yx ' yu ' ux ' (u 2 )'(2x 3)' 4u 8x 12
(2) y e
0.05 x 1
yx ' yu ' ux ' (eu ) '(0.05x 1) ' 0.05e 0.05e
u 0.05 x 1
(3) y sin( x ) 其中 , 均为常数 .
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).
对于S1 , y 2 x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S2 , y 2( x 2), 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
二. 知识复习 导数运算法则
1.( f ( x) g ( x))' f ' ( x) f ' ( x) 2.( f ( x) g ( x))' f ' ( x) g ( x) f ( x) g ' ( x) f ( x) f ' ( x) g ( x) f ( x) g ( x)' 3. g ( x) 2 g ( x) 4.(cf ( x))' cf ' ( x) 1 g ' ( x) 5.[ ]' 2 f ( x) g ( x)
1 4 t 4
小结：
一、基本初等函数的求导公式
常数的导数 (C ) 0 (C 为常数) 幂函数 ( x n ) nx n1 ( n 为有理数) 三角函数 (sin x ) cos x , (cos x ) －sin x 指数函数 (a x ) a x ln a (a 0，a 1) 特殊地 (e x ) e x 1 1 (a 0, 且a 1) 对数函数 (log a x ) log a e x x ln a 1 特殊地 (ln x ) x
yx ' yu ' ux ' (sin)' ( x )' cos u cos( x )
复合函数求导三步曲： 第一步，分层（从外向内分解成基本函 数用到中间变量）； 第二步，层层求导（将分解所得的基本 函数进行求导）； 第三步，做积还原（将各层基本函数的 导数相乘，并将中间变量还原为原来的 自变量）。
—. 知识复习
练习 一
求下列函数的导数
1.
y = x 1+ x
2
2
p 2.y sin 2 x 3
3.y=ln(2-3x)5
sin 3 x 4. y = 2x e
练习 二 1.求曲线y=8sin3x在点P
的切线方程
y= 1
( ,1) 处 6

2 2.求曲线 x - 3x 在点 P(4,1/2)处的切线程
发展性例题2
.求下列函数的导数
(1) y (3 x
3 5) 4
1 ( 2) y 1 3x (3) y sin(x )
9 y ' (3x 5) 4 3 3 y ' (1 3x) 2 2

1 4
y' cos(x )
例3.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2, 若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.
三.复合函数的导数法则:
f ( g ( x)) 的导数与函数 y f (u ) 和 u g ( x ) 的导数间关系为：
复合函数 y
y y u x u x
或
y x f '(u ) g '( x )
即复合函数y对x的导数等于: y对u的导数 与 u对x的导数 的乘积.
2 x1 2( x2 2) x1 0 x1 2 或 . 因为两切线重合, 2 2 x1 x2 4 x2 2 x2 0
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.
所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.
复合函数 y f ( g ( x)) 的导数和函数 y f (u ) , u g ( x) 的导数间的关系为 yx ' yu ' ux ' , 即 y 对 x 的 导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.
例 1：求下列函数的导数 (1) y (2 x 3)2
二、导数运算法则
[ f ( x) g ( x)]' f ( x) ' g ( x) ' [ f ( x) g ( x)]' f ( x) ' g ( x) f ( x) g ( x) ' f ( x) f ( x) ' g ( x) f ( x) g ( x) ' [ ]' g ( x) [ g ( x)]2
'
思考以下问题 1.什么是复合函数 2.怎么求复合函数的导 数
三、复合函数的概念
一般地 , 对于两个函数 y f (u ) 和 u g ( x) , 如果通 过变量 u, y 可以表示成 x 的函数 , 那么称这个函数 y f (u ) 和 u g ( x) 的复合函数,记作 y f ( g ( x))
1.2.3导数的计算
几种常见复合函数 的导初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
例4.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) s(t ) t 3 12t 2 32t , 令s(t ) 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.