函数项级数举例
求 1 x x 2 x 3 x n x ) 前n项部分和 sn ( x ) 1 x
n
1 x 1 s( x ) lim sn ( x ) lim 1 x n n 1 x
故级数的收敛域为
{ x | x 1,2,, x }
n
（2）函数项级数的部分和 sn ( x ), lim sn ( x ) s( x )
（3）余项
n
rn ( x ) s( x ) sn ( x )
(x在收敛域上)
lim rn ( x ) 0
注：函数项级数在某点 x 的收敛问题,实质上是 常数项级数的收敛问题.
二
例1 的和函数. 解
(2)函数项级数 un ( x ) 的所有收敛点的全体称
n 1
为收敛域,所发散点的全体称为发散域.
3.和函数(Sum function)
(1)在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数s( x ), 称 s( x )为函数项级数的和函数.
s( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x )
n
x ( 1,1)
1 1 ) 收敛域. 例2 求 ( x n1 n1 x n

解
1 1 un ( x ) ( n 1,2,) x n x n1
的定义域为 x 1,2,,
n
因为
1 1 1 1 Sn ( x ) ( ) x k 1 x 1 x n1 k 1 x k 1 1 1 lim sn ( x ) lim n n x 1 x n1 x 1
第四节 函数项级数
一 函数项级数的概念 二 函数项级数举例
一
1.定义

函数项级数的概念
设 u1 ( x ), u2 ( x ),, un ( x ),是定义
在 I R 上的函数,则由其构成的表达式
称为定义在区间 I 上的(函数项)无穷级数,简称
(函数项)级数. 例如级数 x 1 x x ,
n 2 n 0
un ( x ) u1 ( x ) u2 ( x ) un ( x ) n 1
2.收敛点与收敛域
(1)如果 x0 I ,数项级数 un ( x0 ) 收敛,则称 x0 为级数 un ( x ) 的收敛点,否则称为发散点.
n 1 n 1