《高中数学选修2-2模块检测--参考答案及解析》1．已知21zi i=--，则在复平面内，复数z 对应的点位于（ ）. A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】根据所给的关于复数的等式，整理出要求的z 的表示式，进行复数的乘法运算，得到复数的最简结果，根据横标和纵标的值写出对应的点的坐标，得到点的位置． 解：∵复数z 满足21zi i=--∴z =（1-i ）（2-i ）=1-3i ，∴z=1+3i 对应的点的坐标是（1， 3）∴复数在复平面上对应的点在第一象限，故选A2．i=（ ） A．14- B．1412+ C．126+ D．12- 【答案】B 【解析】试题分析：；3．设函数()f x 可导，则()()11lim3x f f x x∆→-+∆∆等于（ ）A ．()1f -'B ．()31f 'C ．()113f -'D ．()113f ' 【答案】C 【解析】()()()()()00111111limlim 1333x x f f x f x f f xx ∆→∆→-+∆+∆-==-∆'-∆，故选C.4．已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈的图象与直线10x y -+=相切，则实数a 的值为（ ） A ．11e- B ．1e - C ．211e - D ．2e 1-【答案】C【分析】首先求出1()f x a x'=-，设切点横坐标为0x ，根据导数的几何意义可得011a x -=，再由切点在曲线上可得000ln 1x ax x -=+，解方程组即可求解. 【详解】由()ln f x x ax =-，()a R ∈得1()f x a x'=-，设切点横坐标为0x ，依题意得011a x -=，并且000ln 1x ax x -=+， 解得211a e =-，则实数a 的值为211e-.故选：C 5．已知函数()f x 的导函数为()f x '且满足()()21ln f x x f x '=⋅+，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A ．12e- B ．2e - C ．1-D ．21e-- 【答案】B【解析】【分析】根据()()21ln f x x f x '=⋅+，先求导()()121f x f x''=+，再令1x =，解得()11f '=-，得到()12f x x'=-+再求解. 【详解】因为()()21ln f x x f x '=⋅+，所以()()121f x f x ''=+， 所以()()1211f f ''=+，解得()11f '=-，所以()12f x x'=-+，所以12⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭f e e .故选：B6．函数ln ()xf x x=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】抓住这几个选项的相同点和不同点，比如()0,1x ∈时()f x 的正负性和单调性等进行判断。

【详解】当()0,1x ∈时，ln ()0xf x x =<，当()1,0x ∈-时，()ln ()0x f x x-=>，选项B,C 都不满足这两个条件. 又当()1,x ∈+∞时，ln ()xf x x=，则()21ln 'x f x x -=，当()1,x e ∈时()f x 单调递增，当(),x e ∈+∞时()f x 单调递减，则选项D 不符合这个条件，因此A 正确.故选：A 7．已知ln 3ln 4ln ,,34a b ec e===（e 是自然对数的底数），则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】C【解析】【分析】根据ln 3ln 4ln ,,34a b e c e===的结构特点，令()ln xf x x =，求导()21ln xf x x -'=，可得()f x 在()0,e 上递增，在(),+e ∞上递减，再利用单调性求解. 【详解】 令()ln x f x x =，所以()21ln xf x x-'=， 当0x e <<时， ()0f x '>，当x e >时，()0f x '<， 所以()f x 在()0,e 上递增，在(),+e ∞上递减.因为34e <<，所以 ()()()34>>f e f f ，即b a c <<.故选：C8．已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（ ）A ．16,e e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．741,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．74160,,e e e ⎡⎫⎛⎤⎪⎢⎥⎝⎦⎣⎭ D ．746,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】【分析】先求出()f x 的值域，再利用导数讨论函数()g x 在区间()0,e 上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可. 【详解】因为()g x ax lnx =-，故()1ax g x x='-， 当0a ≤时，()0g x '<，故()g x 在区间()0,e 上单调递减； 当1a e ≥时，()0g x '>，故()g x 在区间()0,e 上单调递增； 当10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()0g x '=，解得1x a=， 故()g x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在区间1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 又()11,1a g lna g e a e ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，且当x 趋近于零时，()g x 趋近于正无穷； 对函数()f x ，当()0,x e ∈时，()11,54f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； 根据题意，对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==成立，只需()111,54g g e a ⎛⎫<≥ ⎪⎝⎭，即可得111,154a lna e +<-≥，解得746,a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9．如图是()y f x =导数的图象，对于下列四个判断, 其中正确的判断是（ ）A ．()f x 在[2,1]--上是增函数；B ．当1x =-时，()f x 取得极小值；C ．()f x 在[1,2]-上是增函数、在[2,4]上是减函数；D ．当3x =时，()f x 取得极小值. 【答案】BC【解析】【分析】根据图像得到()2,1x ∈--，()2,4x ∈时，函数单调递减，()1,2x ∈-，()4,x ∈+∞时，函数单调递增，再依次判断每个选项得到答案.【详解】根据图像知当()2,1x ∈--，()2,4x ∈时，()'0f x <，函数单调递减； 当()1,2x ∈-，()4,x ∈+∞时，()'0f x >，函数单调递增. 故A 错误；故当1x =-时，()f x 取得极小值，B 正确；C 正确； 当3x =时，()f x 不是取得极小值，D 错误； 故选：BC .【点睛】本题考查了根据导函数图像判断函数单调性，极值，意在考查学生的应用能力和识图能力.10．对于函数2()16ln(1)10f x x x x =++-，下列正确的是（ ） A ．3x =是函数()f x 的一个极值点 B ．()f x 的单调增区间是(1,1)-，(2,)+∞ C ．()f x 在区间(1,2)上单调递减D ．直线16ln316y =-与函数()y f x =的图象有3个交点 【答案】ACD【解析】【分析】求导，求出()f x 的单调性，极值点，极值，进而可进行判断.【详解】解：由题得2'16286()210,111x x f x x x x x-+=+-=>-++，令22860x x -+=，可得1,3x x ==，则()f x 在()1,1-，()3,+∞上单调递增，在()1,3上单调递减，3x ∴=是函数()f x 的一个极值点，故AC 正确，B 错误；因为2(1)16ln(11)11016ln 29f =++-=-，2(3)16ln(13)310316ln 421f =++-⨯=-， 又()16ln3162y f =-=，根据()f x 在()1,3上单调递减得()()()123f f f >>得16ln31616ln 29,16ln31616ln 421-<-->-，所以直线16ln316y =-与函数()y f x =的图象有3个交点，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】本题考查函数的单调性，极值的综合应用，是中档题.11．设()f x '为函数()f x 的导函数，已知()()2ln x f x xf x x '+=，()112f =，则下列结论不正确的是（ ） A ．()xf x 在()0,∞+单调递增 B ．()xf x 在()0,∞+单调递减C ．()xf x 在()0,∞+上有极大值12D ．()xf x 在()0,∞+上有极小值12【答案】ABC【解析】【分析】根据条件，构造函数g （x ）＝xf （x ），利用导数研究函数的单调性和极值，即可得到结论．【详解】解：由x 2f ′（x ）+xf （x ）＝lnx 得x ＞0，则xf ′（x ）+f （x ）lnx x =，即[xf （x ）]′lnxx=， 设g （x ）＝xf （x ），即g ′（x ）lnxx=＞0得x ＞1，由g ′（x ）＜0得0＜x ＜1， 即()xf x 在()1,+∞单调递增，在()0,1单调递减，即当x ＝1时，函数g （x ）＝xf （x ）取得极小值g （1）＝f （1）12=，故选：ABC ． 【点睛】本题主要考查函数的导数的应用，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键． 12．关于函数()2ln f x x x=+，下列判断正确的是（ ） A ．2x =是()f x 的极大值点B ．函数y f xx 有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>. 【答案】BD【解析】【分析】A .求函数的导数，结合函数极值的定义进行判断B .求函数的导数，结合函数的单调性，结合函数单调性和零点个数进行判断即可C .利用参数分离法，构造函数g （x ）22lnxx x=+，求函数的导数，研究函数的单调性和极值进行判断即可D .令g （t ）＝f （2+t ）﹣f （2﹣t ），求函数的导数，研究函数的单调性进行证明即可 【详解】A .函数的 的定义域为（0，+∞）， 函数的导数f ′（x ）22212x x x x-=-+=，∴（0，2）上，f ′（x ）＜0，函数单调递减，（2，+∞）上，f ′（x ）＞0，函数单调递增， ∴x ＝2是f （x ）的极小值点，即A 错误；B .y ＝f （x ）﹣x 2x =+lnx ﹣x ，∴y ′221x x =-+-1222x x x-+-=＜0， 函数在（0，+∞）上单调递减，且f （1）﹣12=+ln 1﹣1=1>0，f （2）﹣21=+ln 2﹣2= ln 2﹣1<0，∴函数y ＝f （x ）﹣x 有且只有1个零点，即B 正确； C .若f （x ）＞kx ，可得k 22lnx x x +＜，令g （x ）22lnx x x =+，则g ′（x ）34x xlnxx-+-=， 令h （x ）＝﹣4+x ﹣xlnx ，则h ′（x ）＝﹣lnx ，∴在x ∈（0，1）上，函数h （x ）单调递增，x ∈（1，+∞）上函数h （x ）单调递减， ∴h （x ）⩽h （1）＜0，∴g ′（x ）＜0， ∴g （x ）22lnxx x=+在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值， ∴不存在正实数k ，使得f （x ）＞kx 恒成立，即C 不正确； D .令t ∈（0，2），则2﹣t ∈（0，2），2+t ＞2， 令g （t ）＝f （2+t ）﹣f （2﹣t ）22t =++ln （2+t ）22t ---ln （2﹣t ）244t t =+-ln 22tt+-， 则g ′（t ）()22222222222244822241648(4)2(2)(4)4(4)t t t t t t t t t t t t t ----++---=+⋅=+=-+----＜0， ∴g （t ）在（0，2）上单调递减，则g （t ）＜g （0）＝0，令x 1＝2﹣t ，由f （x 1）＝f （x 2），得x 2＞2+t ，则x 1+x 2＞2﹣t +2+t ＝4， 当x 2≥4时，x 1+x 2＞4显然成立，∴对任意两个正实数x 1，x 2，且x 2＞x 1，若f （x 1）＝f （x 2），则x 1+x 2＞4，故D 正确 故正确的是BD ，故选：BD ． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性和极值，函数零点个数的判断，以及构造法证明不等式，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。