数列一、数列的概念1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数称为该数列的项，记作a n 。

排在第一位的项叫第一项（或首项），排在第二位的项叫第二项......，排在第n 位的项叫第n 项。

数列的一般形式：a 1，a 2，a 3，.....，a n ，....简记为{}n a 。

注意：⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”。

因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列。

⑵在数列中同一个数可以重复出现。

⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念。

⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列。

例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a ，-3，-1, 1，b ，5,7,9（2）2010年各省参加高考的考生人数。

2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =. 例：（1）1,2,3,4,5，... （2）1，21，31，41，51,... 注意：（1）｛a n ｝表示数列，a n 表示数列中的第n 项，)(n f a n =表示数列的通项公式。

（2）同一个数列的通项公式的形式不一定唯一，例如：（3）不是每一个数列都有通项公式。

例如：1, 1.4, 1.41, 1.414,.....3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.例：a 1=1，a n =2a n-1+1(n>1)a 2=2a 1+1=3 a 3=2a 2+1=74.数列的前n 项和S n 与通项a n 的公式①n n a a a S +++= 21； ②.⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n例：已知数列｛a n }的前n 项和S n =2n 2+3，求数列｛a n }的通项公式。

例：已知数列｛a n }的前n 项和S n =n 2，则a 8的值为 15 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法。

6. 数列的分类：（1）按数列项数是有限还是无限分：有穷数列，无穷数列； （2）按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列，递减数列），摆动数列，常数数列。

例：（1）1,2,3,4,5,6，..... (2)10,9,8,7,6，..... (3)1,0,1,0,1,0，..... (4)a ，a ，a ，a ，a ，...... 练习：1、已知a n =3n 2-28n ，则在数列{}n a 的最小项为第5项2、数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，实数λ的取值范围（-3，+∞）3、数列{}n a 的前n 项和S n =n 2-4n+1，则通项公式为 .二、 等差数列1、等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差（用字母d 表示）。

即)2,*(1≥∈=--n N n d a a n n 且.(或)*(1N n d a a n n ∈=-+)。

例：等差数列a n =2n-1，a n -a n-1= 22、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

公式变形为:b an a n +=. 其中a=d, b= a 1－d. 变式：a 1=a n －(n －1)dd=11--n a a n d=mn aa m n -- 特征：a n=dn+(a 1-d)，即a n =kn+m(k ，m 为常数)，是数列成等差数列的充要条件。

例：等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a =210n +. 例：等差数列{}n a 中，a 3+a 8=22，a 6=7，则a 5= 15 .例：{}n a 是首项1a =1，公差d=3的等差数列，如果a n =2005，则n= 669 . 3、等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=，a ，A ，b 成等差数列是2A=a+b 的充要条件，即212+++=n n n a a a ，m n m n n a a a +-+=2 例：{}n a 是公差为正数的等差数列，若15321=++a a a ，80321=a a a ，则=++131211a a a 105例：等差数列 {}n a 中，12012864=+++a a a a ，则11931a a -的值为 16例：等差数列 {}n a 中，1291,0S S a =>，则前 10或11 项的和最大。

4、 等差数列的前n 项和n S ：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。

公式变形为：n da n d S n )2(212-+=即Bn An S n +=2，其中2d A =，B=21da -.例:如果等差数列 {}n a 中，12543=++a a a ，那么=++++7321...a a a a 28例：数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-，则1a ＝ -3 ，n ＝ 10 .例：设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知11,362==a a ，则=7S 49 . 注意：（1）等差数列的通项公式及前n 项和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ） 5、等差数列的性质：（1）在等差数列 {}n a 中，从第二项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列 {}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列 {}n a 中，)(,)(n m mn a a d d m n a a mn m n ≠--=-+=； （4）在等差数列 {}n a 中，当m n p q +=+时，则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.例：在等差数列{a n }中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11= 88例：已知等差数列{a n }的前n 项和为n S ，若=+++=1185212,21a a a a S 则7 （5）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.（6）单调性：设d 为等差数列{}a n 的公差，则d>0⇔{}a n 是递增数列；d<0⇔{}a n 是递减数列；d=0⇔{}a n 是常数数列。

（7）项数成等差，则相应的项也成等差数列，即),,...(,,*2N m k a a a m k m k k ∈++成等差，232,,n n n n n S S S S S --（公差为d n 2）也成等差数列，而{}n a a 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列.例：等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为 225 例：已知等差吃的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 -110 （8）在等差数列{}n a 中， 当项数为偶数2n 时，)(1a a n n n n s ++=；nd s s =-奇偶；a a nn s s 1+=奇偶. 当项数为奇数21n -时，a n n n s )12(12-=- ；a s s 1-=-奇偶（中偶奇a a S S n ==-）；n s s 1-=奇偶。

例：在等差数列中，S 11＝22，则6a ＝ 2 。

例：项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数 5；31（9）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数。

注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究n m a b =. 6、等差数列的判断方法：①定义法：)(1常数d a a n n =-+⇔{}a n 为等差数列。

②中项法： a a a n n n 212+++=⇔{}a n 为等差数列。

③通项公式法：b an a n +=（a,b 为常数）⇔{}a n 为等差数列。

④前n 项和公式法：Bn n A s n +=2（A,B 为常数）⇔{}a n 为等差数列。

例：设{}n a 是等差数列，求证：以b n =na a a n+++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。

例：已知数列{}n a 中，31=a ，前n 项和1)1)(1(21-++=n n a n S ，求证：①数列{}n a 是等差数列；②数列{}n a 的通项公式。

7、已知{}a n 成等差数列，求s n 的最值问题：（1）若01>a ,d<0且满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+0,01a a n n,则s n 最大；（2）若01<a ,d>0且满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+0,01a a n n ,则s n 最小。

“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。

n S 最值得求法：①：由不等式组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≤≥++000011n n n n a a a a 或确定出{}n a 正、负分界项； ②：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数bn an S n +=2，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈。