复习提问
1.什么叫二次根式？
式子 a (a ? 0)叫做二次根式。
2.两个基本性质:
? ?a 2=a (a≥ 0) a (a≥ 0) a 2 =∣a∣ = -a (a＜0)
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3.二次根式的乘法：
a ? b ? ab(a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根
ab? a ? b (a? 0,b? 0)
(3) 50
?5 2
(6) a2b3 ? ab b
计算：
(1) 3 ? 12
(2) x ? x 3
(3)2 ab ? 3 b ( 4) ? 27 ? 1
a
3
解：(1) 3 ? 12 ? 3? 12 ? 36 ? 6
(2) x ? x 3 ? x ? x 3 ? x 4 ? x 2
练习
计算：
(1)5 12 ? 4 27 (2) 6 ? 15 ? 10
形如 a (a ? 0)的式子叫做二次根式.
2、二次根式有哪些性质？
a ? 0 , a ? 0（. 双重非负性）
? ?2 a ? a(a ? 0) a2 =∣a∣=
a (a≥ 0) -a (a＜0)
试一试
4 ? 9 ? 2? 3 ? 6 4? 9 ? 36 ? 62 ? 66
16 ? 25 ? 4? 5 ? 2200 16? 25? 400 ? 202 ? 200
问题1： ? 4 ? × ? 9 ? (? 4) ? (?9) ？ 问题2： 9 ? 16 ×? 9 ? 19 ？
× 5 2 ? 3 2 ? 5 2 ? 3 2
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例1、计算
(1 ) 3 ? 27
(3) 2a ? 8a ?a ? 0?
( 2 ) 1 ? 32 2
a ? b ? a ? b （a≥0,b≥0)
例题：化简： (1)、27 (2)、a3 (a ? 0)
(3) 4a2b3 (a ? 0,b ? 0)
解:(1)原式= 9 ? 3 ? 9 ? 3 ? 3? 3 ? 3 3
(2)原式= a2 ?a ? a2 ? a ? a a
(3)原式= 22 a2b2b ? (2ab)2 ?b ? 2ab b
(4)原式＝ 2 1 1 ? 1 ＝ 2
5 26 5
3? 6 ＝6
2
5
仍旧作为二 次根号前的 系数。
? ?5xy 2 ? x
计算下列各式 ,观察计算结果 ,你发现什么规律 ?
?1?. 4 ? ?? 2 ??,
9 ?3 ?
?2?.
16 49
?
???
4 7
???,
(3) 2 ＝ 2 33
4 ? ?? 2 ?? 9 ?3 ?
44 ?
99
16 49
?
???
4 7
???
16 ?
49
16 49
2＝ 2
55
a
12.2二次根式的乘除
课前检测:
1、 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(1) 5x ? 1 (2) 3x ? 1
(3) 1 ? 3x 2、计算：
(1)、( 3)2
(4)、? (? 3) 2
(4) 1? x2
(2)、（? 7）2
(3)、（1 ? x4 ? 9 ? 4? 9 16 ? 25 ? 16 ? 25
4、请同学们根据以上例子讨论、归纳总结出一般规律
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二次根式乘法公式
a ? b ? a ? b（a≥0,b≥0)
两个二次根式的 积，等于被开方数 积的算术平 方根。
× 注意： a ? b ? a ? b
求 x ? y ? z 的值：
x ? 2，y ? 6，z ? 3即：x ? y ? z ? 36 ? 6
化简 ? 25x 3 y4
解：由二次根式的意义可知：
? 25x 3 y4 ? 0,? y4 ? 0,? x ? 0.
? ? ? ? 25x 3 y4 ? 25y4 ? ? x 3
? 5y2 ?x ? ? x
2 18 2 18 2
?3 3
试一试
32
计算：(1) 2
(2) 50 10
?3? 4 1 ? 7
5 10
(4)2 11 ? 5 1 26
解：?1? 32? 32? 16? 4
22
?2? 50? 50? 5
10 10
(3)原式＝
41 ? 7＝ 5 10
21 ? 10＝
57
6
如果根号前 有系数，就
把系数相除，
a
规律:
?
b
b
?a ? 0,b ? 0?
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，
作为商的被开方数
a ?
a
?a ? 0,b ? 0?
b
b
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，
作为商的被开方数
例４：计算 解：
?1? 24
3
?2? 3 ? 1
2 18
?1? 24 ?
3
24 ? 3
8?
4? 2 ? 2 2
?2? 3 ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 ? 18 ? 3 ? 9
解：(1) 3 ? 27 ? 3? 27 ? 81 ? 9
(2) 1 ? 32 ? 1 ? 32 ? 16 ? 4
2
2
(3) 2a ? 8a ? 2a ? 8a ? 16a 2 ? 4a
练习1计算
(1) 2 ? 8
(2) 1 ? 27 3
(3)2 3 ? 3 27
(2) 5a ? 10a3 2
二次根式性质 4:
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根.
思考：二次根式的除法有没有类似的法则呢？ 请试着自己举出一些例子．
探究
(?4)? (?9) ? ? 4 ? ? 9成立吗？
不成立！
? 4、 ? 9没有意义。
练习 1、化简
(1) 24,
?2 6
(2) 72,
?6 2
(4) 9a , ?3 a
(5) 2a2 , ?a 2
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如何化简二次根式
关键：将被开方数因式分解或 因数分解，使出现“完全平方数” 或“偶次方因式”,最后结果的被 开方数中不含能开得尽方的因数 或因式
练习3 化简
(1)、18 (2)、8a3 (a ? 0) (3) 12a3b2 (a ? 0,b ? 0) (4) 45 (5) 24 (6) 32
练习2
一个直角三角形的两条直角边分别长 2 2cm与 10cm ，
求这个直角三角形的面积。
S ? 1 ? 2 2 ? 10 ? 2 （5 cm2） 练习32 （综合练习）
1、 x ? 1 ? x ? 1 ? x2 ? 1的成立的条件是（
）
x ? 1＞0且x ? 1＞0，即：x＞1
2、如果： x ? 2 ? 6 ? y ? z 2 ? 6z ? 9 ? 0