练习 求下列函数的导数
( A)1.y e2x sin 3x
解：y (e2x )sin 3x e2x (sin 3x)
e2x (2x)sin 3x e2x cos3x(3x)
2e2x sin 3x 3e2x cos3x
1
( A)2.y e x e x2
1
【解析】
(2) y sin3 x sin x3
（2） y (x sin2 x)4 解 ：y 4(x sin 2 x)3 (x sin 2 x)
4(x sin 2 x)3[x (sin 2 x)] 4(x sin 2 x)3[1 2sin x(sin x)] 4(x sin 2 x)3 (1 2sin x cos x) 4(x sin 2 x)3 (1 sin 2x)
二、讲授新课：
1.复合函数的概念:
对于函数y f ((x)), 令u (x),
若y f (u)是中间变量u的函数，
u (x)是自变量x的函数，则称 y f ((x))是自变量x的复合函数.
09:08:50
练习1
指出下列函数是怎样复合而成：
(1) y sin 2x；
(3)y sin( x )(其中，均为常数)
解：(1)函数y sin( x )可以看作函数y sin u和 u x 的复合函数。根据复合函数求导法则有
yx ' yu '•ux '
(sin u)'•(x )' cosu cos(x )
解：y

(ln
x3) [(ln
x)3 ]

1 x3
(x3) 3(ln
x)2 (ln
x)

1 x3
3x2
3(ln
x)2
1 x
3 3 (ln x)2 3 [1 (ln x)2 ]
xx
x
(B) 例12 求下列函数的导数
（1） y (5x2 4)3 则 u 1 x2
因为
yu

1 u
,
u

x

2x,
所以
y

x

yu

u

x

1 u
(2x)

2x x2 1
(A) 例3 求函数 y cos2 x 的导
数
解：设 y u2
u cos x
因为 yu 2u,ux sin x
所以
y

x

答案:
(1) y

(2ax b)3 ax2 bx 3(ax2 bx c)

c
(2) y

(1
2x 2x2) 1
2x2
(3) y
(5) 1 b
1
(
x5

x
2 9
1
)2
2
sinbx

1
(2a

(5x4

2
x
7 2
)
9
b)sin(2a b)x

1(4()2a13b)5s((in63(xx2a74b)))42x.
(B) 例8 求 y sin 2 x3 的导数
解： y'={[sin(x3)]2}' =2sin(x3) [sin(x3)]' =2sin(x3) cos(x3) (x3)' =2sin(x3) cos(x3) 3x2 =6x2sin(x3) cos(x3)
(B) 例9 求 y ln sin 4x 的导数
1) 1 (x2 2
1 (x 1)( 2
x(x 1)
1
1) 2
(x2
1)
x2
1
1) 2
2x
2x2 x 1
x2 1
x2 1
(C)4.y sin 2x
1 cos2x
解：
y

2sin x cosx 11 2sin2 x

c os x sin x

cot x
y (cotx) csc2 x
解：y (5x2 4)(1 x) 3 (5x 2 4)[(1 x) 3 ]
10 x(1
1
x) 3

(5x 2

4)
1 (1
2
x) 3
(1)
3
10x3 1 x 1 (5x2 4) 1 .
3
3 (1 x)2
例1 求下列函数的导数
（1） y 1 (2 5x)10 x
1.2.3复合函数求导
我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数 公式
公式1.若f (x) c,则f '(x) 0;
公式2.若f (x) xa , 则f '(x) axa1;
公式3.若f (x) sin x, 则f '(x) cos x;
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
y sin u, u 2x
(2) y 3x2 x 1； (3) y cos(sin x)； (4) y (a bxn )m； (5) y sin(1 1 ).
x
y u, u 3x2 x 1
y cos u, u sin x
y um, u a bxn.
2 3
[1

(ln
2
x)]
yx ' yu '•ux ' (u2)'•(2x 3)' 4u 8x 12
(2) y e0.05x1
解：(1)函数y e0.05x1可以看作函数y eu和 u 0.05x 1的复合函数。根据复合函数求导法则有
yx ' yu '•ux ' (eu )'•(0.05x 1)' 0.05eu 0.05e0.05x1
公式5.若f (x) a x ,则f '(x) a x ln a(a 0);
公式6.若f (x) ex ,则f '(x) ex ;
公式7.若f
(x)

log a
x, 则f
'( x)

1 x ln a
(a

0, 且a
1);
公式8.若f (x) ln x,则f '(x) 1 ; x
1、法则可以推广到两个以上的中间变量； 2、求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定 中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导.
例4 求下列函数的导数
(1) y (2x 3)2
解：(1)函数y (2x 3)2可以看作函数y u2和 u 2x 3的复合函数。根据复合函数求导法则有
解： y'={ln[sin(4x)]}'
=
1 sin 4x
[sin(4x)]
='
1 cos(4x)(4x) '
sin 4x
4
= sin 4xcos(4x) 4cot4x
（C）4. y 3 1 ln 2 x
解：
y

1
(1
ln
2
1 1
x) 3
(1
ln
2
x)
3

1
(1

ln
2

x)
二、举例
(A) 例1 求函数 y (3x 2)5 的导数
解：设 y u5
则 u 3x 2,
因为 yu 5u 4 , ux 3, 所以 yx yu ux 5u4 3 5(3x 2)4 3 15(3x 2)4
(B) 例2 求函数 y ln(1 x2 ) 的导数
（2） y sin2 x 1 cos x
解： 因为 y sin 2 x 1 cos2 x 1 cos x 1 cos x 1 cos x
所以 y sin x
（3）
y ln 1 x x 1
解：因为 y ln 1 x 1 [ln(1 x) ln(x 1)] x 1 2
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数
乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,
再除以第二个函数的平方.即:

f (x)
g(x)


f
(
x)
g
(x) f (
g ( x)2
x)
g
(
x)
(
g
(
x)

0)
思考？如何求函数 y lnx 2
的导函数：
(3) y [ f (sin2 x) f (cos2 x)] f (sin2 x)(sin2 x) f (cos2 x)(cos2 x) f (sin2 x) 2sin x cos x f (cos2 x) 2cos x( sin x) sin2x[ f (sin2 x) f (cos2 x)].
yu

u

x
2u(sin x) 2cosxsin x sin 2x
( A)2、求y ln sin x的导数
解： y ln u, u sin x
yx yu ux (ln u)u (sin x)x
1 cosx 1 cosx cotx
2
4
4
三、例题选讲：
例2: 设f(x)可导,求下列函数的导数: