第十一章 无穷级数§11.1 常数项级数的概念与性质一、判断题 1．∑∞=1n n u 收敛，则3)3(lim 2=+-∞→n n n u u （ ）2．若0lim ≠∞→n n u ，∑∞=1n nu发散。

（ ）3.∑∞=1n nu收敛,则∑∞=+1)10(n nu收敛。

（ ）4．∑∞=1n nu发散，∑∞=1n nv发散，则)(1n n nv u-∑∞=也发散。

（ ）5．若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=+12n n u也收敛。

（ ）二、填空题1．∑∞=⋅⋅-⋅⋅⋅1)2(642)12(531n n n 该级数的前三项是 。

2．级数⋅⋅⋅-+-+-5645342312的一般项是 。

3．级数⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+86426424222x x x x x 的一般项为 。

4．级数)21)1(1(1n n n n -+∑∞=的和为 。

三、选择题1． 下列级数中收敛的是（ ）（A ）∑∞=+1884n n n （B ）∑∞=-1848n n n n （C ）∑∞=+1842n n n n （D ）∑∞=⋅1842n n nn2． 下列级数中不收敛的是（ ）（A ）)11(ln 1n n +∑∞= （B ）∑∞=131n n （C ）∑∞=+1)2(1n n n （D ）∑∞=-+14)1(3n nnn3． 如果∑∞=1n nu收敛，则下列级数中（ ）收敛。

（A ）∑∞=+1)001.0(n n u （B ）∑∞=+11000n n u（C ）∑∞=12n n u (D)∑∞=11000n nu4． 设∑∞=1n nu=2，则下列级数中和不是1的为（ ）（A ）∑∞=+1)1(1n n n （B ）∑∞=121n n （C ）∑∞=22n n u (D)∑∞=12n nu四、求下列级数的和1．∑∞=+1523n nnn 2. ∑∞=+-1)12)(12(1n n n3.)122(1n n n n ++-+∑∞= 4.)1()12(11<-∑∞=-q qn n n五、判断下列级数的收敛性。

1．⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n 31916131 2. ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n 313131313 3.n n 512130121************++⋅⋅⋅++++++ 六、已知∑∞=1n nu收敛，且0>n u ，)2,1(12⋅⋅⋅==-n u v n n 求证：∑∞=1n nv也收敛。

158§11.2 常数项级数的审敛法（1）一、判断题 1．若正项级数∑∞=1n nu收敛，则∑∞=12n nu也收敛。

（ ）2．若正项级数∑∞=1n n u 发散，则11lim>=+∞→r u u nn n 。

（ ） 二、填空题 1．∑∞=11n p n ，当p 满足条件 时收敛。

2．若∑∞=1n nu为正项级数，且其部分和数列为{}n s ，则∑∞=1n nu收敛的充要条件是 。

三、选择题1． 下列级数中收敛的是（A ）∑∞=11n nn n （B ）∑∞=++1)2(1n n n n （C ）∑∞=⋅123n n nn （D ）∑∞=+-1)3)(1(4n n n 2.∑∞=1n nu为正项级数，下列命题中错误的是（A ） 如果11lim<=+∞→ρn n n u u ，则∑∞=1n n u 收敛。

(B)如果11lim >=+∞→ρn n n u u ，则∑∞=1n n u 发散。

(C)如果11<+n n u u ，则∑∞=1n n u 收敛。

(D)如果11>+n n u u ，则∑∞=1n n u 发散。

2． 判断∑∞=+1111n nn的收敛性，下列说法正确的是（ ）（A ）∴>+.011n此级数收敛。

（B ）∴=+∞→.0111limnn n此级数收敛。

（C ）∴>+.1111n n n级数发散。

（D ）以上说法均不对。

四、用比较判断法或其极限形式判定下列级数的收敛性。

1．∑∞=-1121n n 2. ∑∞=+132)1(3cos n n n n λ3．∑∞=++1)3)(1(1n n n 4.∑∞=12arctan n n5．)1cos 1(1∑∞=-n n 6.)sin (1∑∞=-n nn ππ五、用比值判断法判断下列级数的收敛性。

1．∑∞=110!n n n 2.∑∞=17!)!2(n nn n 3.∑∞=122n nn a（a 为常数） 4.∑∞=12)!(n nn n六、用根值判断法判断下列级数的收敛性。

1. nn n n )1413(1∑∞=+- 2.∑∞=--112)13(n n n n1603．∑∞=1)(n nna b ，其中0,,),(>∞→→a b a n a a n n 。

七、判断∑∞=1!n n n bn e 的收敛性。

八、设,0,>n n b a 且3,2,1,11=≤++n b b a a nn n n 1． 若∑∞=1n nb收敛，则∑∞=1n na收敛。

2.若∑∞=1n na发散，则∑∞=1n nb发散。

九、若02lim >=∞→A an nn ，问∑∞=1n n a 是否收敛？十、偶函数f(x)的二阶导数)(x f ''在x=0的某个区域内连续，且2)0(,1)0(=''=f f 。

求证：∑∞=-1]1)1([n n f 收敛。

§11.2 常数项级数的审敛法（2）一、判断题 1．若∑∞=12n nu，∑∞=12n nv都收敛，则n n n v u ∑∞=1绝对收敛。

（ ）2．级数∑∞=-⋅-1110)1(n n n n条件收敛的。

（ ） 二、填空题1．∑∞=--11)1(n n n 的和为 。

2．级数)3,2,1,0()1(11=>⋅-∑∞=-n u u n n n n 若满足条件 则此级数收敛。

三、选择题1． 下列级数中条件收敛的是（ ） （A ）n n n 1)1(11∑∞=+- （B ）211)1(n n n∑∞=-（C ）1)1(1+-∑∞=n n n n （D ）)1(1)1(1+-∑∞=n n n n2． 下列级数中绝对收敛的是（ ）（A ）n n n1)1(1∑∞=- （B ）∑∞=+-21ln )1(n n n （C ）∑∞=+-11)1(n n n n （D ）∑∞=+-21ln )1(n n nn四、用适当的方法判定下列级数的收敛性。

1．∑∞=-1)(cos 1(n n αα为常数） 2. ∑∞=+11n nn3．∑∞=14!n n n 4.∑∞=-⋅⋅-⋅⋅⋅⋅1)13(852)12(531n n n1625．∑⎰∞=+14411n ndxx 6.)0()1(1>+∑∞=a n an n n五、判定下列级数是否收敛？若收敛是条件收敛还是绝对收敛？ 1．∑∞=---1113)1(n n n n 2.∑∞=-+-11)1ln(1)1(n n n3．∑∞=++111sinn n n ππ4.]11)1[(1nn n n+-∑∞=六、已知级数∑∞=12n n u 收敛。

证明：∑∞=1n nnu 必绝对收敛。

§11.3 幂级数一、判断题1．若幂级数n n n x a )23(1-∑∞=在x=0处收敛，则 在x=5处必收敛。

（ ）2．已知nn nx a∑∞=1的收敛半径为R ，则n n n x a 21∑∞=的收敛半径为R 。

（ ）3．n n nx a∑∞=1的收敛半径为R ，在（-R ，R ）内的和为S(x)，则在（-R ，R ）内任一点S(x)有任意一阶导数存在。

（ ） 4．nn nx a∑∞=1和nn n xb ∑∞=1的收敛半径分别为b a R R ,，则n n n nx b a∑∞=+1)(的收敛半径R=),min(b a R R 。

（ ） 5．若21lim=+∞→n n n c c ，则幂级数n n n x c 21∑∞=的收敛半径为2。

（ ） 二、填空题1． 幂级数n n nx n∑∞=12的收敛区间为 。

2． 幂级数n n x n )32(11-∑∞=的收敛区间为 。

3． ∑∞=--11212n n n x 的收敛区间为 ，和函数S(x)为 。

4． n n n x a ∑∞=1在x=-3时收敛，则n n nx a∑∞=1在3<x 时 。

三、选择题1． 若幂级数n n nx a∑∞=1在0x x =处收敛，则该级数的收敛半径R 满足（ ）（A ）0x R = （B ）0x R < （C ）0x R ≤ （D ）0x R ≥ 2． 级数∑∞=--1)5(n nnx 的收敛区间（ ）（A ）（4，6） （B ）[)6,4 （C ）(]6,4 （D ）[4，6] 3． 若级数∑∞=--112)2(n nn a x 的收敛域为[)4,3，则常a =（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）以上都不对。

4． 级数n n xx n )1(11-∑∞=的和函数为（ ）164（A ）x x ---)1ln(（B ）)2ln(x - （C ）x ln （D ）以上都不对。

四、确定下列幂级数的收敛区间。

1．nn x n ∑∞=132. ∑∞=⋅⋅⋅⋅⋅1)2(642n nn x3. nn n nn x 2)1(121⋅-+∞=∑ 4. n n x nn)2(1112-++∑∞=五、求下列幂级数的和函数。

1．)1(11<-∞=∑x xn n n 2. )1(14114<+∑∞=+x n x n n3． 1112)1(-∞=-∑+n n n x n n 并求 ∑∞=-+112)1(n n n n§11.4 函数展开成幂级数一、判断题1．若对某一函数使∃不)0()(m f，则f(x)就不能展开成x 的幂级数。

（ ）2．式n nn x x ∑∞=-=+0)1(11只有在（-1，1）内成立，所以由逐项积分原则，等式=+)1ln(x ∑∞=++-011)1(n n n n x 也能在（-1，1）内成立。

（ ）3． 函数f(x)在x=0处的泰勒级数+++''+'+nn x n f x f x f f !)0(!2)0(!1)0()0()(2必收敛于f(x)。

（ ）二、填空题1． )2ln()(x x f +关于x 的幂级数展开式为 ，其收敛域是 。

2．231)(2++=x x x f 展开成x+4的幂级数为 ，收敛域为 。

三、选择题1． 函数2)(x e x f -=展开成x 的幂级数为（ ）（A ）∑∞=02!n n n x （B ）∑∞=⋅-02!)1(n nn n x （C ）∑∞=0!n n n x （D ）∑∞=⋅-0!)1(n n n n x2．)0()(n f存在是f(x)可展开成x 的幂级数的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件（C ）必要而不充分条件 （D ）既不是充分条件也非必要条件3．),()(+∞-∞在x f 内展开成x 的幂级数，则下列条件中只有（ ）是必要的。