浙江省台州市第一中学2020-2021学年高三上学期
期中数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 设集合，，则（）A．B．C．D．
2. 若复数（其中为虚数单位），则复数的模为（）A．B．C．D．
3. 若是函数的零点，则所在的一个区间是（）A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
4. 如图，某几何体的三视图均为直角边长度等于的等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（）
A．B．C．D．
5. 已知向量，，则“与的夹角为锐角”是“或
”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6. 在中，若，则的值为（）
A．B．
C．或D．或
7. 已知函数是周期函数，最小正周期为，当时，
.若，则满足的所有取值的和为
（）
【选项A】【选项B】【选项C】【选项D】
8. 设实数满足约束条件则的取值范围为
（）
A．B．C．D．
9. 设为等腰三角形，，，为边上的高，将
沿翻折成，若四面体的外接球半径为，则线段的长度为（）
A．B．C．D．
10. 已知函数，，若存在，使得
成立，则的最大值为（）（注：为自然对数的底数）A．B．C．D．
二、双空题
11. 函数的定义域为_____，值域为____.
12. 已知双曲线，为左焦点，若，则双曲线离心率为_____；若对于双曲线上任意一点，线段长度的最小值为，则实数的值为_____.
13. 已知展开式中的常数项为，则_____ ，展开式中含的项的系数为_____.
14. 有五个球编号分别为号，有五个盒子编号分别也为号，现将这五个球放入这五个盒子中，每个盒子放一个球，则恰有四个盒子的编号与球的编
号不同的放法种数为_____（用数字作答），记为盒子与球的编号相同的个数，则随机变量的数学期望____.
三、填空题
15. 设等比数列的前项和为，若，，则的取值范围为_______.
16. 设向量满足，，若，，则
的最小值为_______ .
17. 已知，若对于任意的实数，不等式
恒成立，则的取值范围为_______ .
四、解答题
18. 已知函数.
（Ⅰ）设，且，求的值；
（Ⅱ）将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像. 当时，求满足的实数的集合.
19. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，
为等腰三角形，.
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）若二面角的余弦值为，且，求的长度，并求此时与平面所成角的正弦值.
20. 已知数列的前项和为，，数列是公差为的等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求证：对于任意的，.
21. 如图，已知点在抛物线上，过点作三条直线
，与抛物线分别交于点，与轴分别交于点，且
.
（Ⅰ）(i)求抛物线的方程；
(ii) 设直线斜率分别为，若，求直线的方程；
（Ⅱ）设，四边形面积分别为，在（Ⅰ）的条件下，求的取值范围.
22. 已知函数，.
（Ⅰ）若，求的单调区间；
（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）设，求证：当时，恒有.。