化二次型为标准型的方法二、 二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方向转轴） ''''x x cos y sin y x sin y cos θθθθ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ （2）把方程（1）化成标准方程。

在二次曲面的研究中也有类似的情况。

（1）的左端是一个二次齐次多项式。

从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。

二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。

现在就来介绍它的一些最基本的性质。

设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。

设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn nx c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++⎧⎪=++⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩ （4） 称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。

如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。

在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。

另ij ji a =a ，i<j. 由于i j j i x x =x x ，所以22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++=n nijiji 1j 1a x x ==∑∑它的系数排成一个n*n 矩阵11121n 21222n n1n2nm a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L L M L 它就称为二次型的矩阵。

显然它是对称矩阵。

令 12n x x X x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M于是二次型可写成12n f (x ,x ,...,x )='X AX 非退化线性替换可以表示成X=CY三、化二次型为标准形的方法之一：配方法定理：数域P 上任意二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式，即标准形。

证明：下面的证明实际就是一个具体的把二次型化成平方和的方法，也就是“配方法”。

我们对变量的个数做数学归纳法。

对于n=1，而二次型就是21111f (x )a x =已经是平方和的形式了。

现假定对n-1元二次型，定理的结论成立。

再假设n n12n ijiji 1j 1f (x ,x ,...,x )a x x ===∑∑（ij a=ji a ）分三种情况来讨论：1）ii a （i=1，2，…，n ）中是少有一个不为零，例如11a ≠0。

这时12n f (x ,x ,...,x )=2111a x +n 1j 1j j 2a x x =∑+n i1i 1i 2a x x =∑+n nij i j i 2j=2a x x =∑∑=2111a x +2n1j 1j j 2ax x =∑+n nij i j i 2j=2a x x =∑∑=11a 2n 11111j j j 2x a a x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑-111a -2n 1j j j 2a x =⎛⎫ ⎪⎝⎭∑+n n ij i j i 2j=2a x x =∑∑=11a 2n 11111j j j 2x a a x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑+n n ij i j i 2j=2b x x =∑∑，这里n nij i j i 2j=2b x x =∑∑=-111a -2n1j j j 2a x =⎛⎫⎪⎝⎭∑+n nij i j i 2j=2a x x =∑∑是一个2n x ,...,x 的二次型。

令n -111111j j j 222n n y x a a x y x ...........y x =⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∑即n-111111j j j 222n nx y a a x x y ...........x y =⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∑ 这是一个非退化线性替换，它使12n f (x ,x ,...,x )=2111a y +n nij i j i 2j=2b x x =∑∑。

有归纳法假定，对nniji ji 2j 2b y y ==∑∑有非退化线性替换22222332n n 33223333n n n n22n33nn nz c y c y ...c y z c y c y ...c y ...........z c y c y ...c y =++⎧⎪=++⎪⎨⎪⎪=++⎩能使它变成平方和2222233n n d z d z ...d z ++。

于是非退化的线性替换1122222332n n 33223333n n n n22n33nn nz y z c y c y ...c y z c y c y ...c y ...........z c y c y ...c y =⎧⎪=++⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩ 就使12n f (x ,x ,...,x )变成12n f (x ,x ,...,x )=2222233n n d z d z ...d z ++由归纳法，即证。

2）所有ii a 都等于0，但至少一1j a 0≠（j>1），不是一般性，设12a 0≠。

令112212n nx z z x z - z ...........x z =+⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩它是非退化线性替换，且使12n f (x ,x ,...,x )=12122a x x ...+ =1212122a (z z )(z - z )...++=221211222a z 2a z ...-+这时上式右端是12n z ,z ,...,z 的二次型，且21z 的系数不为0，属于第一种情况，定理成立。

3）11121n a a ...a 0===由于对称性，有21222n a a ...a 0=== 这时n n12n ijiji 2j 2f (x ,x ,...,x )a x x ===∑∑是n-1元二次型。

根据归纳假设，它能用非退化线性替换变成平方和。

这样就完成了定理得证明。

说明：虽然配方法是基础方法，但在应用化简二次型时比较麻烦。

配方法需要通过观察来配方，对初学者来讲，具有一定的盲目性。

四、化二次型为标准形方法之二：合同变换法（初等变换法）由上述配方法即得：定理 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于以对角矩阵。

即对于任意一个对称矩阵A ，都可以找到一个可逆矩阵C 使TC AC 成对角形。

即任意对称矩阵都可用同样类型的初等行变换和初等列变换化成与之合同的对角矩阵。

典型例题：用合同变换法化二次型为标准型，并写出非退化的线性替换。

2221231231213(,,)222f x x x x x x x x x x =+-+-解：123(,,)f x x x 的矩阵为A=111120101-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭以下为合同变换过程：111120101-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭21*(1)+-−−−−→111011101-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭21*(1)+-−−−−→101011111-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭31*(1)+−−−→ 100010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭110010001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101011012-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭31*(1)+−−−→100011012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭32*(1)+-−−−−→100011003⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭32*(1)+-−−−−→ 110010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 111010001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111010001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100010003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ 112011001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭因此D=100010003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，C=112011001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭令X=CY ，得123(,,)f x x x =2221233y y y +-五、 化二次型为标准形方法之三：正交变换法（实二次型）利用欧式空间的理论，我们得到这样的结论：对于任意一个n 级是对称矩阵A ，都存在一个n 级是正交矩阵T ，使T -1T AT=T AT 成对角形。

定理 任意一个实二次型n n12n ijiji 1j 1f (x ,x ,...,x )a x x ===∑∑ （ij a=ji a ）都可经过正交的线性替换变成平方和12n f (x ,x ,...,x )=2222233n n d z d z ...d z ++其中平方项系数12n d ,d ,...,d 就使矩阵A 的特征多形式全部的根。

因此只要求出特征根，二次型标准形也就求出来了。

正交变换更具实用性。

如：典型例题：作直角变换，把下述二次曲面方程化成标准方程，并指出它是什么二次曲面？22223441x y z xy yz ++--=解：此方程左端的二项式部分为：(,y,z)f x =2222344x y z xy yz ++-- 下把它正交替换成标准型：它的矩阵A=120222023-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭E A λ-=120222023λλλ---=（2λ-）（5λ-）（1λ+）,A 的全部特征值是2，5，-1.对于特征值2，求出（2E-A ）X=0的一个基础解系：1212α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,把1α单位化，得1231323η⎛⎫- ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;对于特征值5，求出（5E-A ）X=0的一个基础解系：2122α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,把2α单位化，得2132323η⎛⎫ ⎪⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;对于特征值-1，求出（-E-A ）X=0的一个基础解系：3221α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,把3α单位化，得3232313η⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭令T=212333122333221333⎛⎫- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，则T 是正交矩阵，且1200T AT=051000-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭令***x x y T y z z ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则(,y,z)f x =*2*2*22x 5y z +- 所以原二次型在新的直角坐标系中的方程为：*2*2*22x 5y z +-=1由此看出，这是单叶双曲面。