由特征值的估计判断系统稳定性
徐文敏
学院：控制科学与工程学院专业：控制理论与控制工程学号：2009010206
摘要：利用矩阵理论对系统的可行性和稳定性进行分析在工程当中具有非常重要的指导意义。

稳定是控制系统正常工作的首要条件, 也是控制系统的一个重要性能。

而控制系统稳定性的充要条件是其特征根均需具有负实部, 因而对系统稳定性的判别就变成求解特征方程式的根, 并检验所求的根是否具有负实部的问题。

但对于3阶以上的系统, 要求解其特征方程式并非一件容易的事,而利矩阵理论中矩阵特征值的估计方法,只要判断系统方程特征值是否全部落在复平面的左半部分就可判断系统是否稳定，这样可以有效的避免设计的盲目性。

本文从矩阵理论的角度出发,利用矩阵特征值的估计,对系统设计的可行性和稳定性进行分析的方法。

一.所研究的问题
自动控制,是指在没有人直接参与的情况下,利用外加的设备或装置,使机器、设备或生产过程的某个工作状态或参数自动地按照预定的规律运行。

例如，无人驾驶飞机按照预定的飞行航线自动升降和飞行，这是典型的自动控制技术应用的结果。

对于一个自动控制系统的性能要求可以概括为三个方面：稳定性、快速性和准确性。

一个自动控制系统的最基本的要求是系统必须是稳定的，不稳定的控制系统是不能工作的；在系统稳定的前提下，希望控制过程(过渡过程)进行得越快越好；准确性即要求动态误差和稳态误差都越小越好。

所以在设计自动控制系统时，对系统稳定性的估计就显得十分重要。

如何判断系统是稳定的，有很多稳定性的判据，如劳斯稳定判据、赫尔维茨稳定判据、奈奎斯特稳定判据、李雅普诺夫稳定判据等；线性系统理论中主要是李亚普诺夫判据的应用。

李雅普诺夫稳定判据是通过系统的系统矩阵，判断系统矩阵的特征值实部的正负，判断系统是否稳定。

若系统矩阵的所有特征值均具有非正（负或零）实部，则系统稳定；否则系统不稳定。

二.基本概念
1.特征值的估计
矩阵特征值可以用复平面上的点来表示.当矩阵的阶数较高时,计算他的特征
值一边比较困难,而对他的特征值的位置给出一个范围就是特征值的估计问题.
2.线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性判据
对于线性时不变系统.
x Ax Bu，如果系统矩阵A的特征值具有非正实部实
部为零或负，则系统稳定。

反之，系统不稳定。

注释：对于线性时不变系统.
x Ax Bu，其中A是系统的系统矩阵，det（SI-A）
=0定义为系统的特征方程，det（SI-A）=0的解定义为A的特征值。

3.所用的矩阵论中的定理
定理5.4 矩阵n n
A C的全体特征值都在它的n个盖尔园构成的并集中。

定理5.5 若矩阵A的某一连通部分由A的k个盖尔园构成，则其中有且仅有A 的k个特征值。

三对控制系统稳定性的判断
设计自动控制系统时，通过对系统稳定性的估计就可以保证系统的稳定。

对于3阶以下的系统，特征值计算比较简单。

但对于3阶以上的系统，要求其特征值就很麻烦，如果应用矩阵特征值的估计，只要判断系统方程特征值是否全部落在复平面的左半部分就可判断系统是否稳定。

例如1.判断系统.x Ax Bu的稳定性。

其中
2120
1320
01101
2006
A
解：分析只要能判定A的特征值全部都在左半平面那么系统就是稳定的；只要A 的特征值有一个出现在右半平面，那么系统就是不稳定的。

矩阵A的4个盖尔园为:
23106
由盖尔园定理有A的特征值都在4个盖尔园所构成的并集中。

可以明显地看出，A有一个右半平面的孤立盖尔园G3,其中必有A的一个特征值，该特征值的实部肯定大于0，所以该系统不稳定。

例如2判断系统.x Ax Bu的稳定性。

其中
5111
1511
1151
1115 A
解：分析只要能判定A的特征值的实部全在走板平面那么系统就是稳定的；如果A的特征值有一个出现在右半平面，那么系统就是不稳定的.
矩阵A的4个盖尔园为:
5555
由盖尔园定理有A的特征值都在4个盖尔园所构成的并集中。

因为4个盖尔园重合，可知A的4个特征值都在左半平面，所以A的4个特征值的实部都是负数，且在[-8,-2]范围内，所以系统是稳定的。

四总结
本文由特征值实部的正负判断系统的稳定性论述中，主要应用了矩阵论中特征值的估计和表示。

重点应用定理5.4矩阵n n
A C的全体特征值都在它的n个盖尔园构成的并集中。

定理5.5 若矩阵A的某一连通部分由A的k个盖尔园构成，则其中有且仅有A的k个特征值。

通过对矩阵的特征值区域的估计，就可估计特征值实部的正负，结合控制领域的基本原则，从而可知系统是否稳定。