5 0 −5 0 5 −5 = − + + = 50 0 −5 0 5 −5 5
应力状态特征方程
σ 3 − J1σ 2 − J 2σ − J 3 = 0
σ 3 − 5σ 2 − 50σ − 0 = 0 σ (σ − 10)(σ + 5) = 0
σ 1 = 10 σ 2 = 0 σ 3 = −5 MPa
二、几种重要应力的计算
例题解答 2) 用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向 计算应力张量的三个主不变量
J1 = σ x + σ y + σ z = 5 − 5 + 5 = 5
σ x τ xy σ y τ yz σ z τ zx + + J2 = − τ yx σ y τ zy σ z τ xz σ x
这六个分量 之间应该存 在某种联系！ 在某种联系！
1 ∂u
∂v
1 ∂v
∂w
∂w εz = ∂z
三、应变连续方程问题
知识要点回顾
小应变几何方程
∂ 2ε x ∂ 2 ∂u ∂ 2 ∂u = = ∂y 2 ∂y 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂ 2ε y ∂ 2 ∂v ∂ 2 ∂v = = ∂x 2 ∂x 2 ∂y ∂x∂y ∂x
(σ x − σ ) l + τ yx m + τ zx n = 0
代 入 数 据
齐次线性应力 平衡方程组
( 5 − σ ) l + 0 m − 5n = 0 0l + ( −5 − σ ) m + 0n = 0 −5l + 0m + ( 5 − σ ) n = 0
l 2 + m2 + n2 = 1
1）以受力物体内任意点的应力主轴为坐标轴，在无限靠近该点处作与三个应 力主轴等倾斜的微分面，其法线与三个主轴的夹角都相等。在主轴坐标系空 间八个象限中的等倾微分面构成一个正八面体。正八面体的每个平面 称八面 体平面，八面体平面上的应力称为八面应力。 2）八面体平面是一点应力状态的特殊平面，平面上的应力值对研究
a +b 2 a −b 2 σ ij = 2 0
a −b 2 a+b 2 0
0 0 0
一、应力张量不变量及其应用
例题解答 对于 σ ij
1
同理，对于 同理，
J1 =
2 σ ij
J1 = a +b+0 = a +b
a 0 b 0 0 0 J2 = − + + = −ab 0 b 0 0 0 a
l=m=n=±
σ 8 = (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) = σ m = 3
τ 8 = ± σ l + σ02 m
2
′ J′ 2 J 2 = 122
σ 1 − σ m 0
2
1 J1 3
0
1 3
2
0 σ 2σ 3σn 2 + − 2m 0
2 2 2 0 − (σ 1l + σ 2 m(2σ+− σ32 )2 ) (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) ) = ( 1 σ n +
（2） ）
齐次线性应力平衡方程组
方向余弦条件
l 2 + m2 + n2 = 1
（3） ）
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾 2、最大切应力 、
τ = σ l + σ 2 m + σ 3 n − (σ 1l + σ 2 m + σ 3n
2 2 2 1 2 2 2 2 2 2
2 2
)
1）与正应力一样，切应力也随坐标变换而变化，可取得极值。取其中绝对值 最大的切应力为最大切应力，记为 τ max 。 2）塑性变形中的滑移与孪生或晶界滑移，都主要与切应力有关。
二阶张量主不变量： 二阶张量主不变量：
J1 = P + P22 ს P 11 J 3 = P21 P31 P 12 P22 P32
P22 P 12 + P22 P32 P 13 P23 P33
P23 P33 + P33 P 13
P31 P 11
2 2
2
γ
2 ′ =± J2 3
Q 1
β
α
1 = 54o 44′ 3
2
α = β = γ = arccos
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾 3、等效应力 、
1）取八面体切应力绝对值的 倍所得的参量称为等效应力，也称为广义应 力或应力强度，用 σ 表示。 2 2）等效应力是一个不变量，是一个与材料塑性变形有密切关系的参
1) 2) 3)
画出该点的应力单元体； 画出该点的应力单元体； 试用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向； 试用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向； 求出该点的最大切应力、八面体应力、等效应力。 求出该点的最大切应力、八面体应力、等效应力。
二、几种重要应力的计算
例题解答 1) 画出该点的应力单元体 z 5 -5 -5 5 y O x -5
取应力主轴为坐标轴，则任意斜微分面上的切应力为
τ = σ 1 l + σ 2 m + σ 3 n − (σ 1l + σ 2 m + σ 3 n
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
？
)
最大切应力计算公式
τ max
1 = (σ max − σ min ) 2
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾 3、八面体应力 、
5 0 −5 σ x τ xy τ xz J 3 = τ yx σ y τ yz = 0 −5 0 = 0 τ zx τ zy σ z −5 0 5
二、几种重要应力的计算
例题解答 2) 用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向
τ xy l + (σ y − σ ) m + τ zy n = 0 τ xz l + τ yz m + (σ z − σ ) n = 0
l 2 + m2 + n 2 = 1
σ 1的主方向
解 之
l1 =
1 ; 2
m1 = 0;
n1 = −
1 2
二、几种重要应力的计算
2) 用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向
对于 σ 2 : 对于 σ 3 :
3) 最大切应力
l2 =
1 ; 2
m2 = 0;
n2 =
1 2
l3 = 0;
m3 = 1;
（） 1
方向余弦条件
l + m + n =1
2 2 2
将各主应力代入方程组（1）可得对应的主方向 将各主应力代入方程组（ ）
对于 σ 1 :
( 5 − 10 ) l + 0m − 5n = 0 0l + ( −5 − 10 ) m + 0n = 0 −5l + 0m + ( 5 − 10 ) n = 0
2 2
2
=±
5 14 3
二、几种重要应力的计算
等效应力
σ=
3 3 1 τ8 = ± 350 = 5 7 2 2 3
MPa
几种重要应力计算问题小 结
要求掌握一点处的主应力及主方向、最大切应力、 要求掌握一点处的主应力及主方向、最大切应力、八 面体应力、等效应力的计算方法。 面体应力、等效应力的计算方法。
3
数。 等效应力定义式
3 σ= τ8 2
3 2 ′ = ± J2 = 3 2
′ 3J 2
二、几种重要应力的计算
例 题 对于oxyz直角坐标系，受力物体内一点的应力状态为 对于 直角坐标系， 直角坐标系
5 0 −5 σ ij = 0 −5 0 (Mpa) −5 0 5
n3 = 0
τ max =
八面体应力
1 (σ max − σ min ) = 1 (10 − (−5) ) = 7.5 MPa 2 2
1 3
σ 8 = (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) = (10 + 0 − 5) = 1.67 MPa
τ8 = ±
1 3
1 3
(σ 1 − σ 2 ) + ( σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 )
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾 1、主应力 、
P 11 P 21 P31
P 12 P22 P32
P 13 P23 P33
P• 11 0 0
0
• P22
0
0 0 • P33
1）应力张量为实对称张量，通过坐标转换可以得到切应力为零的状态，此时 的应力称为主应力。本质上与矩阵代数中通过初等变换将一个矩阵化为标准 形的问题相同。 2）可根据三个主应力的特点来直观地区分各种应力状态，或者定性地比较某 一种材料采用不同的塑性成形工序加工时，塑性和变形抗力的差异。
(1) (2)
(1)式加(2)式
2 ∂ 2ε x ∂ ε y ∂ 2 ∂u ∂ 2 ∂v + 2 = + ∂y 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x∂y ∂x
∂ 2 ∂u ∂v = + ∂x∂y ∂y ∂x
一个应力状态有重要作用。
3
γ
Q 1
β
α
1 = 54o 44′ 3
2
α = β = γ = arccos