普通班高数作业（上）第一章 函数1、试判断下列每对函数是否是相同的函数，并说明理由：（第二版P22:4；第三版P8:1）（注：“第二版P22:4”指第二版教材第22页的第4题） （2）)sin(arcsin x y =与x y =； （4）x y =与2x y =；（6）)arctan(tan x y =与x y =； （8）)(x f y =与)(y f x =。

2、求下列函数的定义域，并用区间表示：（第二版P22:5；第三版P8:2）（2）xx x y -+=2； （3）x y x -+=1ln arcsin 21；（7）xey xln 111-+=。

3、设⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=0,10,1)(22x x x x x f ，求)()(x f x f -+。

（第二版P23:10；第三版无） 4、讨论下列函数的单调性（指出其单增区间和单减区间）：（第二版P23:11；第三版P12:1） （2）24x x y -=； （4）x x y -=。

5、讨论下列函数的奇偶性：（第二版P23:12；第三版P12:2）（2）x x x x f tan 1)(2+-=； （3）)1ln()(2x x x f -+=；（6）x x f ln cos )(=； （7）⎩⎨⎧≥+<-=0,10,1)(x x x x x f 。

6、求下列函数的反函数及反函数的定义域：（第二版P23:16；第三版P14:1）（1）)0,(),21ln(-∞=-=f D x y ； （6）⎩⎨⎧≤<--≤<-=21,)2(210,12)(2x x x x x f 。

7、（1）已知421)1(x x x x f +=-，求)(x f ；（2）已知2ln )1(222-=-x x x f ，且x x f ln )]([=ϕ求)(x ϕ。

（第二版P23:19；第三版P16:3）8、以下各对函数)(u f 与)(x g u =中，哪些可以复合构成复合函数)]([x g f ？哪些不可复合？为什么？（第二版P24:23；第三版P16:7）（2）21,arccos )(xxu u u f +==； （4）x u u u f sin ),1ln()(=-=。

9、某公司全年需购某商品1000台，每台购进价为4000元，分若干批进货。

每批进货台数相同，一批商品售完后马上进下一批货。

每进货一次需消耗费用2000元，商品均匀投放市场（即平均年库存量为批量的一半），该商品每年每台库存费为进货价格的4%。

试将公司全年在该商品上的投资总额表示为每批进货量的函数。

（第二版P24:29；第三版P25:4）第二章 极限与连续1、求下列数列的极限：（第二版P49:3；第三版P33:4） （2）设10<≤q ，ΛΛ2,1),(2111=+++==∑∑==n a a a aq x n nk knk k n ；（3）设nn a 22=，ΛΛ2,1),(2111=⋅⋅⋅==∏∏==n a a a a a x n nk k n k k n ；（5）Λ2,1,332=-+=n n n n x n。

2、用夹逼定理证明0sin lim =∞→nnxn 对一切实数x 成立。

（第二版P50:4；第三版P33:5） 3、求极限nn nn n cos 2sin 3lim+-∞→。

（第二版P50:5；第三版P33:6）4、（第二版P50:7；第三版P34:8） （2）设nn n n y n ++++++=22212111Λ，求极限n n y ∞→lim。

5、由函数xy -=2的图形考察极限xx -+∞→2lim ，xx --∞→2lim ，xx -∞→2lim 。

（第二版P50:8；第三版P38:1） 6、由函数x x x y -+=2的值的变化趋势考察极限)(lim x x x x -++∞→2，)(lim x x x x -+-∞→2，)(lim x x x x -+∞→2，)(lim x x x x -+→21。

（第二版P50:12；第三版P38:5）7、求下列函数极限：（第二版P50:13；第三版P38:6）（1）)2(lim 22x x x x ++-∞→； （5）)121(lim 0xx x x x ---+→；（7）;1372lim 31--+→x x x （9）;14lim 7531+++++-→x x x x x x （10）;1)1(1)1(lim 11100----→x x x （12）)()1()1(lim 211为正整数n x nx n x n x -++-+→。

8、设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=010001x x x x f ,,,)(，试讨论)(lim x f x 0→是否存在？（第二版P51:14；第三版P39:7）9、设⎩⎨⎧>+≤<+=11012x x a x x x f ,ln ,)(，已知存在)(lim x f x 1→，求a 的值。

（第二版P51:15；第三版P39:8） 10、讨论极限xx e111lim +→是否存在？（第二版P51:17；第三版P43:3）11、利用变量替换1-=x y ，求极限2tan )1(lim 1xx x π-→。

（第二版P51:18；第三版P43:5）12、求下列函数极限：（第二版P51:23有类似题；第三版P48:2有类似题）（1）x x x arctan 1lim ∞→； （2）)sin 1(sin lim x x x -++∞→； （3）;5tan 3sin lim0x x x → （4）;)(cos lim 2cot 10x x x +→ （5）xx x x 101312lim ⎪⎭⎫⎝⎛--→。

13、设数列{}n x 满足：,,2,1),21(,21011Λ=-=<<+n x x x x n n n 证明：（1）{}n x 单减，且;,2,1,210Λ=<<n x n （2）n n x ∞→lim 存在，并求出其值。

（第二版P54:6；第三版P55:6）14、求下列函数极限：（第二版P52:29、35有类似题；第三版P48:8、P52:4有类似题）（1）)1ln(121lim 20x x x x ---→； （2）xx x x x +++∞→sin 2lim ；（3）;1arcsin lim2--→x x ex x （4）;sin 1sinarcsin limxx x x x →（5）;)31ln()21ln(lim x x x ++-∞→ （6）.)(lim 1xx x e x +→ 15、已知011lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++∞→b ax x x x x ，求b a ,的值。

（第二版P52:30；第三版P48:9） 16、已知)1()1()1(~2)2(2→-+--x x b x a x x ，求b a ,的值。

（第二版P52:31；第三版P48:10）17、设0,0>>b a ，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=0,)1(0,20,sin )(1x bx x x x axx f x 在),(+∞-∞内处处连续，求b a ,的值。

（第二版P53:36；第三版P52:5）18、求⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤<=-<+=1,110,sin 0,01,11sin )(x x x x x x x x f 的间断点，并指出它们的类型。

（第二版P52:32；第三版P52:1）19、设11lim )(+-=+∞→tx tx t e e x f ，求)(x f 的表达式，并求出它的间断点。

（第二版P53:37；第三版P52:6）20、设上连续在][)(a,b x f ，且没有零点，证明)(x f 在],[b a 上保号。

（第二版P53:39；第三版P54:3）21、证明方程e x x -=ln 在),1(2e 内必有实根。

（第二版P53:40；第三版P54:4） 22、若)(xf 在),(b a 上连续，)3(21≥<<<<<n b x x x a n Λ，则在],[1n x x 内至少有一个点ξ，使nx f x f x f f n )()()()(21+++=Λξ。

（第二版无；第三版无）第三章 导数与微分1、判别x x y =在0=x 点是否可导？（第二版P76:5(1)；第三版P62:5(1)）2、设⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<≤+<-=1,1)1sin(10,0,1)(x x b x a x x e x f x 求可导和在使得10)(,,==x x x f b a 。

（第二版P76:6；第三版P63:6） 3、若)(x f 在0=x 点连续，且,11)(lim 0-=-→xx f x （1）求)0(f ；)()2(x f 在0=x 点是否可导？（第二版P77:7；第三版P63:7）4、设1)0(,1)0(-='=f f ，求极限：（1）;1)(2lim 0x x f x x -→（2）.11)(ln lim 1xx f x --→（第二版P77:9、10有类似题；第三版P63:9、10有类似题）5、设)(x g 在0=x 点连续，求x x g x f 2sin )()(=在0=x 点处的导数。

（第二版P77:8；第三版P63:8）6、求下列函数的导数：（第二版P77:14、16有类似题；第三版P67:3、P71:2有类似题）1）xx x x y +-=2；;cos sin 2cos )2x x x y += ;3arcsin 2)332x x y x-= ;11arctan)4-+=x x y );432ln()5x x x y ---++= ;)21(sin )62x y -=);0)(ln()722>++=a a x x y ;22)8332-+=x xx y.)211()9xxy -=7、若)(x f 可导，求下列函数的导数：（第二版P77:15；第三版P71:1） (1) )];(arctan[x f y = )1()2(+=x f y 8、若)(x y y =是由函数方程xyey x -=++)sin(1在)0,0(点附近所确定的隐函数，求y '及)(x y y =在)0,0(点的法线方程。

（第二版P78:21；第三版P72:7）9、设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-<=1,110,10,1)(2x x x x x x f ，求).(x f '（第二版无；第三版无） 10、求531近似值。

（第二版P78:22；第三版P76:1）11、设)(x y y =是函数方程1)ln(22-+=+y x y x 在)1,0(点附近所确定的隐函数，求dy 及)1,0(dy 。