arctxa|13n
1 3
3 12
6.求 微y分 (x)e方 xye 程 y的 通 解
解： y(x)exyey为可分离变量方程
变量ey分 d y(e离 x1)dx 两边积 ey分 exx 得 C
7.求 lx i0m [1 xx 12ln1 (x)]
lx i0m xlxn21(x)
1 1
lim x0
dycotssint dx cotssint
8.由参数 x y 方 e ettc s程 iottn确 s 定y函 y(数 x),
试y求 关x 于 的微 (t分 k)
4 解 先求函数y关于自变量x的导数
dxet(cotssin t)dt dyet(cotssin t)dt
dycotssintdx由e于 t(ctositn )xy
2x
lx im1ex
2
lx im ex
0
4. 确y定 lnxx的单调区间
y110x1 x x ( 0 , 1 ) y , 0 ; x ( 1 , ) y , 0
y 在 (0 ,1 )单,调 在 [1 , 增 )单 .调减
5计 . 算 13x2(11x2)dx
1
3[1 x2
11x2]dx1x|13
1 x 2x
lxim0 2x(1xx)
1 2
8.由参数 x y 方 e ettc s程 iottn确 s 定y函 y(数 x),
试y求 关x 于 的微 (t分 k)
解
4 先求函数y关于自变量x的导数
dycotssintdx cotssint
dxet(cotssin t)dt dyet(cotssin t)dt
解得特征根为 r11,r23
故齐次方程的通解为： yC 1exC 2e2x
非齐次方程有形如特解
y* a
a
5 2
非齐次方程的通解为 YC1exC2e2x5 2
y(0)C1C2521 y(0)C12C2 2
Y CC 12 C 1 72e 5x 所2 C 求2 e 特2x解为
Y5ex7 2e2x5 2
cotssint
et(ctositn )xy
更准确：
dy x ydx x y
二、设ex函 y2数 xy3,求此曲线在纵坐 为y0的点处的切 .(8分 线 ) 方程
解 y 0 1 2 x 3 x 1
在隐函数方程的两边对x求导 e x (y y x y ) 2 y 0
将 x 1 ,y 0 代 ,y ( 0 ) 入 1
证明至 [0 ， 少 2 a ]， 使 有 f(得 )一 f( 点 a )。
证 只需设 F ( x ) f ( x ) f ( x a )
F(x)在定[0义 ,a]上 域 连 , 续 且 F (0 ) f(0 ) f(a )
F (a ) f(a ) f(2 a ) f(a ) f(0 )
当 f(0 )f(a )0 时 ,取 0 ,结论 , 成立
f ( ) f ( a)。
2003级《高数》上试题解答
一 1 .设 y c 、 lo x n 2 e s x ( ) ， 求 y
解 y slix n n 2 e ( x ) 1 (2xex) x2 ex
2. 求1x2xdx
(x111x)dx1 2x2xln1xC
3.求lx im xx2ex
切线方程为 y(x1)
三、4 计 3six2n算 xd.x(9分 )
解 原式 [xcoxt]4 34 3codtx(1 4313)1 2ln2 3
四 .(1分 0 )求 微 y(分 x ) 3y方 (x ) 2y 程 (x )5
满 y(0 足 ) 1 ,y(0 )2 的.特 解
解： 相应齐次特征方程为 r23r20
通y ( 解 x ) ( C 1 为 C 2 x ) e ax
2003 级《高等数学（上）》试题
一、试解下列各题（48 分）
lim 1. 设y cosln(x2 ex )，求y； 2. 求 x2 dx ； 3. 求
x2 ；
1 x
x x e x
4. 确定y ln x x的单调区间 ； 5. 计算 3 1 dx ；
1 x 2 (1 x 2 )
6.求微分方程 y e x y e y 的通解；
2)3 2
4
f最(小 2)3433
六 f ( x ) 、 1 x 1 l t tn 2 d 设 ， 求 tf ( x ) 证 f ( 1 x )x (0 )
证 由于 f1x11x1lntt2dt
设1 u t
ln 1
x
1
1
u 1
1 u2
du
u2
x
1
lnu du 1 u2
f(x)
七f、 (x )在 [0 设 ， 2 a ]上连 且 f(0 续 、 f(x求 )x3(x21)3在 [2， 2]上的最大值
解 f(x)2x1 32x(x21)3 2
33
2
4
2[(x 1)3 x3]
1
2
3x3(x2 1)3
0
x10,x21,x32 2
由于函数的连续性，分别计算函数值
f(0)1,
f(1)1,
f( 2) 3 4 2
f(2)3433
因此
f最大 (
sin2
dx x
。
四、求微分方程
d2y dx 2
dy 3
dx
2y
5 满足初始条件
y
x0
1,
y
x0
2 的特解。
2
1
五、 求f (x) x 3 (x 1) 3 在[2，2]上的最大值与最小值 。
六、 设f (x) x ln t dt，求证f (x) f (1)(x 0) 。
1 1t2
x
七、设f (x)在[0，2a]上连续，且f (0) f (2a)，证明至少有一点 [0，2a]，使得
当 f ( 0 ) f ( a ) 0 时 , 则 F ( 0 ) F ( a ) 0
由介值定理知结论成立。
八已 、知一个二阶性常齐系次数微线分方方程程的 有相同的 a,试 实写 根出此微分通方解 . 程及其
解：此微分方程的特为 征(r方 a程 )2 0
此微分 y(x)方 2ay(程 x)a2 为 y(x)0
lim 7. 求
[ 1 1 ln(1 x)] ；
x0 x x 2
8.
由参数方程
x
y
et et
cos t sin t
确定函数
y
y ( x)，试求y关于x的微分 (t
4
k )
。
二、设曲线方程为 exy 2x y 3 ，求此曲线在纵坐标为 y 0 的点处的切线方程。
三、 计算
3
x
4