析】先根据方差的定义计算出乙成绩的方差，再与甲成绩的方差比较大小，方差小的成绩更稳定，据此可得答案． 【解答】解：2357855x ++++==乙，∴(222222126[(25)(35)(55)(75)85)55S ⎤=⨯-+-+-+-+-=⎦乙， 225S S =<乙甲，∴成绩较稳定的是甲，故答案为：甲．【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和方差的意义．13．（3分）关于x 的方程2(1)310m x x ++-=有两个实数根，则m 的取值范围是 134m -且1m ≠- ．【考点】AA ：根的判别式；1A ：一元二次方程的定义【分析】根据方程有两个实数根，得到此方程为一元二次方程且根的判别式大于等于0，确定出m 的范围即可．【解答】解：关于x 的方程2(1)310m x x ++-=有两个实数根，∴△94(1)0m =++，且10m +≠，解得：134m -且1m ≠-． 故答案为：134m -且1m ≠-． 【点评】此题考查了根的判别式，弄清一元二次方程解的情况与根的判别式的关系是解本题的关键．14．（3分）如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，点C 在反比例函数6y x=的图象上，点D 在反比例函数k y x =的图象上，若5sin CAB ∠=，4cos 5OCB ∠=，则k = 10- ．【考点】6G ：反比例函数图象上点的坐标特征；LB ：矩形的性质；7T ：解直角三角形 【分析】根据题意设4BC x =，5OC x =，则3OB x =，根据反比例函数系数k 的几何意义求得C 的坐标，解直角三角形求得AB 的长，即可求得OA 的长，从而求得D 的坐标，代入解析式即可求得k 的值．【解答】解：矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，点C 在反比例函数6y x=的图象上， 1632BOC S ∆∴=⨯=，4cos 5BC OCB OC ∠==， ∴设4BC x =，5OC x =，则3OB x =， ∴13432x x ⨯⨯=，解得2x =， 22BC ∴=，322OB =，32(C ∴，22)， 5sin BC CAB AC ∠==， ∴225=， 210AC ∴=，2242AB AC BC ∴=-=， 325242OA AB OB ∴=-=-=， 52(D ∴-，22)， 点D 在反比例函数ky x=的图象上， 5222102k ∴=-⨯=-， 故答案为10-．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k 的几何意义，解直角三角形等，求得D 的坐标是解题的关键．15．（3分）如图，在四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD AC ⊥，AD AC =，105BAD ∠=︒，点E 和点F 分别是AC 和CD 的中点，连接BE ，EF ，BF ，若8CD =，则BEF ∆的面积是 3 ．【考点】KD ：全等三角形的判定与性质；KW ：等腰直角三角形；KX ：三角形中位线定理【分析】过点E 作EH BF ⊥于H ．利用三角形的中位线定理以及直角三角形斜边中线定理证明BFE ∆是顶角为120︒的等腰三角形即可解决问题． 【解答】解：过点E 作EH BF ⊥于H ． AD AC =，90DAC ∠=︒，8CD =， 42AD AC ∴==DF FC =，AE EC =， 1222EF AD ∴==//EF AD ， 90FEC DAC ∴∠=∠=︒， 90ABC ∠=︒，AE EC =， 22BE AE EC ∴=== 22EF BE ∴==105BAD ∠=︒，90DAC ∠=︒， 1059015BAE ∴∠=︒-︒=︒， 15EAB EBA ∴∠=∠=︒， 30CEB EAB EBA ∴∠=∠+∠=︒， 9030120FEB ∴∠=︒+︒=︒， 30EFB EBF ∴∠=∠=︒，EH BF ⊥，122EH EF ∴==，36FH EH == 226BF FH ∴==112622322EFB S BF EH ∆∴==⨯⨯=． 故答案为23．【点评】本题考查三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 16．（3分）如图，在矩形1OAA B 中，3OA =，12AA =，连接1OA ，以1OA 为边，作矩形121OA A B 使12123A A OA =，连接2OA 交1A B 于点C ；以2OA 为边，作矩形232OA A B ，使23223A A OA =，连接3OA 交21A B 于点1C ；以3OA 为边，作矩形343OA A B ，使34323A A OA =，连接4OA 交32AB 于点2C ；⋯按照这个规律进行下去，则△201920202022C C A 的面积为 4039403913336⨯ ．【考点】38：规律型：图形的变化类；3K ：三角形的面积 【分析】首先证明123//CC A A ，12312CC A A =，推出1312CC A CC A S S=，求出第一个，第二个三角形的面积，利用相似三角形的性质寻找规律，利用规律解决问题即可． 【解答】解：在矩形1OAA B 中，3OA =，12AA =， 90A ∴∠=︒，1OA ∴121123A A AA OA OA ==， ∴1111A A OA AA OA=， 1290OA A A ∠=∠=︒，∴△121OA A OAA ∆∽，121AOA AOA ∴∠=∠，1//A B OA ， 11CAC AOA ∴∠=∠， 11COA CAO ∴∠=∠， 1OC CA ∴=，212190A OA OA A ∠+∠=︒，12190OAC A AC ∠+∠=︒， 2112CA A CA A ∴∠=∠， 12CA CA OC ∴==，同法可证131OC A C =， 123//CC A A ∴，12312CC A A =， ∴1312CC A CC A SS=，12A A=，2133OA ∴==， 2321326339A A ∴=⨯=， 12311329CC A A ∴==， ∴131211313169296108CC A CC A SS==⨯⨯=， 同法可证124134C C A C A A SS=，△431A A C ∽△32A A C ，相似比为：13， ∴1243231316913()108336C C A S =⨯=⨯，2355513336C C A S =⨯，⋯， 由此规律可得，△201920202022C C A 的面积为4039403913336⨯．故答案为4039403913336⨯．【点评】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（每小题8分，共16分） 17．（8分）先化简，再求代数式的值：24()224x x xx x x -÷-+-，其中1cos606x -=︒+． 【考点】5T ：特殊角的三角函数值；2C ：实数的运算；6D ：分式的化简求值；6F ：负整数指数幂【分析】直接利用分式的混合运算法则将分式分别化简得出答案． 【解答】解：原式4(2)(2)(2)(2)(2)(2)x x x x x x x x x+---+=-+22482(2)(2)(2)(2)x x x x x x x x x+-+-+=-+ 2310x xx+=310x =+，当1112cos606263x -=︒+=+=时， 原式2310123=⨯+=．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A ，B ，C 的坐标分别为(1,2)A ，(3,1)B ，(2,3)C ，先以原点O 为位似中心在第三象限内画一个△111A B C ．使它与ABC ∆位似，且相似比为2:1，然后再把ABC ∆绕原点O 逆时针旋转90︒得到△222A B C ．（1）画出△111A B C ，并直接写出点1A 的坐标；（2）画出△222A B C ，直接写出在旋转过程中，点A 到点2A 所经过的路径长．【考点】8R ：作图-旋转变换；SD ：作图-位似变换；4O ：轨迹【分析】（1）利用网格和位似的性质画出△111A B C ，再写出点1A 的坐标即可，（2）利用网格和旋转的性质画出△222A B C ，先利用勾股定理求出OA 的长，再根据弧长公式即可求得答案．【解答】解：（1）如图所示：点1A 的坐标为(2,4)--； （2）如图所示：由勾股定理得22125OA =+=， 点A 到点2A 所经过的路径长为9055ππ⨯⨯=． 【点评】本题考查作图-旋转变换，轨迹，作图-位似变换，解题的关键是把旋转和位似变换后对应点的坐标表示出来，及弧长公式的正确运用． 四、（每小题10分，共20分）19．（10分）某校为了解疫情期间学生居家学习情况，以问卷调查的形式随机调查了部分学生居家学习的主要方式（每名学生只选最主要的一种），并将调查结果绘制成如图不完整的统计图．种类 A B C D E学习方式老师直播教学课程国家教育云平台教学课程电视台播放教学课程第三方网上课程其他根据以上信息回答下列问题：（1）参与本次问卷调查的学生共有400人，其中选择B类型的有人．（2）在扇形统计图中，求D所对应的圆心角度数，并补全条形统计图．（3）该校学生人数为1250人，选择A、B、C三种学习方式大约共有多少人？【考点】VC：条形统计图；1V：用样本估计总体；VB：V：调查收集数据的过程与方法；5扇形统计图；VA：统计表【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图中所给数据，可得参与本次问卷调查的学生人数，和其中选择B类型的人数；（2）根据扇形统计图中所给数据，即可求D所对应的圆心角度数，并补全条形统计图；（3）根据样本估计总体即可得该校学生人数为1250人，选择A、B、C三种学习方式大约人数．【解答】解：（1）参与本次问卷调查的学生共有：24060%400÷=（人)，其中选择B类型的有：40010%40⨯=（人)；故答案为：400，40；（2）在扇形统计图中，D所对应的圆心角度数为：︒⨯----=︒，360(160%10%20%6%)14.440020%80⨯=（人)，∴三种学习方式有80人．C∴补全的条形统计图如下：（3）该校学生人数为1250人，选择A、B、C三种学习方式大约共有：1250(60%10%20%)1125⨯++=（人)．答：选择A、B、C三种学习方式大约共有1125人．【点评】本题考查了条形统计图、调查收集数据的过程与方法、用样本估计总体、统计表、扇形统计图，解决本题的关键是掌握以上统计知识．20．（10分）在一个不透明的口袋中装有4个依次写有数字1，2，3，4的小球，它们除数字外都相同，每次摸球前都将小球摇匀．（1）从中随机摸出一个小球，小球上写的数字不大于3的概率是34．（2）若从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的概率．【考点】6X：列表法与树状图法；4X：概率公式【分析】（1）列表确定出所有等可能的情况数，找出小球上写的数字不大于3的情况数，即可求出所求概率；（2）列表确定出所有等可能的情况数，找出两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的情况数，即可求出所求概率．【解答】解：（1）从中随机摸出一个小球，小球上写的数字所有等可能情况有：1，2，3，4，共4种，其中数字不大于3的情况有：1，2，3，共3种，则P（小球上写的数字不大于3 3)4 =；故答案为：34；（2）列表得：所有等可能的数有12种，两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的情况有：(1,3)，(2,4)，(3,1)，(4,2)，共4种，则P（两次摸出小球上的数字和恰好是偶数）41 123==．【点评】此题考查了列表法与树状图法，概率公式，弄清题中的数据是解本题的关键．五、（每小题10分，共20分）21．（10分）为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是1800本，八年级捐书人数比七年级多150人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍．求八年级捐书人数是多少？ 【考点】7B ：分式方程的应用【分析】设八年级捐书人数是x 人，则七年级捐书人数是(150)x -人，根据七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍，可得出方程，解出即可．【解答】解：设八年级捐书人数是x 人，则七年级捐书人数是(150)x -人，依题意有 180018001.5150x x ⨯=-， 解得450x =，经检验，450x =是原方程的解． 故八年级捐书人数是450人．【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．22．（10分）如图，已知ABC ∆，以AB 为直径的O 交AC 于点D ，连接BD ，CBD ∠的平分线交O 于点E ，交AC 于点F ，且AF AB =． （1）判断BC 所在直线与O 的位置关系，并说明理由； （2）若1tan 3FBC ∠=，2DF =，求O 的半径．【考点】MB ：直线与圆的位置关系；5M ：圆周角定理；7T ：解直角三角形【分析】（1）根据圆周角定理得到90ADB ∠=︒，根据等腰三角形的性质得到ABF AFB ∠=∠，由角平分线的定义得到DBF CBF ∠=∠，求得90ABC ∠=︒，于是得到结论；（2）根据角平分线的定义得到DBF CBF ∠=∠，根据三角函数的定义得到6BD =，设AB AF x ==，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）BC 所在直线与O 相切； 理由：AB 为O 的直径，90ADB ∴∠=︒，AB AF =， ABF AFB ∴∠=∠， BF 平分DBC ∠，DBF CBF ∴∠=∠，ABD DBF CBF C ∴∠+∠=∠+∠， ABD C ∴∠=∠， 90A ABD ∠+∠=︒， 90A C ∴∠+∠=︒， 90ABC ∴∠=︒， AB BC ∴⊥， BC ∴是O 的切线；（2）BF 平分DBC ∠， DBF CBF ∴∠=∠， 1tan tan 3DF FBC DBF BD ∴∠=∠==， 2DF =，6BD ∴=，设AB AF x ==， 2AD x ∴=-，222AB AD BD =+，222(2)6x x ∴=-+， 解得：10x =， 10AB ∴=， O ∴的半径为5．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键．六、（每小题10分，共20分）23．（10分）如图，小岛C和D都在码头O的正北方向上，它们之间距离为6.4km，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头O的正西方向A处时，测得26.5CAO∠=︒，渔船速度为28/km h，经过0.2h，渔船行驶到了B处，测得49DBO∠=︒，求渔船在B处时距离码头O有多远？（结果精确到0.1)km（参考数据：sin26.50.45︒≈，cos26.50.89︒≈，tan26.50.50︒≈，sin490.75︒≈，cos490.66︒≈，tan49 1.15)︒≈【考点】TB：解直角三角形的应用-方向角问题【分析】设B处距离码头Oxkm，分别在Rt CAO∆和Rt DBO∆中，根据三角函数求得CO和DO，再利用DC DO CO=-，得出x的值即可．【解答】解：设B处距离码头Oxkm，在Rt CAO∆中，26.5CAO∠=︒，tanCOCAOOA∠=，tan(280.2)tan26.5 2.80.5CO AO CAO x x∴=∠=⨯+︒≈+，在Rt DBO∆中，49DBO∠=︒，tanDO DBOBO∠=，。