m
(s zi )
或：K g
i 1 n
1
(s pi )
j 1
m
n
s zi s p j 180o (2k 1) k 0,1,2,
i 1
j 1
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《自动控制原理》第四章
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第二节 绘制根轨迹的基本法则
一.根轨迹的连续性
二.根轨迹的对称性
关于实轴对称
三.根轨迹的分支数
分支数=系统的阶数
令s j,得：( j)3 3( j)2 2( j) Kg 0
K2g 332
0 0
Kg
2 6
(2)用劳斯表求：
令 6 Kg 3
0, Kg
6
辅助方程：3s2 Kg 0,则：s1,2 j 2
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
《自动控制原理》第四章
s3 1 2 s2 3 Kg s1 6Kg
3
s0 Kg
(s)
Kg (s 4) s(s 2)
解： R 4 2 2.83
Kg 6
10 8 6 4 2
j
4
2
2 2
Kg 6
4
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二.参量根轨迹
除开环增益以外的其它参数变化时对系统的影响 首先求出等效单回路开环传递函数
例：求由0 变化时的根轨迹
解：
R(s)
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例：求根轨迹离开复数共轭极点 p1, p2的出射角
解：1 180o (2k 1) p1 z1 p1 p2
p1 p3 p1 p4 180o (2k 1) 45o 90o
135o 26.6o
j
s平面 p1 26.6o
180o 2k 26.6o p426.6o
45o
取k 0,得1 26.6o 3 2 z1
135o
0 p3
p2 26.6o j
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九.根轨迹与虚轴的交点
s j 0 j
例：开环传递函数为: GK
(s)
s(s
Kg 1)(s
2)
解：(1)s(s 1)(s 2) Kg 0,得：s3 3s2 2s Kg 0
G
K
(s)
s(s
K 1)(0.5s
，求 1)
0.5
时的闭环主导极点及其它闭环极点，并估算性能指标。
解：G K
(s)
s(s
2K 1)(s
2)
s(s
Kg 1)(s
2)
cos1 cos1 0.5 60o
(1)作图得： s1 0.33 j0.58 s2 0.33 j0.58
根据闭环极点之和 开环极点之和 C常数的法则知：
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二.求取闭环系统零点的方法
三.闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系
(1)全部闭环极点应在s平面左半部，即系统稳定； (2)闭环极点应远离虚轴，即系统的快速性好； (3)共轭复根应在 45o 上， 0.707，即系统的平稳性好； (4)主导极点； (5)闭环零点可以削弱或抵消附近闭环极点的作用。
GK (s)
g
s2
s 0.2s 1
p1,2 0.1 j0.995 z0
R 0.12 0.9952 1
p1
0
1.8
1
0
p2
j
1
0.5 z1
0
0.5
1
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第四节 求取闭环系统零、极点的方法
一.求取闭环系统极点的方法
例： 已知开环传递函数为 :
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2
j
Kg
Kg=5
2
Kg=2
1
Kg=0
Kg=1 Kg=0
-2 -1
Kg=2
-1
Kg=5
-2
Kg
(1)K g : 0 , 根轨迹 (2)0 K g 1,实轴上 (3)K g 1,开始进入复平面 (4)K g 1,复平面 (5)关于实轴对称
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第五节 增加开环零、极点对根轨迹的影响
一.增加开环零点对根轨迹的影响
（1）改变实轴上的根轨迹； （2）改变渐近线的条数、倾角和截距； （3）开环零点与附近的开环极点构成开环偶极子； （4）根轨迹曲线向左偏移，改善了系统的动态性能， 所加 零点越靠近虚轴，影响越大。
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(4)分离点: s 2.28
2.28
3 d
1.25
j
1.09
0 1.09
(5)与虚轴的交点： s4 5s3 8s2 6s Kg 0
1.1, Kg 8.6
(6)出射角:3 180o (2k 1) (135o 26.6o 90o ) 71.6o
故：D(s) 3s2 6s 2; N(s) 0 D(s)N(s) N(s)D(s) 0,3s2 6s 2 0
ss21
0.423 1.577
（不合题意）
(2)极值法：s(s 1)(s 2) Kg 0
dKg (3s2 6s 2) 0 ds
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第四章 根轨迹分析法
第一节 根轨迹的基本概念
一.根轨迹图 S平面： 复平面 根轨迹：指系统开环传递函数中的某一参数变化时， 闭环特征根在根平面上所走过的轨迹。
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例：开环传递函数为G(s) K 2K Kg
s(0.5s 1) s(s 2) s(s 2)
i 1
m
lim lim lim ( ) 其余n m, s
s zi
i 1 n
s pj
s
sm sn
s
1 s
nm
0
j 1
lim ( 1 ) 0,此时s ，即无穷远处
K Kg g
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五.实轴上的根轨迹
在实轴上，右方的实数开环极点和实数开环零 点的总和为奇数时，此为根轨迹上点。
s
即当s
时, (s
a )nm
Kg , s
a
1
(Kg ) nm
1 j(2 1)180o
在s平面内,
(
K
g
)
1 nm
nm
Kg e
nm
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例：开环传递函数为: GK
(s)
s(s
Kg (s 4)(s2
1) 2s
2)
解： n 4, m 1
p1 0, p2 1 j, p3 1 j, p4 4
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3
二.根轨迹方程
R(s)
+－
G(s)
(s) G(s) G(s)
1 G(s)H (s) 1 GK (s)
H(s)
式中：GK (s) G(s)H(s)是开环传递函数
m
(s zi )
GK (s) Kg
i 1 n
(s pj)
j 1
zi,开环零点 p j ,开环极点 Kg , 根轨迹增益
解： (s)
C(s) R(s)
s2
Kg 2s
Kg
则：s2 2s Kg 0
得：s1 1 1 Kg , s2 1 1 Kg
Kg 0
1 4
1 2
1
2 5
S1 0 -0.13 -0.29 -1 -1+j -1+2j 1 j
S2 -2 -1.866 -1.707 -1 -1-j -1-2j 1 j
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圆弧根轨迹：
设系统开环传递函数为：GK
(s)
(s
Kg (s z) p1)(s p2 )
由相角条件： s z s p1 s p2
将s j代入得：
j z j p1 j p2
tg1 tg1 tg1
+ －+ －
GK
(s)
G(s)H (s)
5(s 1)
s(5s 1)
5 s(5s 1)
s
C(s)
由此得闭环系统的特征方程为：s(5s 1) 5(s 1) 0
(5s2 s 5) 5s 0
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1
5s2
5s
s
5
0
1
s2
gs
0.2s
1
0
1 GK (s) 0
极值法：
就实轴部分而言：
（1）Kg=0增大时，当Kg取最大值时，进入复平面， 此时为分离点。
（2）Kg增大时，从复平面进入实轴时Kg取最小值， 以后Kg不断增加。
dKg ds
0
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例：
开环传递函数为: GK
(s)
s(s
Kg 1)(s
2)
解： (1)重根法： D(s) s(s 1)(s 2); N(s) 1
(2)K Kg 0.525 2
60o
2
(3)又：2.34 0.33
7，则
s1,
是主导极点
2
p3
2
0.5 n (0.33)2 (0.58)2 0.667
60o p2