3 三角函数大题压轴题练习1.已知函数 f (x ) = cos(2x - ) + 2 s in(x - ) sin(x + )3 4 4（Ⅰ）求函数 f (x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的值域12 2解：（1）Q f (x ) = cos(2x - ) + 2 s in(x - ) sin(x + )3 4 4= 1 cos 2x + 3sin 2x + (sin x - cos x )(sin x + cos x ) 2 2= 1 cos 2x + 3sin 2x + sin 2 x - cos 2 x 2 2= 1 cos 2x + 3sin 2x - cos 2x 2 2= sin(2x -∴周 周6 T = 2 = 2 k由2x - = k + (k ∈ Z ), 周 x = + (k ∈ Z )6 2 2 3∴函数图象的对称轴方程为 x = k + ∈ Z )35（2）Q x ∈[- , ],∴ 2x - ∈[- , ]12 2 6 3 6因为 f (x ) = sin(2x - ) 在区间[- , ] 上单调递增，在区间[ , ] 上单调递减，6 12 3 3 2所以 当 x = 时， f (x ) 取最大值 13 1 又 Q f (- ) = - < f ( ) = ，当 x = - 时， f (x ) 取最小值- 12 2 2 2 12 2所以 函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的值域为[-12 2 ,1]22. 已知函数 f (x ) = sin 2x +3 sin x sin ⎛x + π ⎫ （> 0 ）的最小正周期为π ．2 ⎪ ⎝ ⎭（Ⅰ）求的值；3 3 )(k⎥ ⎝ ⎭ 2（Ⅱ）求函数 f (x ) 在区间⎡0 2π ⎤ 上的取值范围．⎢ ， ⎥⎣3 ⎦1- cos 2x 解：（Ⅰ） f (x ) =+ sin 2x = sin 2x - 1cos 2x + 1 2 2= sin ⎛ 2x - π ⎫ + 1 ．22 26 ⎪ 2 ⎝⎭因为函数 f (x ) 的最小正周期为π ，且> 0 ，2π所以= π ，解得= 1 ．2（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f (x ) = sin ⎛2x - π ⎫ + 1 ．6 ⎪ 2 ⎝⎭因为0 ≤ x ≤2π，3π π 7π 所以- ≤ 2x - ≤ ，6 6 6 所以- 1 ≤sin ⎛2x - π ⎫≤1，2 6⎪ ⎝ ⎭因此0 ≤sin ⎛2x - π ⎫ + 1 ≤ 3 ，即 f (x ) 的取值范围为⎡03 ⎤ ．6 ⎪ 2 2 ⎣⎢ ， ⎥⎦3. 已知向量 m =(sin A ,cos A ),n = ( 3, -1) ，m ·n ＝1，且 A 为锐角.（Ⅰ）求角 A 的大小；（Ⅱ）求函数 f (x ) = cos 2x + 4 cos A sin x (x ∈ R ) 的值域.π π 1解：（Ⅰ） 由题意得 m g n = 3 sin A - cos A = 1, 2 s in( A - ) = 1, s in( A - ) = .6 6 2由 A 为锐角得 A - = , A =6 6 3 1（Ⅱ） 由（Ⅰ）知cos A = ,2所以 f (x ) = cos 2x + 2 sin x = 1- 2 sin 2x + 2 sin s = -2(sin x - 1 )2 + 3 .2 2因为 x ∈R ，所以sin x ∈[-1,1]，因此，当sin x = 1 3 时，f (x )有最大值 . 2 2当sin x = -1时， f (x ) 有最小值-3,所以所求函数 f (x ) 的值域是⎡-3 3 ⎤， ⎣ 2 ⎦33 ⎢(0, ) g g ⎝4. 已知函数 f (x ) = A sin(x +)( A > 0，0 << π) ， x ∈ R 的最大值是 1 ，其图像经过点M ⎛ π 1 ⎫⎛ π ⎫3， ⎪ ．（ 1 ） 求 f (x ) 的解析式； （ 2 ） 已知 ，∈ 0， ⎪ ，且 f () = ， ⎝ 3 2 ⎭ f () = 12，求 f (- ) 的值．13⎝ 2 ⎭5 1【 解 析 】（ 1 ） 依 题 意 有 A = 1 ， 则 f (x ) = sin(x +) ， 将 点 M ( , ) 代 入 得3 21 sin( +) = ， 而 0 << ， 5∴ += ， ∴= ， 故3 2 f (x ) = sin(x += cos x ；3 6 22 （ 2 ） 依 题 意 有 cos =3 , cos = 12， 而 5 13 ,∈ ， 2∴sin == 4,sin = 5 = 5 ， 13 f (-) = cos(-) = coscos+ sinsin = 3 ⨯ 12 + 4 ⨯ 5 = 56。

5. 已知函数 f (t ) =5 13 5 13 65, g (x ) = cos x ⋅ f (sin x ) + sin x ⋅ f (cos x ), x ∈ (, 1712（Ⅰ）将函数 g (x ) 化简成 A sin(x +) + B （ A > 0 ，> 0 ，∈[0, 2) ）的形式；（Ⅱ）求函数 g (x ) 的值域.解.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分 12 分）1- sin x1- cos x解：（Ⅰ） g (x ) = cos x g1+ sin x+ sin x g1+ cos x= cos x g (1- sin x )2 cos 2 x + sin x g(1- cos x )2sin 2 x= cos x 1- sin x + sin x 1- cos x .cos x sin xQ x ∈⎛ π, 17π⎤,∴ cos x = -cos x , sin x = -sin x ,12 ⎥⎦∴ g (x ) = cos x 1- sin x + sin x 1- cos xg -cos x g -sin x1-(3)2 5 1-() 13 12 2 1- t 1+ t ) ).2 2 2 4 ⎣ = sin x + cos x - 2⎛ π ⎫＝ 2 sin x + ⎪ - 2.⎝ ⎭ 17π 5π π 5π（Ⅱ）由π周 x ≤ 周得 周 x + ≤ .12 4 4 3⎛ 5π 3π⎤ ⎛ 3π 5π⎤Q sin t 在 4 , 2 ⎥ 上为减函数，在 2 , 3 ⎥ 上为增函数，⎝ ⎦ ⎝ ⎦5π 5π 3π π 5π ⎛ 17π⎤又sin 周 3 sin ,∴sin 4 2 ≤ sin(x + )周4 sin 4 （当 x ∈ π, 2 ⎥ ）， ⎝ ⎦π π即-1 ≤ sin(x + )周 - 周∴- - 2 ≤ 2 sin(x + ) - 2周- 3周 4 2 4 故 g (x )的值域为⎡- - 2, -3). 6．（本小题满分 12 分）在∆ABC 中，角 A , B , C 所对应的边分别为 a , b , c ， a = 22 sin B cos C = sin A ，求 A , B 及b , c，tanA +B + tan C2 2= 4,解：由tan A + B + tan C 2 2= 4 得cot C + tan C= 4 2 2cos C sin C ∴ 2 + 2 = 4 ∴ 1 = 4 sin C cos C sin C cos C2 2 2 2 1∴ s in C =，又C ∈(0,)25 ∴ C = ，或C =6 6由2 sin B cos C = sin A 得 2 sin B cos B = sin(B + C )即sin(B - C ) = 0 B = C =6∴ B = CA =- (B + C ) = 23 a b c 由正弦定理sin A = = sin B 得 sin C 33 3 2 3 3 ⎩b =c = a sin B= 2 3 ⨯ sin A 12 = 2327.在△ABC 中,内角 A , B , C 对边的边长分别是 a , b , c .已知c = 2, C = .3⑴若△ABC 的面积等于 ,求 a , b ;⑵若sin C + sin(B - A ) = 2 sin 2 A ,求△ABC 的面积.说明：本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分 12 分．解析：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得， a 2+ b 2- ab = 4 ，1又因为△ABC 的面积等于 ，所以⎧a 2 + b 2 - ab = 4，ab sin C = 2 ，得 ab = 4 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分联立方程组⎨ab = 4， 解得 a = 2 ， b = 2 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分（Ⅱ）由题意得sin(B + A ) + sin(B - A ) = 4 sin A cos A ，即sin B cos A = 2 s in A c os A ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分当cos A = 0 时， A = π ，B = 2 π， a = 6， b = ， 3 3当cos A ≠ 0 时，得sin B = 2 sin A ，由正弦定理得b = 2a ，⎧a 2 + b 2 - ab = 4， 2 3 4 3联立方程组⎨ ⎩b = 2a ，解得 a = ， b = ． 3 3所以△ABC 的面积 S = 1ab sin C =．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分2 31. 已知函数 f (x ) = sin(x + ) + sin(x - 6 6) + cos x + a (a ∈ R , a 为常数) .(Ⅰ)求函数 f (x ) 的最小正周期；(Ⅱ)若函数 f (x ) 在[- ， ]上的最大值与最小值之和为 ，求实数 a 的值.2 解：（Ⅰ）∵ f (x ) = 2 s in x cos2+ cos x + a = 63 sin x + cos x + a= 2 s in ⎛ x + ⎫ + a ............................................................. 5 分6 ⎪ ⎝ ⎭∴函数 f (x ) 的最小正周期T = 2 .................................. 7 分3 4 3 2 333 3 3 3 ⎪⎡ ⎤2 (Ⅱ)∵ x ∈ ⎢- , ⎥ ，∴ - ≤ x + ≤⎣ 2 2 ⎦3 6 3f ( x ) = f ⎛ -⎫= - + a ……9 分min 2 ⎪f max (x ) = ⎝ ⎭f ⎛⎫= 2 + a ........................ 11 分 ⎝ ⎭由题意，有(- + a ) + (2 + a ) =∴ a = -1 ................................................................ 12 分2.（本小题 12 分）已知函数 f (x ) = 2a cos 2 x + b sin x cos x -3,且f (0) = = 1 ., f ( )2 2 4 2（1）求 f (x ) 的最小正周期；（2）求 f (x ) 的单调增区间；⎧ 3⎪ f (0) = 2⎧⎪a = 解：（1）由⎨1 得⎨2 ...................3 分 ⎪ f ( ) = ⎩4 2⎪⎩b = 1 f (x ) = 3 cos 2 x + sin x cos x - = 3 cos 2x + 1sin 2x = sin(2x + ……6 分2 2 2 3故最小正周期T =（2）由2k - 2 5≤ 2x + ≤ 2k + 3 (k ∈ Z )2 得 k -12≤ x ≤ k + 12 (k ∈ Z ) 5故 f (x ) 的单调增区间为[k - 122, k + ](k ∈ Z ) 12 …………12 分→3. 已知 f (x ) = -4 cosx + 4 3a sin x cos x ，将 f (x ) 的图象按向量 b = (- ,2) 平移后，4图象关于直线 x = 对称． 12（Ⅰ）求实数 a 的值，并求 f (x ) 取得最大值时 x 的集合；（Ⅱ）求 f (x ) 的单调递增区间．→解：（Ⅰ） f (x ) = 2 3a sin 2x - 2 cos 2x - 2 ，将 f (x ) 的图象按向量 b = (-,2) 平移后4的解析式为 g (x ) = f (x + ) + 2 = 2 s in 2x + 2 43a cos 2x ．… ................... 3 分333⎪ )4 + 4 c os ⎛+ ⎫ 4 ⎪ ⎝ ⎭2 ⎛ ⎫ (2 8 ) ⎝ ⎭ ⎛ ⎫ = ⎝ ⎭周 g (x ) 的图象关于直线 x =对称，12 ∴有 g (0) =，即2 3a = + 3a ，解得 a = 1 ． ........................ 5 分 g ( )6则 f (x ) = 2 3 sin 2x - 2 cos 2x - 2 = 4 s in(2x - ) - 2 ．........................ 6 分 6 当2x -6 = 2k + ，即 x = k + 2 时， f (x ) 取得最大值 2．… ................7 分 3因此， f (x ) 取得最大值时 x 的集合是{x x = k + , k ∈ Z }．… ............... 8 分3（Ⅱ）由2k-≤ 2x - ≤ 2k + ，解得 k - ≤ x ≤ k + ． 2 6 2 6 3因此， f (x ) 的单调递增区间是[k - , k + 6 ] (k ∈ Z ) ．… ................... 12 分 34. 已知向量 m = ( cos , sin ) 和 n =( (1) 求| m + n | 的最大值；(2)当| m + n | = 8- sin , cos )，∈［π，2π］．时，求cos + 的值．4．解：(1) u r r m + n =u r rm + n = cos - sin+ ⎪⎝ ⎭ 2, cos + sin)=(2 分)= = 2 (4 分)∵θ∈［π，2π］，∴ 5 ≤+ ≤ 9 ，∴ cos(+≤14444| m + n | max =2 2 ．(6 分)u r r 8 2 ⎛ ⎫ 7 (2) 由已知 m + n = 5 , , 得 cos + 4 ⎪ = 25(8 分 )又cos + = 2+ -1 ∴ 2+16 (10 分)4 ⎪ 2 c os ( ) 2 8 cos ( ) 2 8 25 ⎝ ⎭5 9⎛ ⎫ 4 ∵θ∈［π，2π］∴ 8 ≤ + ≤ 2 8 8 ，∴ cos 2 + 8 ⎪ = - 5 ．(12 分)。