数列基础知识点和方法归纳知识点：(一)数列的该概念和表示法、（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。

（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。

③不是每个数列都有通项公式。

例如，1，，，，…… （3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。

从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值……，，……．通常用来代替，其图象是一群孤立的点 （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。

（5）递推公式定义：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

（6）数列通项n a 与前n 项和n S 的关系1．∑==++++=ni i n n a a a a a S 1321Λ 2．⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n题型一 应用⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 求数列通项 【例1】已知数列{}n a 的前n 项和23-=n n S ，求其通项公式. 解析：当123,1111=-===S a n 时，当)23()23(,211---=-=≥--n n n n n S S a n 时132-⋅=n又11=a 不适合上式，故⎩⎨⎧≥⋅==-)2(32)1(11n n a n n题型二、利用递推关系求数列的通项【例2】根据数列{}n a 的首项和递推关系，141,21211-+==+n a a a n n求其通项公式 解析：因为14121-+=+n a a n n ，所以)121121(2114121+--=-=-+n n n a a n n 所以)3111(2112-=-a a)5131(2123-=-a a43111()257a a -=-…，…，1111()22321n n a a n n --=---以上)1(-n 个式相加得)1211(211--=-n a a n 即：24342411--=--=n n n a n 【点拨】：在递推关系中若),(1n f a a n n +=+求n a 用累加法，若),(1n f a a nn =+求n a 用累乘法，若q pa a n n +=+1，求n a 用待定系数法或迭代法。

课外练习 1、设1212111++++++=n n n a n Λ，(*∈N n )，则n n a a 与1+的大小关系是( C )A ．n n a a >+1B ．n n a a =+1C ．n n a a <+1D ．不能确定 解：因为0221321113212211<+-+=+-+++=-+n n n n n a a n n所以n n a a <+1，选Ｃ．2．已知数列{}n a 的前n 项和，142+-=n n S n 则⎩⎨⎧≥-=-=)2(,52)1(,2n n n a n3．已知数列{}n a 的通项9998--n n （*∈N n ），则数列{}n a 的前30项中最大项和最小项分别是910a a ， 解：构造函数99989919998--+=--=x x x y由函数性质可知，函数在)99(，-∞上递减，且1<y ；函数在），＋∞99(上递增且1>y最小最大，），又910921301211101109(99a a a a a a a a a ∴>>>>>>>>>∴∈ΛΛ（二）数列1. 等差数列的定义与性质定义：（为常数）， 等差中项：成等差数列 前项和性质：是等差数列 （1）若，则（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，仍为等差数列，公差为d n 2； （3）若三个成等差数列，可设为（4）若是等差数列，且前项和分别为，则（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项， 即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.当，由可得达到最小值时的值. (6)项数为偶数n 2的等差数列，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S Λ nd S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇.（7）项数为奇数12-n 的等差数列，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇. 1．等差数列{}n a 中，,1201210864=++++a a a a a )(31119C a a 的值为则-A ．14B ．15C ．16D ．17解：)2(313199119d a a a a +-=-1651203232)(3289=⋅==-=a d a2．等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前 项的和最大。

解：0912129=-=S S S S ，Θ003011111121110>=∴=∴=++∴a a a a a a ，又，，∴{}n a 为递减等差数列∴1110S S =为最大。

3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为解：∵ΛΛ，，，，，1001102030102010S S S S S S S ---成等差数列，公差为D 其首项为 10010=S ，前10项的和为10100=S2210291010100-=∴=⨯⨯+⨯∴D D ， D S S S 1010100110+=-又110221010100110-=-⋅++=∴）（S⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+--=42)1(129850n n n n y 984022-+-=n n 102)10(22+--=n10210max ==y n 时，所以当4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知001213123<>=S S a ，，①求出公差d 的范围，②指出1221S S S ，，，Λ中哪一个值最大，并说明理由。

d )(n f a n =n n a n S {}n a "2"≥n解：①)(6)(610312112a a a a S +=+=0)72(63>+=d a7240724->∴>+∴d d )(2132)(1311313113a a a a S +=+=又0)82(2133<+=d a372430824-<<--<∴<+∴d d d 从而 ②0)(67612>+=a a S Θ013713<=a S 最大。

，66700S a a ∴><∴5.已知数列是等差数列，，其前10项的和，则其公差等于( D )32313132．．．．D C B A --6.已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，===+等于（ A ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64151212497=∴+=+a a a a a Θ解：7.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，971043014S S S S ，则，=-==54 8.等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知50302010==a a ， ①求通项n a ；②若n S =242，求n 解：d n a a n )1(1-+=102212501930950301112010+=∴⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=+=+==n a d a d a d a a a n 解方程组， 由2)1(1dn n na S n -+=，n S =242 舍去）或解得(221124222)1(12-===⋅-+∴n n n n n9．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(21-++=n n a n S ①求证：数列{}n a 是等差数列 ②求数列{}n a 的通项公式③设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为n T ，是否存在实数M ，使得M T n ≤对一切正整数n 都成立？若存在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由。

解：①∵1)1)(1(21-++=n n a n S[]nn n n n n n n n n nn n n n a n a n na a n a n a n a n na a n a n S S a a n S )1()2()1(1)2()1(1)1()1)(1()1)(2(211)1)(2(2111212111111+-+=-+∴-+=+∴-+=++-++=-=∴-++=∴+++++++++++整理得，nn n n n n a a a a a n a n +=∴++=+∴++++21212))(1()1(2∴数列{}n a 为等差数列。

②1)1(311-+==+n n a n na a ，{}122)1(3)1(2251211212+=⋅-+=-+=∴=-∴=-=∴n n d n a a a a a a a n n 的公差为即等差数列③)32)(12(111++=+n n a a n n Θ61)32131(21)32112171515131(2132112121<∈+-=+-+++-+-=∴⎪⎭⎫⎝⎛+-+=*n n T N n n n n T n n 时，又当Λ 要使得M T n ≤对一切正整数n 恒成立，只要M ≥61，所以存在实数M 使得M T n ≤对一切正整数n都成立，M 的最小值为61。

2. 等比数列的定义与性质定义：（为常数，），. 等比中项：成等比数列，或. 前项和：（要注意！） 性质：是等比数列 （1）若，则（2）仍为等比数列,公比为n q . 注意：由求时应注意什么？时，；时，.例：⑴在等比数列{}n a 中，143613233+>==+n n a a a a a a ，， ①求n a ，②若n n n T a a a T 求,lg lg lg 21+++=Λ⑵在等比数列{}n a 中，若015=a ，则有等式n n a a a a a a -+++=+++292121ΛΛ)29(*∈<N n n ，成立，类比上述性质，相应的在等比数列{}n b 中，若119=b 则有等式 成立。