2021北京人大附中初三（上）10月月考数 学2021．10第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题的选项只有一个．1．若关于x 的一元二次方程230x x a -+=的一个根为1，则a 的值为（ ）A ．2B ．3C ．-2D ．-1 2．二次函数2241y x x =+-的对称轴是直线（ ）A ．2x =-B ．1x =-C ．2x =D ．1x =3．下面的图形是用数学名字命名的，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）A ．科克曲线B ．笛卡尔心形线C ．赵爽弦图D ．斐波那契螺旋线4．用配方法解方程2610x x +-=，正确的是（ ）A ．()238x -=B ．()238x +=C ．()2310x -=D ．()2310x += 5．在ABC △中，5AB AC ==，8BC =，以A 为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（ ）A ．点B 在A 内 B ．点C 在A 上C ．直线BC 与A 相切D ．直线BC 与A 相离 6．抛物线()21y x t =-+与x 轴的两个交点之间的距离为4，则t 的值是（ ）A ．-1B ．-2C ．-3D ．-4 7．已知O 的半径为2，点P 为O 内一定点，且1PO =，过点P 作O 的弦，其中最短的弦的长度是（ ）A ．4BC ．D ．28．如图，已知ABC △与DEF △全等，点A ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ，点E 在AC 边上，B ，F ，C ，D 四点在同一条直线上．若40A ∠=︒，35CED ∠=︒，则下列说法中正确的是（ ）A ．EF EC =，AE FC =B ．EF EC =，AE FC ≠ C ．EF EC ≠．AE FC =D ．EF EC ≠，AE FC ≠第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．将抛物线2y x =向上平移1个单位，所得抛物线的表达式为______．10．点()3,1-关于原点的对点的坐标为______．11．若关于x 的一元二次方程210ax bx +-=有两个相等的实数根，请写出一组符合题意的a ，b 的值=a ______，=b ______．12．如图，AB 是O 的直径，C ，D 是O 上的两点．若65CAB ∠=︒，则ADC ∠的度数为______．13．风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图绕中心旋转n 后能与原来的图案里合，那么n 的最小值是______．14．若二次函数22y ax ax c =-+与x 轴的一个交点坐标为()3,0，则关于x 的方程220x ax c α-+=的实数根是______．15．如，AB 是O 的直径，弦//MN AB ，分别过M ，N 作AB 的垂线，垂足为C ，D ．以下结论①AC BD =②AM BN =③回若四边形MCDN 是正方形，则12MN AB =④若M 为AN 的中点，则D 为OB 中点所有正确结论的序号是______． 16．在测量时，为了确定被测对象的最佳近似值，经常要对同一对象测量若干次，得到测量结果分别为1x ，2x ，……，n x ，然后选取与各测量结果的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．即如果设这组测量结果的最佳近似值为0t ，则0t 需要使得函数()()()22212n y x x x x x x =-+-+⋅⋅⋅+-达到最小值．科研小组利用这种方法来分析麦穗的长度．（1）如果在测量了3个麦穗长度之后，得到的数据（单位：cm ）是1 6.2x =，2 6.0x =，5 5.8x =，则按上述方法，可以得到这组数据的最佳近似值为______．（2）科研小组在（1）的基础上又测量了6个麦穗长度。

按上述方法得到这6个数据的最佳近似值为6.3，如果将两组测量的结果合并．．，则按上述方法计算这9个数据的最佳近似值为______．三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28，每7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解方程：253x x x -=-．18．如图，已知BA BD =，BC BE =，ABD CBE ∠=∠．求证：DB 平分ADE ∠．19．已知m 是方程2310x x -+=的一个，求代数式()()()2231m m m -+-+的值．20．如图，AB 是O 的弦，C 为AB 的中点，OC 的延长线与O 交于点D ，若2CD =，12AB =，求O 的半径．21．下面是小宇设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图过程．已知：O 求作：O 的内正方形．作法：如图，①作直径AB ；②分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的同样长为半径作，两弧交于M ，N 两点； ③作直线MN 交O 于点C ，D ；④连接AC ，BC ，AD ，BD ．所以四边形ACBD 就是所求作的正方形．根据小宇设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：在O 中∵MA MB =，NA NB =，∴ MN AB ⊥．∴90AOC COB BOD DOA ∠=∠=∠=∠=︒∴AC BC BD AD ===（ ① ）（填理的依据）∴四边形ACBD 是菱形（ ② ）（填推理的依据）∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒（ ③ ）（填推理的依据∴四边形ACBD 是正方形．22．已知关于x 的一元二次方程22220x x m m ---=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都为正整数，求这个方程的根．23．用一根长为24cm 的铁丝，围成一个矩形ABCD ，请用所学的方程或函数知识解答：矩形ABCD 的面积是否可以为238cm ？若能，请求出该矩形的边长；若不能，请说明理由．24，二次函数2y ax bx c =++()0a ≠中的x 与y 的部分对应值如下表：（1）判断下列说法的正误（请在答题卡的相应位置填写“正”或“错误”）：①0abc >；②当0n >时，该函数的图象与x 轴正半轴的交点(),0m 满足23m <<；③当1n =时，关于x 的方程()210ax b x c +++=的根为11x =-，22x =；（2）若关于x 的不等式20ax bx c ++≤对任意实数x 都成立，结合函数图象，求n 的取值范围．25．如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点，D 在AB 上，且AD AC =，CD 的延长线与O 交于点E ．（1）求证：2A BCE ∠=∠；（2）若4AB =，CE =BCE ∠的度数26．已知关于x 的二次函数212y x x n =--+．（1）求函数1y 图象的顶点坐标；（2）若函数()2231y a x n =--+()0a >满足：对于任意的实数x ，都有1212y n y ≤+≤成立．①求n 的值：②直线1y kx k =-+()0k >与函数1y 的图象交于A ，B 两点，与函数2y 的图象交于C ，D 两点，若对于任意的0k >，都有AB CD ≤，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．27．已知45MON ∠=︒，点P 为平面内一动点，连接OP ．（1）如图1，当点P 在射线OM 上方时，在射线OM ，ON 上分别取点A ，B ，使得PA PB PO ==，连接AB ．依题意补全图形，并求PAB ∠的度数；（2）如图2，点P 在MON ∠内部，且15POM ∠=︒，2OP =，在射线OM ，ON 上分别取点A ，B ，使PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，请画出图形，并求此时PA 的长．28．在平面中，对于C 以及它的弦PQ ，若存在正方形CDEF ，使点D 在弦PQ 上，点E 在C 上，则称正方形CDEF 是C 关于弦PQ 的一个“联络正方形”下图中的正方形CDEF 即为C 关于弦PQ 的一个“联络正方形”在平面直角坐标系xOy 中，已知点C 的坐标为()4,3，点P 的坐标为(),0t ()4t ≠，以C 为圆心，CP 为半径的圆与x 轴的另一个交点为Q ．（1）当2t =时，判断C 关于弦PQ 的“联络正方形”是否存在（直接回答）； （2）当0t =时，C 关于弦PQ 的“联络正方形”为CDEF ，求点E 的坐标； （3）当C 关于弦PQ 的“联络正方形”为CDEF 存在，且点E 在抛物线21y x =-上时，直接写出此时点F 的坐标．2021北京人大附中初三（上）10月月考数学参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题的选项只有一个．1. 【答案】A【解析】【分析】根据方程的解的定义，把x =1代入方程，即可得到关于a 的方程，再求解即可．【详解】解：根据题意得：1-3+a =0解得：a =2．故选A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0． 2. 【答案】B【解析】【分析】先把抛物线配方变为顶点式，根据顶点式可直接得出对称轴．【详解】解：∵二次函数解析式()()2222412213213y x x x x x =+-=++-=+- ， ∴对称轴是直线1x =-．故选B ．【点睛】本题考查二次函数的顶点式，掌握顶点式是解题的关键．3. 【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；B ．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；C ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；D ．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4. 【答案】C【解析】【分析】根据配方法的步骤先把常数项移到等号的右边，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案．【详解】∵2610x x +-=∴x 2＋6x ＝1，∴x 2＋6x ＋9＝1＋9，∴（x ＋3）2＝10；故选：C ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键；配方法的一般步骤是： （1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．5.【答案】C【解析】【分析】先取BC 中点D ，连结AD ，根据勾股定理AD =3，根据点到圆心的距离与半径的关系可判断选项A ，B ，根据圆心到直线的距离与半径关系可判断选项C ，D ．【详解】解：取BC 中点D ，连结AD ，∵5AB AC ==，AD 为中线，BD =CD =4，∴AD ⊥BC ，∴在Rt △ABD 中，AD 2222543BD ， ∵AB =5＞r =3，∴点B 在A 外，故选项A 不正确； ∵AC =5＞r =3，∴点C 在A 外，故选项B 不正确；∵以A 为圆心作一个半径为3的圆,r =3,AD =3,∴AD =r ，∴直线BC与A相切，故选项C正确；选项D不正确．故选择C．【点睛】本题考查两点间的距离，勾股定理，点到直线的距离，点与圆的位置关系，线与圆的位置关系，掌握两点间的距离，勾股定理，点到直线的距离，点与圆的位置关系，线与圆的位置关系是解题关键．6. 【答案】D【解析】【详解】试题分析：设抛物线y＝(x－1)2＋t与x轴的两个交点为（x1，0），（x2，0），则x1＝1，x2＝1∴| x1－x2|＝4，∴(1)－(1)＝4，∴t＝－4．故选D．点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，利用求根公式列出关于t的方程是解题的关键．7.【答案】C【解析】【分析】过点P作AB⊥OP，交O于A、B两点，连结OA，OB，由等腰三角形性质可得AP=PB，在Rt△AOP中，AP=【详解】解：过点P作AB⊥OP，交O于A、B两点，连结OA，OB，∵O的半径为2，∴OA=OB=2，∵OP ⊥AB ，∴AP =PB ，在Rt △AOP 中，AP ==，∴AB =2AP =故选择C ．【点睛】本题考查等腰三角形性质，勾股定理，掌握等腰三角形性质，勾股定理，圆的半径相等是解题关键． 8. 【答案】B【解析】【分析】由ABC 与DEF 全等，A 、B 、C 的对应点分别为D 、E 、F ，可得==40A D ∠∠︒，AC=DF ，=ACB DFE ∠∠，可得=EF EC ；=35CED ∠︒，=40D ∠︒可得D CED ∠>∠，由大角对大边可得CE CD >；利用AC=DF ，可得AC CE DF CD -<-，即AE FC <，由上可得正确选项．【详解】解：ABC ≌DEF ，==40A D ∴∠∠︒，AC=DF ，=ACB DFE ∠∠，=ACB DFE ∠∠，=EF EC ∴．=35CED ∠︒，=40D ∠︒，D CED ∴∠>∠．CE CD ∴>．=AC DF ，AC CE DF CD ∴-<-，即AE FC <．AE FC ∴≠．=EF EC ∴，AE FC ≠．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质．利用全等三角形对应角相等，对应边相等是解题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】y ＝x 2+1．【解析】【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y ＝x 2向上平移1个单位后所得新抛物线的表达式为y ＝x 2+1．故答案是：y ＝x 2+1．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 10. 【答案】()3,1-【解析】【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数解答．【详解】解：点（3，-1）关于原点的对称点的坐标是（-3，1）．故答案为：（-3，1）．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数． 11. 【答案】 ①. 1- ②. 2【解析】【分析】由关于x 的一元二次方程210+-=ax bx 有两个相等的实数根，0,0,a ≠= 可得240,b a +=再先选取b 的值，确定a 的值即可得到答案. 【详解】解： 关于x 的一元二次方程210+-=ax bx 有两个相等的实数根，0,0,a ∴≠=()2410,b a ∴-⨯-= 即：240,b a +=令2,b = 则 1.a =-故答案为：1,2.-【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，熟悉一元二次方程根的判别式是解题12. 【答案】25°【解析】【分析】根据圆周角定理得到∠ACB =90°，∠B =∠D ，然后利用互余计算出∠B ，从而得到∠ADC 的度数．【详解】解：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∴∠B =90°-∠CAB =90°-65°=25°，∴∠ADC =∠B =25°．故答案为：25°．【点睛】本题考查了圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．13. 【答案】120【解析】【分析】该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是120°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合．【详解】解：该图形被平分成三部分，旋转120°的整数倍，就可以与自身重合，故n 的最小值为120．故答案为：120．【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．14. 【答案】x 1＝-1，x 2＝3．【解析】【分析】将x ＝3，y ＝0代入抛物线的解析式可得到c ＝−3a ，然后将c ＝−3a 代入方程，最后利用因式分解法求解即可．详解】解：将x ＝3，y ＝0代入22y ax ax c =-+得：9a-6a ＋c ＝0．解得：c ＝−3a ．将c ＝−3a 代入方程得：2230ax ax a --=∴2(23)0a x x --=．∴()()130a x x +-=∴x 1＝-1，x 2＝3．故答案为：x 1＝-1，x 2＝3．【点睛】本题主要考查的是抛物线与x 轴的交点，一元二次方程的解法，求得a 与c 的关系是解题的关键． 15. 【答案】①②④【解析】【分析】连接OM 、ON ，如图，利用OC ＝OD ＝12OM ＝12ON ，则∠OMC ＝∠OND ＝30°，则利用∠COM ＝∠DON ＝∠MON ＝60°可判断AM BN =；通过证明MN ＝OM 和四边形CDNM 为矩形可对①③④矩形判断．【详解】解：连接OM 、ON ，如图，∵MC ⊥AB 、ND ⊥AB ，∴∠OCM ＝∠ODN ＝90°，∵C 、D 分别是OA 、OB 的中点，OA ＝OB ，∴OC ＝OD ＝12OM ＝12ON ， ∴∠OMC ＝∠OND ＝30°，∴∠COM ＝∠DON ＝60°，∴∠MON ＝60°，∴AM BN =，所以②正确；∴△OMN 为等边三角形，∴MN ＝CD ，∠OMN ＝60°∴MN ∥CD ，∴四边形CDNM 为矩形，∴MC ＝ND ，所以①正确；③错误；∵MN ＝CD ＝12OA +12OB ＝12AB ， ∴④正确．故答案为：①②④【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等边三角形的判定与性质．16. 【答案】 ①. 6 ②. 6.2##165##315 【解析】【分析】（1）先整理()()()2223 6.2 6.0 5.8y x x x =-+-+-为23336108.08y x x =-+，再利用二次函数的性质可得：当6x =时，y 有最小值，从而可得答案；（2）先整理()22936=336108.086 6.3y y y x x x k +=-++-+，再利用二次函数的性质求解y 取最小值时，x 的值，从而可得答案.【详解】解：（1）1 6.2x =，2 6.0x =，3 5.8x =， ()()()2223 6.2 6.0 5.8y x x x ∴=-+-+-2336108.08x x =-+ 当366,23x -=-=⨯ 最小值336636108.080.08.y =⨯-⨯+= 所以这组数据的最佳近似值为6.（2） 科研小组在（1）的基础上又测量了6个麦穗长度．按上述方法得到这6个数据的最佳近似值为6.3， ∴ 当 6.3x =时，6y 取得最小值，∴不妨设 ()266 6.3y x k =-+ ()22936=336108.086 6.3y y y x x x k ∴+=-++-+ 29111.6346.22+x x k =-+当111.6 6.2,29x -=-=⨯ 9y 取得最小值， 所以按上述方法计算这9个数据的最佳近似值为6.2.故答案为：（1）6； （2）6.2【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握利用二次函数的性质求解顶点的横坐标与纵坐标是解题的关键.三、解答题（共68分，第17－21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24－26题，每题6分，第27－28，每7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【答案】12x =，22x =【解析】【分析】先移项，然后找出a ，b ，c 的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．【详解】解：∵253x x x -=-，∴2530x x x --+=即2430x x --=，∴1a =，4b =-，3c =-，∴()()22=444131612280b ac -=--⨯⨯-=+=>△，∴2===±x∴12x =22x =【点睛】本题考查了解一元二次方程—公式法，利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a ，b 及c 的值，然后当根的判别式大于等于0时，代入求根公式即可求出解．18. 【答案】见解析【解析】【分析】先根据边角边证明△ABC ≌△DBE ，得到∠A =∠BDE ，再由AB =BD ，得到∠A =∠ADB ，即可推出∠ADB =∠BDE ，即可得证．【详解】解：∵∠ABD =∠CBE ，∴∠ABC =∠ABD +∠DBC =∠CBE +∠DBC =∠DBE ，∵BA =BD ， BC =BE ，∴△ABC ≌△DBE （SAS ），∴∠A =∠BDE ，∵AB =BD ，∴∠A =∠ADB ，∴∠ADB =∠BDE ，∴BD 平分∠ADE ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，角平分线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．19.【答案】-1【解析】【分析】把x =m 代入已知方程得到m 2-3m +1=0，则m 2-3m =-1，将其整体代入整理后的代数式求值即可．【详解】解：依题意得：m 2-3m +1=0，∴m 2-3m =-1，∴()()()2231m m m -+-+=2261m m -+=22(3)1m m -+=-2+1=-1【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．注意解题中的整体代入思想．20. 【答案】10【解析】【分析】连接OA ，根据垂径定理求出AC =6，OC ⊥AB ，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【详解】解：连接AO ，∵点C 是弦AB 的中点，半径OD 与AB 相交于点C ，∴OC ⊥AB ，∵AB =12，∴AC =BC =6，设⊙O 的半径为R ，∵CD =2，∴在Rt △AOC 中，由勾股定理得：AO 2=OC 2+AC 2，即：R 2=（R -2）2+62，∴R =10答：⊙O 的半径长为10．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，解此题的关键是构造直角三角形后根据勾股定理得出方程． 21. 【答案】（1）见解析；（2）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；四条边相等的四边形是菱形；直径所对的圆心角是90度【解析】【分析】（1）根据题目要求进行作图即可得到答案；（2）根据题意可知MN AB ⊥则90AOC COB BOD DOA ∠=∠=∠=∠=，由圆心角与弦之间的关系可得AC BC BD AD ===即可证明四边形ACBD 是菱形，再由直径所对的圆心角是90度即可证明四边形ACBD 是正方形．【详解】解：（1）如下图所示，即为所求；（2）证明：在O 中∵MA MB =，NA NB =，∴ MN AB ⊥．∴90AOC COB BOD DOA ∠=∠=∠=∠=，∴AC BC BD AD ===（同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等），∴四边形ACBD 是菱形（四条边相等的四边形是菱形），∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=（直径所对的圆心角是90度），∴四边形ACBD 是正方形．故答案为：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；四条边相等的四边形是菱形；直径所对的圆心角是90度．【点睛】本题主要考查了尺规作图—线段垂直平分线，直径所对的圆周角是90度，菱形的判定，正方形的判定，圆心角与弦直径的关系等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．22. 【答案】()1证明见祥解；()2 121x x ==．【解析】【分析】（1）先求出判别式，再配方变为()2410m ∆=+≥即可；（2）用十字相乘法可以求出根的表达式，方程的两个实数根都为正整数，列不等式组 020m m -⎧⎨+⎩＞＞，即可得出m 的值．【详解】()1证明：∵22220x x m m ---=是关于x 的一元二次方程，()()222442448410m m m m m ∆=---=++=+≥，∴此方程总有两个实数根． ()2解：∵()2202x x m m -+=-，∴()()20x m x m +--=，∴1x m ，2x m 2=+．∵方程的两个实数根都为正整数，020m m -⎧⎨+⎩＞＞， 解得，-2m ＜＜0，∴-1m ．121x x ==．【点睛】本题考查了根的判别式，配方为平方式，根据方程的两个实数根都为正整数，列出不等式组，求出-1m 是解题的关键．23. 【答案】不能，理由见解析．【解析】【分析】设矩形ABCD 宽为xm ，面积为Sm 2，依题意易求得y 与x 的函数关系式，再判断矩形ABCD 的面积能不能为38m 2，然后说明理由即可解答本题．【详解】设矩形ABCD 宽为xm ，面积为Sm 2根据题意得，-x 2+12x =38，即x 2-12x +38=0，∵△=212438144152-⨯=-<0，∴方程无解，故矩形ABCD 的面积是不可以为238cm ；【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的函数和一元二次方程．24. 【答案】（1）①正确；②正确；③正确；（2）82n -≤<-【解析】【分析】（1）根据题意可得二次函数的对称轴20122b x a +=-==，2c =-，则0ab <，20abc ab =->即可判断①；当0n >时，即当1x =-时， 0y >，而当0x =时， 20y =-<，则二次函数与x 轴负半轴的交点横坐标在-1—0之间，由二次函数的对称性可知，二次函数与x 轴正半轴的交点的横坐标在2—3之间即可判断②；当1n =时，二次函数经过（-1，1），则可求出1a =，2b =-，则原方程为220x x --=解方程即可判断③；（2）关于x 的不等式20ax bx c ++≤对任意实数x 都成立，即可推出即当1x =时0y a b c =++≤恒成立，故可推断二次函数开口要向下，即0a <且()()220a a +-+-≤，再由a b c n -+=推出32a n =+，由此求解即可．【详解】解：（1）∵二次函数2y ax bx c =++经过点（0，-2），（2，-2）， ∴二次函数的对称轴20122b x a +=-==，2c =-， ∴2b a =-，∴0ab <， ∴20abc ab =->，故①正确；∵当0n >时，即当1x =-时， 0y >，而当0x =时， 20y =-<，∴二次函数与x 轴负半轴的交点横坐标在-1—0之间，∵二次函数的对称轴为x=1，∴由二次函数的对称性可知，二次函数与x 轴正半轴的交点的横坐标在2—3之间，即23m <<，故②正确； 当1n =时，二次函数经过（-1，1），∴1a b c -+=，∴3a b -=，∴()23a a --=，∴1a =，∴2b =-，∴方程()210ax b x c +++=即为220x x --=， ∴()()210x x -+=，解得11x =-，22x =，故③正确；（2）∵关于x 的不等式20ax bx c ++≤对任意实数x 都成立，∴可知二次函数的函数值对于任意的实数x 都小于等于0，∴二次函数的最大值要小于等于0，即当1x =时0y a b c =++≤恒成立∴二次函数开口要向下，即0a <且()()220a a +-+-≤∴20a -≤<，∵当1x =-时，a b c n -+=，∴()()22a a n --+-=，∴32a n =+，即23n a +=∴2203n +-≤<， ∴82n -≤<-．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及应用，结合函数图像和熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 25. 【答案】（1）见解析；（2）15°【解析】【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是90度得到∠CBA =90°-∠CAB ，再由AC =AD ，得到∠ACD =∠ADC ，根据三角形外角的性质和三角形内角和定理得到∠ADC=∠BCE+∠CBA，∠ACD+∠ADC+∠CAB=180°，即可推出2（∠BCE+∠CBA）+∠CAB=180°，由此即可得证；（2）连接OC并延长交圆与F，连接EF，则可得到CF=AB=4，∠CEF=90°，利用勾股定理求出EF===ECF=∠EFC=45°，再由∠ACO+∠BCE=∠ACB-∠ECF=45°，可以推出∠BCE+CAB=45°，再由（1）的结论求解即可．【详解】解：（1）∵AB是圆的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∴∠CBA=90°-∠CAB，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∵∠ADC=∠BCE+∠CBA，∠ACD+∠ADC+∠CAB=180°，∴2（∠BCE+∠CBA）+∠CAB=180°，∴2∠BCE+2（90°-∠CAB）+∠CAB=180°，∴2∠BCE-∠CAB=0，∴∠CAB=2∠BCE；（2）如图所示，连接CO并延长交圆与F，连接EF，∵AB与CF都是圆的直径，∴CF=AB=4，∠CEF=90°，∴EF===∴EF=CE，∴∠ECF=∠EFC=45°，∵AB是圆的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCE=∠ACB-∠ECF=45°，∵OA=OC，∴∠CAB =∠ACO ，∴∠BCE +CAB =45°，又∵∠CAB =2∠BCE ，∴∠BCE +2∠BCE =45°，∴∠BCE =15°．【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是90度，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．26. 【答案】（1）()1,1n -+；（2）①0n =；②01a <≤【解析】【分析】（1）把函数解析式化为顶点式，从而可得答案；（2）①分别求解212y x x n =--+与()2231y a x n =--+()0a >的最值，再分三种情况讨论：当0,0,0,n n n >=< 逐一分析对于任意的实数x ，是否都有1212y n y ≤+≤成立，从而可得答案；②分别求解当0n =时，12,y y 的顶点坐标()()1,1,3,1,H K -，再确定直线1y kx k =-+()0k >过定点()1,1,N 从而可得当1a =时，12,y y 的图象关于()1,1N 对称，从而证明,AB CD = 再结合抛物线的图象的性质可得答案.【详解】解：（1） 212y x x n =--+()()2221111,x x n x n =-++-+=-+++ ∴ 函数的顶点坐标为：()1,1.n -+（2） ()2111,y x n =-+++ ∴ 当1x =-时，函数取得最大值11,y n =+()2231y a x n =--+()0a >， ∴ 当3x =时，函数2y 取得最小值21,y n =-当0n >时，有1112,n n n -<+<+对于任意的实数x ，1212y n y ≤+≤不成立．当0n =时，()2111y x =-++最大值为1, ()2231y a x =-+的最小值为1,此时1+21,n =此时：121,y y ≤≤即：对于任意的实数x ，都有1212y n y ≤+≤成立．当0n <时，有1211,n n n +<+<-此时：对于任意的实数x ，1212y n y ≤+≤不成立．综上：0.n =②当0n =时，()2111y x =-++，()2231y a x =-+，顶点坐标分别为：()()1,1,3,1,H K -1y kx k =-+()0k >过定点()1,1N ，如图， ,H K ∴关于N 成中心对称，∴ 当1a =时，()2111y x =-++与()2231y x =-+关于N 成中心对称， ,,NB NC NA ND ∴==,AB CD ∴=对于抛物线()20y ax bx c a =++≠，a 越大，抛物线的开口越小，a 越小，抛物线的开口越大，当2y 的开口宽度比1y 大时，总有,AB CD <所以当,AB CD ≤ 则01,a <≤综上：对于任意的0k >，都有AB CD ≤时，0 1.a <≤【点睛】本题考查的二次函数的性质，顶点坐标，二次函数的最值，二次函数的图象，灵活运用二次函数的知识是解本题的关键.27. 【答案】（1）∠P AB =45°，画图见解析；（2）2，画图见解析【解析】【分析】（1）根据PO =P A =PB ，则O 、B 、A 三点共圆，因此只需要以以P 为圆心，以PO 的长为半径画弧，分别与射线OM ，ON 交于A 、B 即为所求，然后利用圆周角定理进行求解即可；（2）同（1）原理，以P 为圆心，以PO 的长为半径画弧，分别与射线OM ，ON 交于A 、B ，连接AB 即为所求；【详解】解：（1）如图所示，以P 为圆心，以PO 的长为半径画弧，分别与射线OM ，ON 交于A 、B ，连接AB 即为所求；∵PO =P A =PB ，∴O 、B 、A 三点共圆，∴∠APB =2∠AOB =90°，∵P A =PB ，∴∠P AB =∠PBA =45°；（2）如图所示，以P 为圆心，以PO 的长为半径画弧，分别与射线OM ，ON 交于A 、B ，连接AB 即为所求； ∵PO =P A =PB ，∴O 、B 、A 三点共圆，∴∠APB =2∠AOB =90°，∴△P AB 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，P A =PO =2；【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．28. 【答案】（1）C 关于弦PQ 的“联络正方形”不存在；证明见详解；（2）点E 的坐标为（1-2，2）或（1+2，-2）；（3）点F 的坐标为（1，3）或（1，6）． 【解析】【分析】（1）连接OE ，当2t =时，点P （2，0），点C （4，3）先求出3≤CD CDEF 为正方形，可求OE ≥=即可；（2）过E 、C 分别作EH ⊥x 轴于H ，CG ⊥x 轴于G ，先证△HED ≌△GDC （AAS ），可得EH =DG ，HD =CG ，由t =0，点P （0，0），点C （4，3），利用勾股定理求出OP 5，由点E 在圆上，可得OE =OP =5，CD，利用勾股定理求出DG=，分当点E在第二象限或第四象限时即可求解；（3）过点F作FM⊥GC交延长线于M，先证△EHD≌△FMC≌△CGD，可得EH=MC=DG，HD=FM=CG=3，设点D（m,0）用m表示点E（m-3，4-m）可列方程4-m=（m-3）2-1，解方程即可求解．【详解】解：（1）连接OE，t=时，点P（2，0），点C（4，3）当2∴CP=∵点D在PQ上，∴3≤CD∵四边形CDEF为正方形，∴OE=，∴OE≥=，∴点E在C外，C关于弦PQ的“联络正方形”是不存在；（2）过E、C分别作EH⊥x轴于H，CG⊥x轴于G，∴∠HED+∠HDE=90°，∵四边形CDEF为正方形，∠EDC=90°，ED=CD,∴∠HDE+∠GDC=90°，∴∠HED=∠GDC，在△HED和△GDC中，HED GDC EHD DGC ED DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△HED ≌△GDC （AAS ），∴EH =DG ，HD =CG ，∵t =0，点P （0，0），点C （4，3），∴OP5，∵点E 在圆上，∴OE =OP =5，∵四边形CDEF 为正方形，∴OE=， ∴CD=2， 在Rt △DCG 中，DG2==， 当点E 在第二象限，PG =4， HD =CG =3，EH =DG=2， ∴PH =HD -PD =HD -（PG -DG ）=3-（4-2）=2-1， ∴点E （），当点E 在第四象限时，PH =PG -HG =PG -（HD -DG ）=4-（）， ∴点E （1+2，-2）， ∴综合点E 的坐标为（1-2，2）或（1+2，-2）；（3）过点F 作FM ⊥GC 交延长线于M ，由（2）△EHD ≌△DGC∴∠MFC +∠MCF =90°，∵四边形CDEF 为正方形，∠FCD =90°，FC =CD ,∴∠MCF +∠GCD =90°，∴∠MFC =∠GCD ，在△FMC 和△CGD 中，MFC GCD FMC CGD CF DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FMC ≌△CGD （AAS ），∴△EHD ≌△FMC ≌△CGD∴EH =MC =DG ， HD =FM =CG =3，设点D （m ，0），∴DG =4-m ，∴OH=HG-OG=CG+DG-OG=4-m+3-4=3-m，∴点E（m-3，4-m），∴4-m=（m-3）2-1，解得m=4或m=1，当m=1时，点E（-2，3）满足条件，此时DG=3=CM，点F的横坐标x=OG-FM=4-3=1，纵坐标y=MG=MC +CG=3+3=6，∴点F（1，6），当m=4时，点E（1，0）满足条件，此时DG=0=CM，点F的横坐标x=OG-FM=4-3=1，纵坐标y=MG=MC +0=3+0=3，∴点F（1，3），综合点F的坐标为（1，3）或（1，6）．【点睛】本题考查新定义圆与正方形关系，考查圆的性质，正方形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，二次函数的性质，一元二次方程的解法，分类讨论思想，掌握抓住新定义圆与正方形的实质，圆的性质，正方形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，二次函数的性质，分类讨论思想是解题关键．31/ 31。