而且， 2 m
m较大时，m与有限次测量的平均值 N 和任一次测 量值 N 相差不大。
σN = m = N = N
表明：对放射性计数的标准误差只需用一次计
数N 或有限次计数的平均值 N 开方即可得到。
29
计数测量结果的表示： N N N N
表示一个置信区间，该区间包含真平均值的概率为 68.3％（置信度）。
EX1 X2 EX1 EX2 E X1 X2 E X1 E X2
14
(C) 相互独立的随机变量的“和”与“差”的 方差，是各随机变量方差的“和” ，即：
DX1 X2 DX1 DX2
(D) 相互独立的遵守泊松分布的随机变量之“和” 仍服从泊松分布。
要注意的是相互独立的遵守泊松分布的随机 变量之“差”，不服从泊松分布。
z2 Z
e 2 dz 2
1
z2 Z
e 2 dz
2 Z
2 0
(Z ) 可由高斯函数数值积分表查得。11
[m Z , m Z ] 表示置信区间为 Z 该置信区间的置信度为：2(Z )
例如：
当Z＝1时，置信区间为
该置信区间的置信度为 2(1) 68.3%
当Z＝2时，置信区间为 2
该置信区间的置信度为 2(2) 95.5%
取0的概率为 q 1 p e t 22
则总的衰变数N就是上述伯努利事件重复N0 次，发生正结果的事件之和。
对于一个具有N0个放射性核的放射源，在t 时 间内发生核衰变数为N，是一个遵守二项式分布 的随机变量。
概率函数
P N
PN0
N
N0!
1 e t N e t N0 N
变量，其概率函数为：
P n m n e m
n!
泊松分布随机变量的数学期望和方差
数学期望 方差
E n Pn m
0
2
D n E Pn m
0
8
泊松分布随机变量的特点
(A)的取值为全部正整数。
(B) E D m
(C)当m较小时其概率函数非对称，当m 较大时其概率函数趋于对称。 (D)相互独立的服从泊松分布的随机变量 之和，仍遵守泊松分布。
设一随机试验条件组为：作N 0次独立试验，每
次试验中要么发生 A事件，要么不发生，且 A
事件发生的概率为 p，不发生的概率为 1 p。
定义随机变量 为按上述条件组试验后，A事件
总共发生的次数。 可取值为0，1，2，...N0， 是离散型随机变量。
4
二项式分布的概率函数：
在一组N0个独立试验中，事件A成功n次的 概率为：
第三章 放射性测量中的统计学
1
统计性是微观世界的属性之一。放射 性原子核的衰变、辐射微观粒子的探测、 辐射探测器接收入射粒子并产生输出信号 等都是一个随机过程。
这些粒子数、输出信号的电荷量、信 号出现的时刻等是一个涨落的随机变量， 这样辐射测量所得到的数据也都是涨落的， 要从这些数据推导出结论，就必须用概率 论与数理统计的方法处理。
n=0N0 pq E Fra bibliotek p6
(2) 泊松分布
泊松分布是在N0很大、概率p很小的条件下， 二项式分布在数学上的直接简化，是二项式分布 的一种极限情况。
对二项式分布，当 N0 很大，但 p<<1，即 m ＝N0p 为不大的常数时，服从二项式分布的随 机变量就可服从泊松分布。
7
此时，随机变量可取全部正整数，为离散型随机
的贡献。可用于数据的检验.
s N
31
3.3 计数统计误差的传递
在一般的核测量中，常涉及函数的统计误差 的计算，也就是误差传递(Error Propagation)。
若 x1, x2,, xn 是相互独立的随机变量，其标 准误差相应为 x1 , x2 ,, xn ，由这些随机变 量导出的任何量 y f ( x1, x2 ,, xn ) 的标准误 差可以用下面公式求出：
泊松分布
n1 N0t
26
②、n2为进入探测器表面，即进入立体角Ω的粒 子数。 n2仍为遵守泊松分布的随机变量：
n2 n1 p 4 N0t
③、n3为探测器输出脉冲数。遵守泊松分布。
平均值
n3
n2
4
N0t
方差
2 n3
n3
4
N
0t
n3实际上是一个三级的串级型随机变量。
27
放射源在t 时间内发射的粒子数n1 遵 守泊松分布，探测器相应的输出脉冲数n3 也遵守泊松分布，探测器输出脉冲数的平
σ y = Aσ x
vy
=
y
y
σy
=
σx B
= x
x
例如：计数率的误差：
设在 t 时间内记录了N个计数，则计数率为
n=N/t，计数率的标准误差为：
n
N
t
N t
N t2
n t
其相对标准误差为：
vn N / N 1/ N
35
例如：存在本底时计数率的误差： 第一次，没有样品，在时间tb内测得本底 的计数为Nb； 第二次，放上样品，在ts时间内测得样品 和本底的总计数为Ns。
方差
Dx x Ex2 f xdx 2 10
高斯分布连续对称，可以方便的计算测
量值出现在 m Z 区间内的概率，即：
Pm Z X m Z
P m Z X m Z 1
( xm)2
m Z
e
2 2
dx
2 mZ
令： z x m
dz 1 dx
P m Z X m Z 1
脉冲探测器的特点：它的输出脉冲数
就反映了t时间内射入探测器的粒子数，
也就代表了放射源在t时间内发射出的总
粒子数。
25
脉冲计数器的测量过程可以概括为三个基本 过程，其计数值为一个三级串级型随机变量。
源发射粒子数n1
射入探测器 粒子数n2
探测器输 出脉冲数n3
Ω
①、n1为t 时间内放射源发出的粒子数，服从
律为:
N t N 0e t
在0~t 时间内，原来N0个放射性核中，发生
了衰变的核的平均数为 n N N 0 N t N 0 1 e t
当N0很大时，对一个核而言，一个核在0~t 时间内 发生衰变的概率为： p N 1 et
N0
每一个放射性核在t 时间内发生衰变是什么事件？
是伯努利事件 随机变量取1的正事件发生的概率 p 1 et
标准误差 随计数N增大而增大，因此用相对标准误 差来表示测量值的精确程度：
N
N N
N N
1 N
【注意】这种表示的标准误差仅适用于误差仅 仅由统计涨落引起的情况。
30
样本方差是总体方差的无偏估计，可以由样本
方差来估计有限次测量的方差称为标准偏差 s：
s
k
1 1
k i 1
(Ni
N
)2
s不仅包括统计误差，还反映了其他偶然误差
36
样品的净计数率为：
其标准误差为：
n0
=
ns
- nb
=
Ns ts
-
Nb tb
σN0 =
(σ
2 N
b
+
σ
2 N
s
)
=
Nb tb2
+
Ns ts2
=
nb + ns tb ts
级而成的N级串级随机变量，有：
E E1 E2 E N
2
2
,1
2
,
2
E
1
2
,
3
E
1
E 2
2
,
N
E1
E2 E N 1
19
(D) 由两个伯努利型随机变量1和2串级而成的 随机变量 仍是伯努利型随机变量。即 仍
是只有两个可取值(0,1)的伯努利型随机变量。
若伯努利型随机变量 1 的正结果发生概率 为 p1, 2 的正结果发生概率为 p2，则 正结果
均值为源发射的平均粒子数与几何因子及
探测器效率之积。
如果放射源发射粒子不是各向均匀的，上 述结论是否成立？
仍然成立，只要粒子落在Ω内的概率是不变
的——某一常数 f
几何因子不再是
4
，而是 f
28
(2). 探测计数的统计误差
粒子计数——探测器输出脉冲数服从统计分布 规律，当计数的数学期望值
m较小时，服从泊松分布。 m较大时，服从高斯分布。
2
计数统计学的意义可归结为两个方面： 1、可用于检验一台核计数装置的功能和
状态是否正常； 2、在处理只有一次或极为有限的测量中，
可用计数统计学来预测其固有的统计不确定 性，从而估计该单次测量应有的精密度。
3
3.1 概率论基础知识 3.1.1 几种常用的统计模型 (1) 二项式分布
二项式分布是支配偶然事件的最通用的概率 分布，广泛应用于所有概率p恒定的过程。
机变量1的一个可取值1i；
(机B变) 量再按2的条件1i个组可B作取值1i次试21,验22，, 实2现1i；了随
(C) 将这些可取值加起来得到一个值i， 并将此值定义为一个新的随机变量的一
个可取值； 1i
i 21 22 ... 21i
2 j
j 1
这里，随机变量为随机变量1与2的 “串级”随机变量。而且按顺序分别称1和 2为此串级随机变量的第一级和第二级。 17
方差 2 N0 1 e t e t N 0t
在核衰变过程中核衰变数的方差与其平均
值相等。
2 m
24
3.2.2、探测器计数的涨落分布
由于放射性核衰变具有统计分布，测量 过程中射线与物质相互作用过程也具有随 机性，因此在某个测量时间内对样品进行 测量得到的计数值同样是一个随机变量。