2015届本科毕业论文题目：二次型化为标准型方法所在学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学11-2班****：***指导教师：艾合买提答辩日期：2015年5月5日目录1 引言.............................................. 错误!未定义书签。

2 关于二次型定义 ................................... 错误!未定义书签。

3 二次型化为标准型的方法 ........................... 错误!未定义书签。

正交变换法 ...................................... 错误!未定义书签。

. 配方法 ......................................... 错误!未定义书签。

. 初等变换法 ..................................... 错误!未定义书签。

. 雅可比方法 ..................................... 错误!未定义书签。

. 偏导数法 ....................................... 错误!未定义书签。

4. 小结 ............................................ 错误!未定义书签。

参考文献 .......................................... 错误!未定义书签。

致谢 .............................................. 错误!未定义书签。

二次型化为标准形的几种方法摘要：二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形。

这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法。

正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明。

其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方。

关键词：正交变换法；配方法；初等变换法；雅可比方法；偏导数法Several Methods of Changing the Quadratic into the StandardAbstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula.Key words: orthogonal transform method ; match method ;elementary transformation; jacobian method ;partial derivative method1引言二次型是代数学中的一个重要问题，它在数学中占有重要地位，在实际生活中也有着广泛的应用。

其中二次型的一个很重要的问题就是将二次型化为标准型问题。

针对这一问题，本文将逐一列举五种化二次型为标准型的方法，分别是：正交变换法、配方法、初等变换法、雅克比方法、偏导数法。

并且将具体给出每种方法的特点及适用范围，并给出例题。

2关于二次型定义定义2.1.1 设V 是数域K 上的向量空间，如果V 中任意一对有序向量),(βα都按照某一法则f 对应于K 内唯一确定的一个数，记作),(βαf ，且(i)对任意1k ，2k ∈K ，1α，2α，β∈V ，有f ),(2211βααk k +=1k ),(1βαf +2k ),(2βαf ；(ii)对任意1l ，2l ∈K ，α，1β，2β∈V ，有f ),(2211ββαl l +=1l f ),(1βα+2l f ),(2βα；则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.定义 2.1.2 设V 是数域K 上的向量空间，),(βαf 是V 上的一个双线性函数.如果V 中任意一对有序向量),(βα有),(βαf =),(αβf ，则称),(βαf 是V 上的一个对称双线性函数.定义2.1.3 设V 是数域K 上的线性空间，),(βαf 是V 上双线性函数，当αβ=时，V 上函数),()(αααf Q f =称为),(βαf 对应的二次型函数.给定V 上一组基{}12,,...,n ξξξ，设),(βαf 的度量矩阵为n n ij a A ⨯=)(，对V 中任一向量1n i i i x αε==∑有j i n j ij n i x x a f ∑∑===11),(αα. (1)这式中i j x x 的系数ij ji αα+.因此如果两个双线性函数的度量矩阵分别为n n ij a A ⨯=)(，及n n ij a B ⨯=)(,只有ij ji ij ji b b αα+=+，(),1,2...i j n =.所以其所对的二次齐次函数是相同的，得到很多双线性函数可以对应于相同二次齐次函数，现要求A 为对称矩阵，就相当于使双线性函数对称，则一个对称双线性函数只与一个二次齐次函数对应.从(1)我们可以得到：一个二次齐次函数的坐标表达式其实和二次型等价，又因为它与对称矩阵相对应，所以这个对称矩阵就是唯一的与这个二次齐次函数对应的对称双线性函数的度量矩阵.),()(αααf Q f ==AX X '=∑=n i 1j i n j ij x x a ∑=1)(ji ij a a =.定义 2.1.4 设K 是一个数域，n K a ij ,∈个文字n x x x ，，，21的二次齐次多项式+++++= n n n x x a x x a x x a x a x x x f 1131132112211121222),,,(n n x x a x x a x a 2232232222222++++++ 2n nn x a + =j i n j ij n i x x a ∑∑==11 ),,2,1,,(n j i a a ji ij ==.称为数域K 上的n 元二次型，简称二次型.当ij a 实数时，称f 为实二次型.当ij a 复数时，称f 为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即),,,(21n x x x f =2222211n n x d x d x d +++ .称f 为标准型.总之，数域K 上的二次型f 就是V 内一个二次型函数)(αf Q 在基{}12,,...,n ξξξ下的解析表达式.即V 内取定一组基之后，就使V 内全体二次型函数)(αf Q 所成集合和数域K 上n 元二次型f 所成的集合之间建立起一一对应关系.由于数域K 上二次型f 与二次型函数)(αf Q 一一对应，因此关于对称双线性函数所得到的结果可以直接用到二次型f 上来.A 的主对角线上的元素依次为二次型的平方项的系数，而A 的第i 行第j 列元素ij a )(j i <是交叉项j i x x 的系数的一半，再取ij a =ji a )(j i <即得到对称矩阵A .于是这个二次型就可以用矩阵形式表示为),,,(21n x x x f =AX X '.例1 写出二次型222123123121323(,,)242684f x x x x x x x x x x x x =-++-+所对应的矩阵 解 234342422A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭定义2.3.1 对称矩阵A 分别施行以下三种变换，统称为矩阵的初等保号变换：(i) 交换A 的某两行（列）；(ii) 用一个正数0k ≠乘A 的某一行（列）；(iii) 用一个正数0k ≠乘A 的某一行（列）加到另一行（列）；易见矩阵的初等保号变换不改变二次型的正定性，负定性，半正定型，半负定性. 引理1 非退化线性替换不改变实二次型的负定，正定，半正定，半负定，不定.证明 设),,,(21n x x x g =AX X '是负定二次型，并且CY X = (0≠C ) 是非退化线性替换.),,,(21n x x x g =AX X '，BY Y y y y f n '=),,(21 )(AC C B '=，并且对任意n n R k k k ∈≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡021 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n k k k C c c c 2121， 结果0),,,(),,(2121<=n n c c c g k k k f ，即),,(21n y y y f 是负定二次型.反之设),,(21n y y y f 是负定：AX X x x x g X C Y BY Y y y y f n n '=='=-),,(),,,(21121 其中011≠=-CC 于是得到),,,(21n x x x g X AX '=是负定的，也就是非退化线性替换不会改变正定二次型的负定性. 同理，非退化线行替换不改变正定二次型的半负定、半正定性、和不定性。

例2 判断正定二次型22121122(,)2f x x x x x x =++、在非退化线性替换能否改变二次型的正定性解：()22212112212(,)2f x x x x x x x x =++=+故作非退化线性替换{11222y x x y x =+=，便得222112212x x x x y ++= 因此上面例子可以看出二次型在非退化线性替换下还是正定二次型.从此推出：实二次型),,,(21n x x x f 的“负定性，正定性，半负定性，半正定性以及不定性”是非退化线性变换下的一个不变性质.3二次型化为标准型的方法正交变换法根据二次型的性质，则必可以通过一个适当变换将二次型化为只含有平方项的形式定理1 任意一个实二次型∑∑==n i nj j i ij x x a 11， ji ij a a =都可以经过正交的线性替换变成平方和2222211n n y y y λλλ+⋅⋅⋅++其中平方上的系数n λλλ,,,21⋅⋅⋅就是矩阵A 的本征多项式的全部的根。