2020年湖北省恩施州中考数学试卷一、选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．（3分）5的绝对值是( )A ．5B ．5-C ．15D ．15- 2．（3分）茶中精品“恩施绿”“利川红”享誉世界．去年恩施州茶叶产量约为120000吨，将数120000用科学记数法表示为( )A ．41210⨯B ．51.210⨯C ．61.210⨯D ．60.1210⨯3．（3分）下列交通标识，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．4．（3分）下列计算正确的是( )A ．236a a a =B ．2(1)a a a a +=+C ．222()a b a b -=-D ．235a b ab += 5．（3分）函数1x y +=的自变量的取值范围是( ) A ．1x - B ．1x -且0x ≠ C ．0x > D ．1x >-且0x ≠6．（3分）“彩缕碧筠粽，香粳白玉团”．端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽2个、红枣粽4个、腊肉粽3个、白米粽2个，其中豆沙粽和红枣粽是甜粽．小明任意选取一个，选到甜粽的概率是( )A ．211B ．411C ．511D ．6117．（3分）在实数范围内定义运算“☆”：a ☆1b a b =+-，例如：2☆32314=+-=．如果2☆1x =，则x 的值是( )A ．1-B ．1C ．0D ．28．（3分）我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒x 斛，1个小桶盛酒y 斛，下列方程组正确的是( )A ．5352x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．5253x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．53125x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．35251x y x y +=⎧⎨+=⎩9．（3分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为( )A ．B ．C ．D ．10．（3分）甲乙两车从A 城出发前往B 城，在整个行程中，汽车离开A 城的距离y 与时刻t 的对应关系如图所示，则下列结论错误的是( )A ．甲车的平均速度为60/km hB ．乙车的平均速度为100/km hC ．乙车比甲车先到B 城D ．乙车比甲车先出发1h11．（3分）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在AB 上且1BE =，F 为对角线AC 上一动点，则BFE ∆周长的最小值为( )A ．5B ．6C ．7D ．812．（3分）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴相交于(2,0)A -、(1,0)B 两点．则以下结论：①0ac >；②二次函数2y ax bx c =++的图象的对称轴为1x =-；③20a c +=；④0a b c -+>．其中正确的有( )个．A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分．不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）13．（3分）9的算术平方根是 ．14．（3分）如图，直线12//l l ，点A 在直线1l 上，点B 在直线2l 上，AB BC =，30C ∠=︒，180∠=︒，则2∠= ．15．（3分）如图，已知半圆的直径4AB =，点C 在半圆上，以点A 为圆心，AC 为半径画弧交AB 于点D ，连接BC ．若60ABC ∠=︒，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别为：(2,0)A -，(1,2)B ，(1,2)C -．已知(1,0)N -，作点N 关于点A 的对称点1N ，点1N 关于点B 的对称点2N ，点2N 关于点C 的对称点3N ，点3N 关于点A 的对称点4N ，点4N 关于点B 的对称点5N ，⋯，依此类推，则点2020N的坐标为．三、解答题（本大题共有8个小题，共72分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17．（8分）先化简，再求值：22293()6933m mm m m m--÷-+--，其中2m=．18．（8分）如图，//AE BF，BD平分ABC∠交AE于点D，点C在BF上且BC AB=，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．19．（8分）某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查．调查结果分为四类：A类--非常了解；B类--比较了解；C类--般了解；D类--不了解．现将调查结果绘制成如图不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次共调查了名学生；（2）补全条形统计图；（3）D类所对应扇形的圆心角的大小为；（4）若该校九年级学生共有500名，根据以上抽样结果，估计该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解的约有 名．20．（8分）如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在A 处测得小岛P 位于其西北方向（北偏西45︒方向），2小时后轮船到达B 处，在B 处测得小岛P 位于其北偏东60︒方向．求此时船与小岛P 的距离（结果保留整数，参考数据：2 1.414≈，3 1.732)≈．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线3(0)y ax a a =-≠与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，与双曲线(0)k y x x =>的一个交点为C ，且12BC AC =． （1）求点A 的坐标；（2）当3AOC S ∆=时，求a 和k 的值．22．（10分）某校足球队需购买A 、B 两种品牌的足球．已知A 品牌足球的单价比B 品牌足球的单价高20元，且用900元购买A 品牌足球的数量用720元购买B 品牌足球的数量相等．（1）求A 、B 两种品牌足球的单价；（2）若足球队计划购买A 、B 两种品牌的足球共90个，且A 品牌足球的数量不小于B 品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．设购买A 品牌足球m 个，总费用为W 元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？23．（10分）如图1，AB 是O 的直径，直线AM 与O 相切于点A ，直线BN 与O 相切于点B ，点C （异于点)A 在AM 上，点D 在O 上，且CD CA =，延长CD 与BN 相交于点E ，连接AD 并延长交BN 于点F ．（1）求证：CE 是O 的切线；（2）求证：BE EF =；（3）如图2，连接EO 并延长与O 分别相交于点G 、H ，连接BH ．若6AB =，4AC =，求tan BHE ∠．24．（12分）如图1，抛物线214y x bx c =-++经过点(6,0)C ，顶点为B ，对称轴2x =与x 轴相交于点A ，D 为线段BC 的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）P 为线段BC 上任意一点，M 为x 轴上一动点，连接MP ，以点M 为中心，将MPC ∆逆时针旋转90︒，记点P 的对应点为E ，点C 的对应点为F ．当直线EF 与抛物线214y x bx c =-++只有一个交点时，求点M 的坐标． （3）MPC ∆在（2）的旋转变换下，若2PC =（如图2)．①求证：EA ED =．②当点E 在（1）所求的抛物线上时，求线段CM 的长．2020年湖北省恩施州中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．（3分）5的绝对值是( )A ．5B ．5-C ．15D ．15- 【分析】根据绝对值的意义：数轴上一个数所对应的点与原点(O 点）的距离叫做该数的绝对值，绝对值只能为非负数； 即可得解．【解答】解：在数轴上，数5所表示的点到原点0的距离是5；故选：A ．2．（3分）茶中精品“恩施绿”“利川红”享誉世界．去年恩施州茶叶产量约为120000吨，将数120000用科学记数法表示为( )A ．41210⨯B ．51.210⨯C ．61.210⨯D ．60.1210⨯【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【解答】解：5120000 1.210=⨯，故选：B ．3．（3分）下列交通标识，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，知：A 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；B 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；C 、是轴对称图形，但不是中心对称图形；D 、既是中心对称图形，又是轴对称图形．故选：D ．4．（3分）下列计算正确的是( )A ．236a a a =B ．2(1)a a a a +=+C ．222()a b a b -=-D ．235a b ab +=【分析】利用同底数幂的乘法运算法则、单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式、合并同类项法则计算求出答案即可判断．【解答】解：A 、235a a a =，原计算错误，故此选项不符合题意；B 、2(1)a a a a +=+，原计算正确，故此选项符合题意；C 、222()2a b a ab b -=-+，原计算错误，故此选项不符合题意；D 、2a 与3b 不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；故选：B ．5．（3分）函数y =的自变量的取值范围是( ) A ．1x - B ．1x -且0x ≠ C ．0x > D ．1x >-且0x ≠【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：根据题意得，10x +且0x ≠，解得1x -且0x ≠．故选：B ．6．（3分）“彩缕碧筠粽，香粳白玉团”．端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽2个、红枣粽4个、腊肉粽3个、白米粽2个，其中豆沙粽和红枣粽是甜粽．小明任意选取一个，选到甜粽的概率是( )A ．211B ．411C ．511D ．611【分析】粽子总共有11个，其中甜粽有6个，根据概率公式即可求出答案．【解答】解：由题意可得：粽子总数为11个，其中6个为甜粽， 所以选到甜粽的概率为：611， 故选：D ．7．（3分）在实数范围内定义运算“☆”：a ☆1b a b =+-，例如：2☆32314=+-=．如果2☆1x =，则x 的值是( )A ．1-B ．1C ．0D ．2 【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x 的值．【解答】解：由题意知：2☆211x x x=+-=+，又2☆1x=，11x∴+=，x∴=．故选：C．8．（3分）我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒x斛，1个小桶盛酒y斛，下列方程组正确的是( )A．5352x yx y+=⎧⎨+=⎩B．5253x yx y+=⎧⎨+=⎩C．53125x yx y+=⎧⎨+=⎩D．35251x yx y+=⎧⎨+=⎩【分析】根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：依题意，得：5352x yx y+=⎧⎨+=⎩．故选：A．9．（3分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为()A．B．C．D．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看易得第一列有2个正方形，第二列底层有1个正方形．故选：A．10．（3分）甲乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t 的对应关系如图所示，则下列结论错误的是()A．甲车的平均速度为60/km h B．乙车的平均速度为100/km h C．乙车比甲车先到B城D．乙车比甲车先出发1h【分析】根据图象逐项分析判断即可．【解答】解：由图象知：A．甲车的平均速度为30060/105km h=-，故A选项不合题意；B．乙车的平均速度为300100/96km h=-，故B选项不合题意；C．甲10时到达B城，乙9时到达B城，所以乙比甲先到B城，故C选项不合题意；D．甲5时出发，乙6时出发，所以乙比甲晚出发1h，故此选项错误，故选：D．11．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且1BE=，F为对角线AC上一动点，则BFE∆周长的最小值为()A．5B．6C．7D．8【分析】连接ED交AC于一点F，连接BF，根据正方形的对称性得到此时BFE∆的周长最小，利用勾股定理求出DE即可得到答案．【解答】解：如图，连接ED交AC于一点F，连接BF，四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于AC对称，BF DF ∴=，BFE ∴∆的周长BF EF BE DE BE =++=+，此时BEF ∆的周长最小，正方形ABCD 的边长为4，4AD AB ∴==，90DAB ∠=︒，点E 在AB 上且1BE =， 3AE ∴=，225DE AD AE ∴=+=，BFE ∴∆的周长516=+=，故选：B ．12．（3分）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴相交于(2,0)A -、(1,0)B 两点．则以下结论：①0ac >；②二次函数2y ax bx c =++的图象的对称轴为1x =-；③20a c +=；④0a b c -+>．其中正确的有( )个．A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时系数a 、b 、c 满足的关系综合判断即可．【解答】解：对于①：二次函数开口向下，故0a <，与y 轴的交点在y 的正半轴，故0c >，故0ac <，因此①错误；对于②：二次函数的图象与x 轴相交于(2,0)A -、(1,0)B ，由对称性可知，其对称轴为：21122x -+==-，因此②错误； 对于③：设二次函数2y ax bx c =++的交点式为2(2)(1)2y a x x ax ax a =+-=+-，比较一般式与交点式的系数可知：b a =，2c a =-，故20a c +=，因此③正确；对于④：当1x =-时对应的y a b c =-+，观察图象可知1x =-时对应的函数图象的y 值在x 轴上方，故0a b c -+>，因此④正确．∴只有③④是正确的．故选：C ．二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分．不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 13．（3分）9的算术平方根是 3 ．【分析】9的平方根为3±，算术平方根为非负，从而得出结论． 【解答】解：2(3)9±=， 9∴的算术平方根是|3|3±=．故答案为：3．14．（3分）如图，直线12//l l ，点A 在直线1l 上，点B 在直线2l 上，AB BC =，30C ∠=︒，180∠=︒，则2∠= 40︒ ．【分析】利用等腰三角形的性质得到430C ∠=∠=︒，利用平行线的性质得到1380∠=∠=︒，再根据三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：如图，延长CB 交2l 于点D ， AB BC =，30C ∠=︒， 430C ∴∠=∠=︒， 12//l l ，180∠=︒，1380∴∠=∠=︒，324180C ∠+∠+∠+∠=︒，即3080230180︒+︒+∠+︒=︒， 240∴∠=︒．故答案为：40︒．15．（3分）如图，已知半圆的直径4AB =，点C 在半圆上，以点A 为圆心，AC 为半径画弧交AB 于点D ，连接BC ．若60ABC ∠=︒，则图中阴影部分的面积为 23π- ．（结果不取近似值【分析】根据60︒特殊角求出AC 和BC ，再算出ABC ∆的面积，根据扇形面积公式求出扇形CAD 的面积，再用三角形的面积减去扇形面积即可． 【解答】解：AB 是直径，90ACB ∴∠=︒， 60ABC ∠=︒， 30CAB ∴∠=︒， 122BC AB ∴==，23AC = ∴112322322ABC S AC BC ∆===， 30CAB ∠=︒，∴扇形ACD 的面积22301(23)36012AC πππ===， ∴阴影部分的面积为23π．故答案为：23π．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别为：(2,0)A -，(1,2)B ，(1,2)C -．已知(1,0)N -，作点N 关于点A 的对称点1N ，点1N 关于点B 的对称点2N ，点2N 关于点C 的对称点3N ，点3N 关于点A 的对称点4N ，点4N 关于点B 的对称点5N ，⋯，依此类推，则点2020N 的坐标为 (1,8)- ．【分析】先求出1N 至6N 点的坐标，找出其循环的规律为每6个点循环一次即可求解． 【解答】解：由题意得，作出如下图形：N 点坐标为(1,0)-，N 点关于A 点对称的1N 点的坐标为(3,0)-， 1N 点关于B 点对称的2N 点的坐标为(5,4)， 2N 点关于C 点对称的3N 点的坐标为(3,8)-， 3N 点关于A 点对称的4N 点的坐标为(1,8)-，4N 点关于B 点对称的5N 点的坐标为(3,4)-，5N 点关于C 点对称的6N 点的坐标为(1,0)-，此时刚好回到最开始的点N 处，∴其每6个点循环一次，202063364∴÷=⋯⋯，即循环了336次后余下4，故2020N 的坐标与4N 点的坐标相同，其坐标为(1,8)-． 故答案为：(1,8)-．三、解答题（本大题共有8个小题，共72分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17．（8分）先化简，再求值：22293()6933m m m m m m --÷-+--，其中2m =． 【分析】根据分式的混合运算法则，先化简括号内的，将除法运算转化为乘法运算，再化简成最简分式，代入m 值求解即可．【解答】解：22293()6933m m m m m m --÷-+-- 22(3)(3)33[](3)3m m m m m m +--=--- 2333()33m m m m m +-=--- 233m m m m -=-1m=； 当2m =时， 原式1222==． 18．（8分）如图，//AE BF ，BD 平分ABC ∠交AE 于点D ，点C 在BF 上且BC AB =，连接CD ．求证：四边形ABCD 是菱形．【分析】由//AE BF ，BD 平分ABC ∠得到ABD ADB ∠=∠，得到AB AD =，再由BC AB =，得到对边AD BC =，进而得到四边形ABCD 为平行四边形，再由邻边相等即可证明四边形ABCD 为菱形．【解答】证明：//AE BF ，ADB DBC ∴∠=∠，BD 平分ABC ∠，DBC ABD ∴∠=∠，ADB ABD ∴∠=∠， AB AD ∴=，又AB BC =，AD BC ∴=，//AE BF ，即//AD BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形，又AB AD =，∴四边形ABCD 为菱形．19．（8分）某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查．调查结果分为四类：A 类--非常了解；B 类--比较了解；C 类--般了解；D 类--不了解．现将调查结果绘制成如图不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次共调查了 50 名学生； （2）补全条形统计图；（3）D 类所对应扇形的圆心角的大小为 ；（4）若该校九年级学生共有500名，根据以上抽样结果，估计该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解的约有 名．【分析】（1）根据条形图和扇形图得出B类人数为20名，占40%，即可得出总数；（2）根据总人数减去A，B，D的人数即可得出C的人数；（3）用360︒乘以D类部分所占百分比即可得出圆心角的度数；（4）用500乘以非常了解的部分所占百分比即可得出答案．【解答】解：（1）本次共调查的学生数为：2040%50÷=（名)．故答案为：50；（2）C类学生人数为：501520510---=（名)，条形图如下：（3）D类所对应扇形的圆心角为：53603650︒⨯=︒．故答案为：36︒；（4）该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解的人数为：1550015050⨯=（名)．故答案为：150．20．（8分）如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在A处测得小岛P位于其西北方向（北偏西45︒方向），2小时后轮船到达B处，在B处测得小岛P位于其北偏东60︒方向．求此时船与小岛P的距离（结果保留整数，参考数据：2 1.414≈，3 1.732)≈．【分析】过P作PH AB⊥，设PH x=，由已知分别求PB、BH、AH，然后根据锐角三角函数求出x 值即可求解．【解答】解：如图，过P 作PH AB ⊥，设PH x =，由题意得：30260AB =⨯=，906030PBH ∠=︒-︒=︒，904545PAH ∠=︒-︒=︒， 则PHA ∆是等腰直角三角形，AH PH ∴=，在Rt PHA ∆中，设AH PH x ==，在Rt PBH ∆中，22PB PH x ==，60BH AB AH x =-=-， 3tan tan303PH PBH BH ∴∠=︒==， ∴3360xx=-， 解得：30(31)x =-，260(31)44PB x ∴==-≈（海里），答：此时船与小岛P 的距离约为44海里．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线3(0)y ax a a =-≠与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，与双曲线(0)k y x x =>的一个交点为C ，且12BC AC =．（1）求点A 的坐标；（2）当3AOC S ∆=时，求a 和k 的值．【分析】（1）令3(0)y ax a a =-≠中0y =即可求出点A 的坐标；（2）过C 点作y 轴的垂线交y 轴于M 点，作x 轴的垂线交x 轴于N 点，证明BCM BAO ∆∆∽，利用12BC AC =和3OA =进而求出CM 的长，再由3AOC S ∆=求出CN 的长，进而求出点C 坐标即可求解．【解答】解：（1）由题意得：令3(0)y ax a a =-≠中0y =， 即30ax a -=，解得3x =，∴点A 的坐标为(3,0)，故答案为(3,0)．（2）过C 点作y 轴的垂线交y 轴于M 点，作x 轴的垂线交x 轴于N 点，如下图所示：显然，//CM OA ，BCM BAO ∴∠=∠，且ABO CBO ∠=∠， BCM BAO ∴∆∆∽，∴BC CM BA AO =，即：133CM=， 1CM ∴=，又132AOC S OA CN ∆==即：1332CN ⨯⨯=，2CN ∴=，C ∴点的坐标为(1,2)，故反比例函数的122k =⨯=，再将点(1,2)C 代入一次函数3(0)y ax a a =-≠中， 即23a a =-，解得1a =-， 故答案为：1a =-，2k =．22．（10分）某校足球队需购买A 、B 两种品牌的足球．已知A 品牌足球的单价比B 品牌足球的单价高20元，且用900元购买A 品牌足球的数量用720元购买B 品牌足球的数量相等．（1）求A、B两种品牌足球的单价；（2）若足球队计划购买A、B两种品牌的足球共90个，且A品牌足球的数量不小于B品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．设购买A品牌足球m个，总费用为W元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？【分析】（1）设购买A品牌足球的单价为x元，则购买B品牌足球的单价为(20)x-元，根据用900元购买A品牌足球的数量用720元购买B品牌足球的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买m个A品牌足球，则购买(90)m-个B品牌足球，根据总价=单价⨯数量，结合总价不超过8500元，以及A品牌足球的数量不小于B品牌足球数量的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之取其中的最小整数值即可得出结论．【解答】解：（1）设购买A品牌足球的单价为x元，则购买B品牌足球的单价为(20)x-元，根据题意，得90072020x x=-，解得：100x=，经检验100x=是原方程的解，2080x-=，答：购买A品牌足球的单价为100元，则购买B品牌足球的单价为80元；（2）设购买m个A品牌足球，则购买(90)m-个B品牌足球，则10080(90)207200W m m m=+-=+，A品牌足球的数量不小于B品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元，∴10080(90)85002(90)m mm m+-⎧⎨-⎩，解不等式组得：6065m，所以，m的值为：60，61，62，63，64，65，即该队共有6种购买方案，当60m=时，W最小，60m=时，206072008400W=⨯+=（元)，答：该队共有6种购买方案，购买60个A品牌30个B品牌的总费用最低，最低费用是8400元．23．（10分）如图1，AB是O的直径，直线AM与O相切于点A，直线BN与O相切于点B，点C（异于点)A在AM上，点D在O上，且CD CA=，延长CD与BN相交于点E，连接AD并延长交BN于点F．（1）求证：CE是O的切线；（2）求证：BE EF=；（3）如图2，连接EO并延长与O分别相交于点G、H，连接BH．若6AC=，AB=，4求tan BHE∠．【分析】（1）连接OD，根据等边对等角可知：CAD CDA∠=∠，再根据∠=∠，OAD ODA切线的性质可知90∠=∠+∠=∠+∠=︒=∠，由切线的判定定CAO CAD OAD CDA ODA ODC理可得结论；（2）连接BD，根据等边对等角可知ODB OBD∠=∠，再根据切线的性质可知∠=∠，再根据等角对等边得到∠=∠=︒，由等量减等量差相等得EDB EBDODE OBE90∠=∠，推出DE EF=，由=，然后根据平行线的性质及对顶角相等可得EDF EFDED EB此得出结论；（3）过E点作EL AM⊥于L，根据勾股定理可求出BE的长，即可求出tan BOE∠的值，再利用倍角公式即可求出tan BHE∠的值．【解答】解：（1）如图1中，连接OD，CD CA=，∴∠=∠，CAD CDA=OA OD∴∠=∠，OAD ODA直线AM与O相切于点A，∴∠=∠+∠=︒，CAO CAD OAD9090ODC CDA ODA∴∠=∠+∠=︒，CE∴是O的切线．（2）如图2中，连接BD，OD OB=，ODB OBD∴∠=∠，CE是O的切线，BF是O的切线，90OBD ODE∴∠=∠=︒，EDB EBD∴∠=∠，ED EB∴=，AM AB⊥，BN AB⊥，//AM BN∴，CAD BFD∴∠=∠，CAD CDA EDF∠=∠=∠，BFD EDF∴∠=∠，EF ED∴=，BE EF∴=．（3）如图2中，过E点作EL AM⊥于L，则四边形ABEL是矩形，设BE x=，则4CL x=-，4CE x=+，222(4)(4)6x x∴+=-+，解得：94x=，∴934tan 34BE BOE OB ∠===， 2BOE BHE ∠=∠，∴22tan 3tan 1tan 4BHE BOE BHE ∠∠==-∠， 解得：1tan 3BHE ∠=或3(3--不合题意舍去）， 1tan 3BHE ∴∠=． 补充方法：如图2中，作HJ EB ⊥交EB 的延长线于J ．34BE tab BOE OB ∠==， ∴可以假设3BE k =，4OB k =，则5OE k =，//OB HJ ，∴OB OE EB HJ EH EJ ==， ∴4539k k k HJ k EJ==， 365HJ k ∴=，275EJ k =， 2712355BJ EJ BE k k k ∴=-=-= 1tan 3BJ BHJ HJ ∴∠==， BHE OBE BHJ ∠=∠=∠，1tan 3BHE ∴∠=．24．（12分）如图1，抛物线214y x bx c =-++经过点(6,0)C ，顶点为B ，对称轴2x =与x 轴相交于点A ，D 为线段BC 的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）P 为线段BC 上任意一点，M 为x 轴上一动点，连接MP ，以点M 为中心，将MPC ∆逆时针旋转90︒，记点P 的对应点为E ，点C 的对应点为F ．当直线EF 与抛物线214y x bx c =-++只有一个交点时，求点M 的坐标． （3）MPC ∆在（2）的旋转变换下，若2PC =（如图2)． ①求证：EA ED =．②当点E 在（1）所求的抛物线上时，求线段CM 的长．【分析】（1）根据点C 在抛物线上和已知对称轴的条件可求出解析式；（2）根据抛物线的解析式求出点B 及已知点C 的坐标，证明ABC ∆是等腰直角三角形，根据旋转的性质推出直线EF 与x 轴的夹角为45︒，因此设直线EF 的解析式为y x b =+，设点M 的坐标为(,0)m ，推出点(,6)F m m -，直线EF 与抛物线2134y x x =-++只有一个交点，联立两个解析式，得到关于x 的一元二次方程，根据根的判别式为0得到关于m 的方程，解方程得点M 的坐标．注意有两种情况，均需讨论．（3）①过点P 作PG x ⊥轴于点G ，过点E 作EH x ⊥轴于点H ，设点M 的坐标为(,0)m ，由2PC =EHM MGP ∆≅∆，得到点E 的坐标为(1,5)m m --，再根据两点距离公式证明EA ED =，注意分两种情况，均需讨论；②把(1,5)E m m --代入抛物线解析式，解出m 的值，进而求出CM 的长．【解答】解：（1）点(6,0)C 在抛物线上， ∴103664b c =-⨯++， 得到69b c +=，又对称轴2x =， ∴2122()4b b x a =-=-=⨯-， 解得1b =，3c ∴=，∴二次函数的解析式为2134y x x =-++； （2）当点M 在点C 的左侧时，如图21-中：抛物线的解析式为2134y x x =-++，对称轴为2x =，(6,0)C ∴点(2,0)A ，顶点(2,4)B ，4AB AC ∴==，ABC ∴∆是等腰直角三角形，145∴∠=︒；将MPC ∆逆时针旋转90︒得到MEF ∆，FM CM ∴=，2145∠=∠=︒，设点M 的坐标为(,0)m ，∴点(,6)F m m -，又245∠=︒，∴直线EF 与x 轴的夹角为45︒，∴设直线EF 的解析式为y x b =+，把点(,6)F m m -代入得：6m m b -=+，解得：62b m =-， 直线EF 的解析式为62y x m =+-，直线EF 与抛物线2134y x x =-++只有一个交点， ∴262134y x m y x x =+-⎧⎪⎨=-++⎪⎩， 整理得：213204x m +-=， ∴△240b ac =-=，解得32m =， 点M 的坐标为3(2，0)． 当点M 在点C 的右侧时，如下图：由图可知，直线EF 与x 轴的夹角仍是45︒，因此直线EF 与抛物线2134y x x =-++不可能只有一个交点．综上，点M 的坐标为3(2，0)． （3）①当点M 在点C 的左侧时，如下图，过点P 作PG x ⊥轴于点G ，过点E 作EH x ⊥轴于点H ，2PC=，由（2）知45BCA∠=︒，1PG GC∴==，∴点(5,0)G，设点M的坐标为(,0)m，将MPC∆逆时针旋转90︒得到MEF∆，EM PM∴=，90HEM EMH GMP EMH∠+∠=∠+∠=︒，HEM GMP∴∠=∠，在EHM∆和MGP∆中，EHM MGPHEM GMPEM MP∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EHM MGP AAS∴∆≅∆，5EH MG m∴==-，1HM PG==，∴点(1,0)H m-，∴点E的坐标为(1,5)m m--；222(12)(50)21634 EA m m m m∴=--+--=-+，又D为线段BC的中点，(2,4)B，(6,0)C，∴点(4,2)D，222(14)(52)21634 ED m m m m∴=--+--=-+，EA ED∴=．当点M在点C的右侧时，如下图：同理，点E 的坐标仍为(1,5)m m --，因此EA ED =．②当点E 在（1）所求的抛物线2134y x x =-++上时， 把(1,5)E m m --代入，整理得：210130m m -+=，解得：5m =+5m =-，1CM ∴=或1CM =+．。