lim y lim 1 1 .
x0 x y0 x ( y)
y
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由此说明了函数 y f (x) 在 x 处可导, 且有
f (x) 1 .
( y)
简单地说, 反函数的导数等于直接函数的导数的倒数.
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例1 求反正弦函数 y arcsin x 的导数.
arc
cot
x
1
1 x2
.
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例3 求对数函数 y loga xa 0,a 1 的导数.
解 y loga x0 x 是x ay y 的反
函数, 且直接函数在定义域内单调、可导, 且
ay ay ln a 0,
注意到, a y x, 从而有
log a
的导数为
dy dy du dv . dx du dv dx
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例4 求函数 y ln cos x 的导数.
解 y ln cos x 可以看成由 y ln u,u cos x 复合
而成, 故此由复合函数的求导公式, 得
dy dy du 1 sin x tan x.
解 y arcsin x1 x 1 是 x sin y 的反函数.
而
x
sin
y 在区间
Iy
2
,
2
内单调、可导,
并且
sin y cos y 0,
所以. y arcsin x在区间 1,1内点点可导, 且有
y arcsin x 1 ,
cos y
注意到在区间
Iy
2
, 2
lim y x0 x
lim
x0
y u
u x
f
(u0 ) x0 .
复合函数的求导公式常常表示为
dy dy du . dx du dx
（3）
公式（3）称为复合函数的求导法则
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此公式可以作进一步的推广: 若
y f (u),u (v),v (x),
均为可导函数, 则相应的复合函数 y f x
x
.
2 x2 x2 1
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cos2 1
例6 求函数 y 2 x 的导数.
解
y
cos2
2
1 x
cos2
1 x
ln
2
sin
2
1 x
1 x2
cos2
2
1 x
ln
2.
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三、隐函数的导数
隐函数的概念
所谓函数 y f (x) 表示的是两个变量 x 和 y 之间的
内，cos
y
1 x2 , 从而有
arcsin x 1 .
1 x2
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例2 求反正切函数 y arctan x的导数.
解 函数 y arctan x x 是 x tan y在
Iy
2
,
2
区间内的反函数，在区间内单调、可导,
且
有
tan y sec2 y 0,
所以 y arctan x在 (, )内每一点可导, 且有:
y
arctan
x
1
tan y
1 sec2
y
.
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注意到：sec2 y 1 tan2 y 1 x2, 从而有
arctan
x
1 1 x2
.
同理可得其它几个反三角函数的导数公式:
arccos x 1 ,
1 x2
x
1 x ln
a
,
特别地, 当 a e时, 有 ln x 1 .
x
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二、复合函数的导数
在众多的函数中, 我们遇见的更多的是复合函数. 例
如函数 y sin 2x, 这是一个极为简单的函数, 但我们
要求它的导数就没那么简单. 事实上, 由导数的乘积公 式, 得
sin 2x 2sin x cos x 2cos x cos x sin xsin x 2cos 2x.
关系. 这种对应关系在某种情况下, 可以用一个较为明
确的关系式来表示. 例如 y xn , y sin x都反映了
这种对应关系. 这类关系的特点是: 对自变量 x的每一 个取值, 都可以通过表达式确定一个惟一的因变量 y 的
的取值. 用这种方式表达的函数称为显函数.
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பைடு நூலகம்
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对一个如此简单的函数, 求其导数都那么困难, 这就 提示我们有必要讨论复合函数的求导法则. 利用相应的 法则来简化某些复杂函数的导数计算.
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复合函数求导法则 如果函数 u (x) 在点x0可导, 而函数y f (u) 在 u0 (x0 )处可导, 则复合函数
当u 0时, 有
y y u , x u x
（2）
由函数 u (x)的可导性, 得函数在 x0 是连续的, 因
此当 x 0 时, 有 u 0,由此得
y lim x0 u
y lim u0 u
f (u0 ),
又
lim
x 0
u x
(x0 ),
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由此得到:
dy dx
x x0
dx du dx u
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例5 求函数 y arcsin x2 1的导数.
解 因 y arcsin x2 1 可视为
y arcsin u,u v,v x2 1
复合而成, 由复合函数求导公式（2.6）得:
dy dy du dv 1 1 2x dx du dv dx 1 u2 2 v
内单调,
连续:
若设
x
(
y)
在区间
I
内可导,
y
且
( y) 0, 今来讨论 y f x的可导性.
给x以增量xx 0, x x I ,由y f (x) 的
单调性, 知
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y f (x x) f (x) 0,
变形得到
y x
1 x
,
y
又由函数的连续性, 当 x 0 时必有 y 0,从而有
第二章
第二节
一元函数微分学
反函数与复合函数的导数 隐函数的导数
主要内容： 一、反函数的求导法则 二、复合函数的求导法则
三、隐函数的导数
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一、反函数的导数
设函数x ( y)在区间 I y 内单调、连续, 则其反函
数 y f (x)在对应的区间I x x y y I y
y f (x) 在 x0 处可导, 并且有关系
dy dx
x x0
f (u0 ) x0 .
（1）
证 设自变量 x在x0 处有增量 x, 则函数 u (x)
有增量 u (x0 x) x0 , 相应地, 函数
y f (x)有增量
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y f u0 u f u0 ,