5)写出正交变换 X=QY，则可得标准型
2 f 5 y12 5 y2 4 y32
2 3 1 3 , 则Q是正交矩阵。 2 3
注：正交变换化为标准形的优点： 在几何中，可以保持曲线 （曲面）的几何形状不变。
例2
求一个正交变换 x Py , 把二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x3 x4
注：二次型 对称矩阵
定义2： 二次型
f X T AX 把对称矩阵 A 称为二次型 f 的矩阵；
也把二次型 f 称为对称矩阵 A 的二次型 对称矩阵 A 的秩称为二次型 f 的秩。
例1
写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求 f 的秩r(f)。
1 2 3 x1 f ( x1 , x 2 , x 3 ) [ x1 , x 2 , x 3 ]4 5 6 x 2 x T Bx 7 8 9 x3
例如：二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 3 x3 4 x1 x2 x2 x3
2 2
0 x1 1 -2 ( x1 , x2 , x3 ) -2 0 1/2 x2 0 1/2 -3 x 3
c1 ci
0 1 2 2 按r4 展开 ( 1) ( 1) 2 0 1 2 0 2 1 2 i 2,3,4 0 2 1 0 0 0 1
ri r1
1
1
1
1
1
1
1
( 1)
2
1 2
2
1
( 1) 3 ( 3)
a1n xn ) a2 n xn ) ann xn )
( x1 , x2 ,
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 , xn ) an1 x1 an 2 x2
a11 a 21 , xn ) a n1 a12 a22 an 2
1 2 4 A 2 4 2 4 2 1
1
1 2 4 5 0 5 2 E A 2 4 2 2 4 2 5 4 4 2 1 4 2 1
所以A的特征值为: 1 2 5, 3 4
1 2 1 2对1 2 5, 解5E AX 0, 得基础解系为: 1 1 , 2 0 0 1
对3 4, 解 4E AX 0, 得基础解系为: 3 1,1 2 ,1
此结论用于二次型
1. 正交变换法(重点) 主轴定理 (P191 定理6.2.1)
任给二次型 f
i , j 1
aij xi x j aij a ji , 总有
n
正交变换 x Py , 使 f 化为标准形
2 2 2 f 1 y1 2 y2 n yn ,
2 2
2
Y T Y
问题转化为： 求可逆矩阵 C，使得 C T AC 为对角矩阵
回忆： 对于任意实对称矩阵 A, 总存在正交矩阵 T,
使得， T 1 AT 又T为正交矩阵，即 T T T E，
所以 T 1 T T
所以， 对于任意实对称矩阵 A, 总存在正交矩阵 T,
使得， T T AT
a1n a2 n ann
x1 x X 2 xn
则 f X T AX
二次型的矩阵表示（重点）
其中A为对称矩阵。
注 1、对称矩阵A的写法：A一定是方阵。 2、其对角线上的元素 aii 恰好是 x 2 i i 1,2, , n 的系数。 3、 xi x j 的系数的一半分给 a ji . 可保证 a ij a ji .
a1n xn a2 n xn ann xn
a1n x1 a2 n x2 ann xn
( x1 , x2 ,
a11 a 令 A 21 a n1
a12 a22 an 2
找可逆的线性变换(坐标变换)：
i , j 1
aij xi x j
n
(1)
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x c y c y c y 2 21 1 22 2 2n n ( 其中 C (c ij ) 可逆 ) x n cn1 y1 cn 2 y2 cnn yn
解
2 2 3 f x1 5 x2 9 x3 6 x1 x2 10 x1 x3 14 x2 x3
1 3 5 x1 [ x1 , x 2 , x 3 ] 3 5 7 x 2 x T Ax 5 7 9 x3
r( f ) r( A) 2
问： 在二次型 f x T Ax 中,如不限制 A对称, A唯一吗?
定义 只含平方项的二次型
2 2 2 f k1 x1 k2 x2 kn xn
k1 x1 [ x1 ,, x n ] kn xn
称为二次型的标准形(或法式)。
平方项系数只在 1,1,0 中取值的标准形
2 2 2 f x1 x2 x x p p 1 r
称为二次型的规范形。 (注：这里规范形要求系数为1的项排
在前面，其次排系数为-1的项。)
目的：对给定的二次型
f x1 , x2 ,, xn
第六章 二次型及其标准型
§6.1 二次型及其矩阵表示
§6.2 化二次型为标准型
§6.3 正定二次型与正定矩阵
§6.1 二次型及其矩阵表示
在平面解析几何中，我们知道标准方程
A x2 B y 2 1
x2 y 2 R2
中
的图形为圆。
x2 y2 2 1 的图形为椭圆。 2 a b x2 y2 2 1 的图形为双曲线。 2 a b 对于一般二次曲线 ax 2 bxy cy 2 d 的图形是什么？
当 2 3 4 1 时, 解方程 ( E A) x 0
得正交的基础解系
1 0 1 1 0 1 2 , 3 , 4 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 p2 , p3 , p4 2 0 2 1 2 1 0 1 1
T
3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化：
1 4 2 1 1 1 1 2 , 2 2 , 3 1 , 3 5 45 0 5 2
1 5 4 45 4令Q 1 , 2 , 3 2 5 2 45 0 5 45 并且QT AQ Q 1 AQ diag 5,5,4
引言
判别下面方程的几何图形是什么？
2 x 2 3 xy y 2 10 (1)
作旋转变换
x cos( ) x sin( ) y y sin( ) x cos( ) y
y
~ y
6
代入(1)左边，化为：
5 2 1 2 x y 10 2 2

2 an1,n1 xn 1 2an 1, n xn 1 x n
ann x
2 n
称为二次型。（1）
例如： f ( x, y ) x 2 4 xy 5 y 2
都是二次型。 f ( x, y, z ) 2 x 2 y 2 xz yz f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2 x2 x3 x2 x4
其中 1 , 2 ,, n是 f 的矩阵A (a ij ) 的特征值.
例1 用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。
f x1 , x2 , x3 x 4 x x 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3
2 1 2 2 2 3
解
二次型的矩阵为
使得 B C T AC , 则称 A 合同于 B .
记作 A 定理
B
设A为对称矩阵，且A与B合同，则
(1)
证明
B C T AC 仍是对称矩阵
( 2 ) r ( B ) r ( A)
(1) BT (CT AC)T C T AT (C T )T C T AC B
(2) B CT AC 因为C可逆
所以r ( B) r ( A)
注：合同仍然是一种等价关系 矩阵合同的性质：(1) 反身性 (2) 对称性 (3) 传递性
二. 化二次型为标准形
目标：
1. 正交变换法（重点） 2. 配方法
二次型 f X T AX

可逆线性变换X CY
标准形 f Y T (C T AC )Y
k1 y1 k2 y2 kn yn
2 a21 x2 x1 a22 x2
a1n x1 xn a2 n x2 xn
二次型用和号表示
2 ann xn
an1 xn x1 an 2 xn x2

i , j 1
a
n
ij
xi x j
x1 (a11 x1 a12 x2 x2 (a21 x1 a22 x2 xn (an1 x1 an 2 x2
代入(1)式，使之成为标准形
f
2 k1 y1 2 k 2 y2 2 k n yn
称上面过程为化二次型为标准形。
§6.2 化二次型为标准型
一、 非退化线性变换（可逆线性变换） 设