高二数学测试题2014-3-9一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分,只有一项是符合题目要求的.)1.命题 “若△ABC 不是等腰三角形,则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是（ ）A.若△ABC 是等腰三角形,则它的任何两个内角相等B.若△ABC 任何两个内角不相等,则它不是等腰三角形C.若△ABC 有两个内角相等,则它是等腰三角形D.若△ABC 任何两个角相等,则它是等腰三角形2.“三角函数是周期函数，tan y x =，ππ22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，是三角函数，所以tan y x =，ππ22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，是周期函数”．在以上演绎推理中，下列说法正确的是（ ） (A)推理完全正确 (B)大前提不正确 (C)小前提不正确 (D)推理形式不正确3．以下有四种说法，其中正确说法的个数为：（ ）（1）“m 是实数”是“m 是有理数”的充分不必要条件；(2) “a b >”是“22a b >”的充要条件；(3) “3x =”是“2230x x --=”的必要不充分条件； （4）“A B B =I ”是“A φ=”的必要不充分条件.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 4 .已知动点P （x ，y ）满足2)2()2(2222=+--++y x y x ,则动点P 的轨迹是A.双曲线B.双曲线左支C. 双曲线右支D. 一条射线5．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是（ ） A ．dx x f ca ⎰)( B ．|)(|dx x f ca ⎰C ．dx x f dx x f c b b a ⎰⎰+)()(D ．dx x f dx x f ba cb ⎰⎰-)()(6 . 已知椭圆221102x y m m +=--，若其长轴在y 轴上.焦距为4，则m 等于 A.4. B.5. C. 7. D .8.7.已知斜率为1的直线与曲线1xy x =+相切于点p ，则点p 的坐标是（ ）( A ) ()2,2- (B) ()0,0 (C) ()0,0或()2,2- (D) 11,2⎫⎛ ⎪⎝⎭8．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是（ ）A ．23x y =或23x y -=B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y =D ．23x y -=或x y 92=9.设'()f x 是函数()f x 的导函数，将()y f x =和'()y f x =的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 （ ）A B C D．10.试在抛物线x y 42-=上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到()1,2-A 的距离之和最小，则该点坐标为 （ ）（A ）⎪⎭⎫⎝⎛-1,41 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛1,41 （C ）()22,2-- （D ）()22,2-11.已知点F 1、F 2分别是椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，若△ABF 2为正三角形，则该椭圆的离心率e 为（ ）（A ）12 （B ）22 （C ）13（D ）3 12．已知βα,是三次函数bx ax x x f 22131)(23++=的两个极值点，)2,1(),1,0(∈∈βα,则12--a b 的取值范围是( ） A )1,41( B )1,21( C )41,21(- D )21,21(-二、填空题(共4个小题，每小题5分，共20分)13. 用数学归纳法证明：)12(312)()2)(1(-⨯⨯⨯⨯=+++n n n n n n ΛΛ时,从“k 到1+k ”左边需增加的代数式是______________________14．已知1623++++=x a ax x x f )()(有极大值和极小值，则a 的取值范围为15. 与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(3,3)-的双曲线的方程为 .16、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,0)1(=f ,0)()(2>-'x x f x f x (0)x >,则不等式()0f x >的解集是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（本小题满分10分）给定两个命题：p ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立； q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根；如果p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．18. 设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线1870x y +-=垂直,导函数'()f x 的最小值为12.(1)求a ,b ,c 的值;(2)设2()()f x g x x=,当0x >时,求()g x 的最小值. 19. (本小题满分14分)在数列{}n a 中，113a =，且123(21)n n a a a a n a n++++=-L*()n ∈N ．（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想{}n a 的通项公式，并加以证明．20.（本小题12分）如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ，1BB PN ⊥交1CC 于点N . (1) 求证：MN CC ⊥1；(2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.21. （本题满分12分）如图所示，F 1、F 2分别为椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右两个焦点，A 、B为两个顶点，已知椭圆C 上的点)23,1(到F 1、F 2两点的距离之和为4.（1）求椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于P 、Q 两点，求△F 1PQ 的面积.22. 已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x=-+->。

（1）讨论()f x 的单调性.（2）若)(x f 在区间（1，2）上单调递减，求实数a 的取值范围。

高二数学测试题答案2014-3-9CBACD DCDDA DA 13. 2(2k+1) 14.63>-<a a 或 15.149422=-y x16. ),1()0,1(+∞-Y 可得()'()f x f x x>,由导数的定义得,当01x <<时, ()(1)()1f x f f x x x->-,又0)1(=f ,()(1)()xf x x f x <-,∴()0f x <;当1x >时, 同理得()0f x <.又)(x f 是奇函数,画出它的图象得()0f x >⇒(1,0)(1,)x ∈-+∞U . 17解：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立⎩⎨⎧<∆>=⇔00a a 或40<≤⇔a ；………………………………………………3分关于x 的方程02=+-a x x 有实数根41041≤⇔≥-⇔a a ；……………2分 如果p 正确，且q 不正确，有44141,40<<∴><≤a a a 且；……………2分如果q 正确，且p 不正确，有041,40<∴≤≥<a a a a 且或．…………2分所以实数a 的取值范围为()⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-4,410,Y ……………………………………10分18. 解:(1)∵()f x 为奇函数,∴()()f x f x -=-,即33ax bx c ax bx c --+=---, ∴0c =,又∵2'()3f x ax b =+的最小值为12,∴12b =; 又直线1870x y +-=的斜率为118- ,因此,'(1)318f a b =+=, ∴2a =, ∴2a =,12b =,0c =为所求.(2)由(1)得3()212f x x x =+,∴当0x >时,2()()f x g x x =62()2x x =+≥⋅=,∴()g x 的最小值为. 19.解：（1）由已知113a =，123(21)nn a a a a n a n++++=-L ，分别取2345n =，，，，得2111153515a a ===⨯，312111()145735a a a =+==⨯，4123111()277963a a a a =++==⨯， 51234111()4491199a a a a a =+++==⨯，所以数列的前5项是：113a =，2115a =，3135a =，4163a =，5199a =；（2）由（1）中的分析可以猜想1(21)(21)n a n n =-+．下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，猜想显然成立． ②假设当n k =时猜想成立，即1(21)(21)k a k k =-+．那么由已知，得12311(21)1k k k a a a a a k a k +++++++=++L ，即21231(23)k k a a a a k k a +++++=+L ． 所以221(2)(23)k k k k a k k a +-=+， 即1(21)(23)k k k a k a +-=+， 又由归纳假设，得11(21)(23)(21)(21)k k k a k k +-=+-+，所以11(21)(23)k a k k +=++，即当1n k =+时，公式也成立． 由①和②知，对一切*n ∈N ，都有1(21)(21)n a n n =-+成立20(1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面Θ；(2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=，其中α为平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角.∴⊥,1PMN CC 平面Θ上述的二面角为MNP∠,在PMN∆中，cos 2222⇒∠⋅-+=MNP MN PN MN PN PMMNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222，由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=21、解：（1）由题设知：2a = 4，即a = 2， 将点)23,1(代入椭圆方程得 1)(2122232=+b ，解得b 2 = 3∴c 2 = a 2－b 2 = 4－ 3 = 1 ，故椭圆方程为13422=+y x ， ……………………………5分焦点F 1、F 2的坐标分别为（-1，0）和（1，0） ……………………………6分（2）由（Ⅰ）知)3,0(),0,2(B A -，23==∴AB PQ k k ， ∴PQ 所在直线方程为)1(23-=x y ， 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=134)1(2322y x x y 得 093482=-+y y 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则89,232121-=⋅-=+y y y y ， ……………………………9分 .2212212212121211=⨯⨯=-⋅=∴∆y y F F S PQ F ……………………………12分22.解：（1）()f x 的定义域是(0,+∞),22222()1.a x ax f x x x x -+'=+-=设2()2g x x ax =-+,二次方程()0g x =的判别式28a ∆=-.① 当280a ∆=-<，即0a <<时，对一切0x >都有()0f x '>,此时()f x 在(0,)+∞上是增函数。