受迫振动研究报告
1. 实验原理
1.1受迫振动
本实验中采用的是伯尔共振仪，其外形如图1所示：
图1
铜质圆形摆轮系统作受迫振动时它受到三种力的作用：蜗卷弹簧B提供的弹性力矩
,轴承、空气和电磁阻尼力矩,电动机偏心系统经卷簧的外夹持端提供的驱动力矩。

根据转动定理，有
式中，J为摆轮的转动惯量，为驱动力矩的幅值，为驱动力矩的角频率，令
则式（1）可写为
式中为阻尼系数，为摆轮系统的固有频率。

在小阻尼条件下，方程
（2）的通解为：
此解为两项之和，由于前一项会随着时间的推移而消失，这反映的是一种暂态行为，与驱动力无关。

第二项表示与驱动力同频率且振幅为的振动。

可见，虽然刚开始振
动比较复杂，但是在不长的时间之后，受迫振动会到达一种稳定的状态，称为一种简谐振动。

公式为：
振幅和初相位（为受迫振动的角位移与驱动力矩之间的相位差）既与振动系统
的性质与阻尼情况有关，也与驱动力的频率和力矩的幅度有关，而与振动的初始条件无关（初始条件只是影响达到稳定状态所用的时间）。

与由下述两项决定：
1.2共振
由极值条件可以得出，当驱动力的角频率为时，受迫振动的振幅达到最大值，产生共振：
共振的角频率
振幅：
相位差
由上式可以看出，阻尼系数越小，共振的角频率越接近于系统的固有频率，共
振振幅也越大，振动的角位移的相位滞后于驱动力矩的相位越接近于.
下面两幅图给出了不同阻尼系数的条件下受迫振动系统的振幅的频率相应（幅频特
性）曲线和相位差的频率响应（相频特性）曲线。

受迫振动的幅频特性受迫振动的相频特性
1.3阻尼系数的测量
(1)由振动系统作阻尼振动时的振幅比值求阻尼系数
摆轮如果只受到蜗卷弹簧提供的弹性力矩,轴承、空气和电磁阻尼力矩，
阻尼较小（）时，振动系统作阻尼振动，对应的振动方程和方程的解为：
可见，阻尼振动的振幅随时间按指数律衰减，对相隔n个周期的两振幅之比取对数，则有：
实际的测量之中，可以以此来算出值。

其中，n为阻尼振动的周期数，为计时开
始时振动振幅，为的n次振动时振幅，T为阻尼振动时周期。

（2）由受迫振动系统的幅频特性曲线求阻尼系数（只适合于时的情况）
由幅频特性可以看出，弱阻尼情况下，共振峰附近
，由（4）和（6）可得：
当时，由上式可得：。

在幅频特性曲线上可以直接读出处对应的两个横坐标和，从而可得：
2. 实验仪器
伯尔共振仪，如图：
3. 实验数据及其处理
3.1
周期（s）振幅周期（s）振幅周期（s）振幅
1.569159 1.572122 1.57582
1.569158 1.572120 1.57578
1.570153 1.572116 1.57576
1.570147 1.573114 1.57575
1.570146 1.573111 1.57574
1.570145 1.573110 1.57669
1.570141 1.573109 1.57666
1.571137 1.573106 1.57660
1.571135 1.573103 1.57659
1.571130 1.57499 1.57658
1.572127 1.57494 1.57653
1.571126 1.57493 1.57652
1.572125 1.57492 1.57651
1.572124 1.57491 1.57650
1.57487
由拟合直线可以看出周期T与振幅的关系式为：
说明：
（1）由于材料的性质和制造工艺等原因，使得弹簧系数k在扭转角度的改变而略有变化（3%左右）。

为此测出周期与振幅之间的关系曲线，供作幅频特性曲线和相频特性曲线是查用，有效减小实验的系统误差。

（2）由于实验测量精度的原因，测量值无法表现出一种连续性的变化。

所以在图上
的描点会出现这样的情况。

采用直线拟合效果也是比较好的。

3.2观察研究摆轮的阻尼振动
10个周期（15.736s）时振幅记录
振幅15013812811710810092847871由公式：
可以得出：
所以：
3.3测定摆轮受迫振动的幅频与相频特性曲线，并求阻尼系数
数据载入(周期的单位均为S):
初始周期指的是对应角度的阻尼为0是的周期。

由此，可以作出幅频特性曲线和相频特性曲线。

拟合出来的幅频特性曲线：
拟合的幅频特性曲线的参数如下：
由拟合可得，振幅与的关系为：
由公式（8），当时，
因为, 推出
因为，且理想条件为，通过查表可知，
所以，阻尼系数为：
说明：
（1）两次算出的值相差比较大，可能是因为使用的计算方式不一样造成的。

拟合出来的幅频特性曲线：
相应的拟合参数为：
所以，拟合的方程为：
由拟合的参数可知，拟合的程度还是相当好的。