裂区和条区试验的方差分析1 裂区试验的设计方法在有些多因素随机区组试验设计中，由于情况特殊，我们不能在区组内将所有处理完全随机排列，这些情况导致了随机区组设计的一些推广设计，如裂区设计和条区设计．裂区设计的原理是这样，区组包含一定数目的主小区，主小区又被划分成若干个次级小区．这样一个因素或几个因素的各水平首先配置给主小区，然后另外的一个因子或几个因子配置给次级小区．【例1】牧场试验中的裂区设计。
试验因素有两个，一是牧草品种B：B1、B2、B3，B4、B5、B6，另一个是放牧吃草方式A：A1、A2。
牧草可以在各区组内随机配置来种植，但放牧吃草方式却需要一大片土地，因为小了不够畜群吃。
这样我们采取下列设计方式：在试验设计中，把A1、A2占的区称为主小区，A称为主区因素，把每一个主小区分为6个子区（裂区或副小区），把6个品种随机配置进去，因而把品种B叫子区因素或副因素。
这种试验设计为二裂式裂区试验。
可以看出，在随机区组试验设计中，所有处理A i B j是在一个区组内随机配置的，而在裂区试验中，副因素是在主小区内随机配置的。
在生物科学和农林科学试验中，采用裂区试验设计的例子是不少的，譬如对某作物既要比较几种施肥法，又要比较几种灌溉法，以及这两个因素的交互作用。
各种施肥法可以在较小的副小区田上配置，但各种灌溉法需在较大的主小区上配置。
又如播种期和品种试验，适宜的方法是把同一播期的各品种种在一起，即播种期为主因素，安排在主小区上，而品种为副因素，应随机安排在副小区上。
如果副小区（裂区）内再划分小区，称为再裂区，在其中安排副副因素C，这种安排主因素（A）、副因素（B）和副副因素（C）的试验设计称为三裂式裂区试验。
裂区设计的主要优点在于：a．田间实施比较方便；b．能利用原有的试验地及试验材料，进行深一步的研究；c．某个因子可获得较高的精确度。
但裂区设计的还存在如下主要缺点：a．资料的统计分析比较复杂，不易掌握；b．次要因子的精确度较低。
另外要注意，裂区的面积大小同一般随机区组设计时小区面积相同，不能太小。
2 裂区试验的方差分析2．1 二裂式裂区试验的方差分析设主因素A有a个水平，副因素B有b个水平，有r个区组，则A i B j在第k个区组的观察值为x ijk。
二裂式裂区试验的方差分析特点表现在变异来源上分主区部分和副区部分，各有各的误差和相应的自由度。
具体见表1。
表1 二裂式裂区试验变异来源和自由度分解表1反映了二裂式裂区试验在方差分析上与二因素完全随机区组试验的区别：)1(1()1)(1()1)(1(--=--+--=+=ab r b r a a r f f f b a e e ef e 为二因素完全随机区组试验的误差自由度，把f e 分解为a e f 和b e f ，是因为每一主小区都包含一套副因素处理的特点而引起的。
二裂式裂区试验的线性统计模型为：）（；；1,,2,1,,2,1,,2,1)(rk b j a i x ijk ij j ik k i ijk ===++++++=εαββδγαμ 其中αi 为主区因素A i 的主效应，γk 为区组k 的主效应，δik 为A i 与区组k 的交互效应，为主区误差；βj 为副区因素B j 的主效应，(αβ)ij 为A i 与B j 的交互效应，εijk 为副区误差。
δik 间相互独立且均服从N （0，21σ），δijk 间相互独立且均服从N （0，22σ）。
下面用具体实例说明二裂式裂区试验的分析方法。
【例2】设有一小麦中耕次数（A ）和施肥量（B ）试验，主处理为A ，分A 1、A 2、A 3 3个水平，副处理为B ，分B 1、B 2、B 3、B 4 4个水平，裂区设计，重复3次（r ＝3），副区计产面积66 m 2，其田间排列和产量（kg ）如下：试作方差分析。
将x ijk 整理成区组和处理A i B j 的双向表2、A 和B 的双向表3。
表2 区组和处理双向表主因素A 副因素B区 组T ij . T i ..Ⅰ Ⅱ ⅢA 1B 1 29 28 32 89B 2 37 32 31 100 B 3 18 14 17 49 B 4 17 16 15 48 T 1.k 101 90 95 286 A 2B 1 28 29 25 82 B 2 31 28 29 88 B 3 13 13 10 36 B 4 13 12 12 37 T 2.k 85 82 76 243 A 3B 1 30 27 26 83 B 2 31 28 31 90 B 3 15 14 11 40 B 4 16 15 13 44 T 3.k 92 84 81 257 T ..k 279 256 252786（T …）表3 A 和B 的双向表以上两表中，T ..k 为区组k 的和，平均值为k k T abx ⋅⋅⋅⋅=1；T ij .为A i B j 的和，平均值为⋅⋅=ij ij T r x 1；T i ..为A i 的和，平均值为⋅⋅⋅⋅=i i T br x 1；T .j .为B j 的和，平均值为⋅⋅⋅⋅=j j T arx 1；T i .k 为A i 主小区和，平均值为k i k i T b x ⋅⋅=1；T …为总和，平均值为⋅⋅⋅⋅⋅⋅=T abrx 1。
各参数的最小二乘估计为：由上述参数估计结果及计算偏差平方和的口诀可计算主副区各变因的平方和。
由模型（3-5-1）及参数估计易证总变异可分解成6个变因之和：①主区偏差平方和计算：事实上主区方差分析是单因素A的随机区组设计的方差分析。
其总变异SS Ta是区组与A处理组合A i R k的处理偏差平方和：②副区偏差平方和计算：由以上计算可得到平方和及相应自由度的分解：由式（3-5-4）可得到各平方和的均方，如MS A = SS A /f A 等。
与二因素随机区组试验一样，由A 、B 的固定还是随机假设，可得到EMS 。
这样就形成二裂式裂区试验的方差分析模式表3-5-4。
表3-5-4给出了正确进行F 检验所必需的依据。
由表3-5-4可见，在随机模型和A固定、B 随机的混合模型中，如果交互项显著，则对H0：02=A σ和H0：02=AK 难以作出直接检验。
这时需对有关项的均方相加以作近似检验。
例如在随机模型中，为检验H0：02=A σ，可先将A 和e b 项相加得再将A ×B 和e a 项相加得于是，由F = MS 1/MS 2可检验H002A σ：。
其自由度估计为：小麦中耕次数（A ）和施肥量（B ）的试验属固定模型，其方差分析结果见表3-5-5。
表3-5-5中，e a 是主区误差，e b 为副区误差。
当选用固定模型时，e a 可用以检验区组间和主处理（A ）水平间均方的显著性；e b 可用以检验副处理（B ）水平间和A ×B 均方的显著性。
由表3-5-5得到：区组间、A 因素水平间有显著差异，B 因素水平间有极显著差异，但A ×B 互作不存在。
由此说明：(1)本试验的区组在控制土壤肥力上有显著效果，从而显著地减小了误差；(2)不同的中耕次数间有显著差异；(3)不同的施肥量间有极显著差异；(4)中耕的效应不因施肥量多少而异，施肥量的效应也不因中耕次数多少而异。
下面进行多重比较：① 中耕次数间的多重比较 用SSR 法，4=a e f ，比较结果：② 施肥量间的多重比较 用SSR 法，比较结果：③ 处理均值间的比较 由于A ×B 不显著，说明A 与B 的作用是相互独立的，所以不需再作比较。
如果A ×B 显著，则需对处理均值进行多重比较。
由裂区试验的特点，对处理均值进行多重比较时，分两种情况：固定A i 对不同B j 作多重比较时，rMS S be EAB =；固定B j 对不同的A i 进行多重比较时，brMS MS b S ab e e EAB +-=)1(。
重比较结果说明，中耕次数A 1极显著地优于A 2，显著地优于A 2、A 3；施肥量B 2极显著地优于B 1，B 1极显著地优于B 3、B 4。
由于A ×B 不显著，故最优处理必为A 1B 2。
2．2 三裂式裂区试验的方差分析三裂式裂区试验为三因素试验，考察的因素有A 、B 、C 三个分别具有a 、b 、c 个水平。
A 为主区因素，B 为裂区因素，C 为再裂区因素。
试验按区组重复r 次。
每一区组内分a 个主小区，随机安排A 1、A 2、…、A a ；每一主小区分b 个裂区，随机安排B 1、B 2、…、B b ；每一裂区分c 个再裂区，随机安排C 1、C 2、…、C c 。
处理A i B j C k 共有abc 个。
处理A i B j C k 在区组l 中观察值为x ijkl ，共有观察值abcr 个。
方差分析的模型为：其中，αi + γl + (ε1)ij 为主区效应分析部分，αi 为A i 的主效应，γl 为区组l 的主效应，(ε1)ij 为主区的随机误差，服从),0(21σN ，实际上(ε1)ij 为A i 和区组l 的交互效应；βj + (αβ)ij + (ε2)ijl 为裂区分析部分，βj 为B j 的主效应，(αβ)ij 为A i 与B j 的交互效应，(ε2)ijl 为裂区的误差，服从),0(22σN ，实际上为主区内的B j 与区组l 的交互作用；θk + (αθ)ik + (βθ)jk +(αβθ)ijk +(ε3)ijkl 为再裂区分析部分，θk 为C k 的主效应，(αθ)ik 是A i 与C k 的交互效应，(βθ)jk 是B j 与C k 的交互效应，(αβθ)ijk 是A i 、B j 和C k 间的交互效应，(ε3)ijkl 是再裂区的随机误差，亦是A i B j 内的C k 和区组l 的交互效应，它服从),0(23σN 。
参数估计、平方和计算和试验因素的抽样值定随例题再说。
三裂式裂区试验的方差分析模式见表3-5-6。
表中未列混合模型，可参照三因素随机区组试验EMS 写出。
关于表3-5-6有如下几点说明：1．b e MS 可通过c e MS 检验，a e MS 可通过b e MS 来检验，如果都不显著，则试验变为三因素随机区组试验分析，这时SS e = a e MS + b e MS + c e MS ，fe =a e f + b e f + c e f = (abc-1)(r-1)。
2．如果b e MS 、a e MS 经检验都显著，必须严格按表3-5-6分析。
如果是固定模型，在多重比较时有关的均数标准差为：【例3】一位药物研究员研究一种特定类型的抗生素胶囊的吸收时间。
主区因素是A 1、A 2、A 3三位实验师，裂区因素是B 1、B 2和B 3三种剂量，再裂区因素是C 1、C 2、C 3和C 4四种胶囊糖衣厚度。