第1章　集合与映射
1.1　复习笔记
一、集合
1．集合的基本概念
（1）定义
①集合，又称集，是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇集成的总体，这些对象称为该集合的元素。

通常用大写字母如A，B，S，T，…表示集合，而用小写字母如a，b，x，y，…表示集合的元素。

②若x是集合S的元素，则称x属于S ，记为x∈S。

若y不是集合S的元素，则称y 不属于S，记为或
（2）常用集合
全体正整数的集合，全体整数的集合，全体有理数的集合，全体实数的集合是数学分析中常用的集合，习惯上分别用字母N+，Z，Q和R来表示。

（3）集合的表示方式
①列举法
将集合的元素逐一列举出来的方式。

列举法还包括尽管集合的元素无法一一列举，但可以将它们的变化规律表示出来的情况。

②描述法
设集合S是由具有某种性质P的元素全体所构成的，则可以采用描述集合中元素公共属性的方法来表示集合：S={x| x具有性质P}。

复出现或在不同位置上出现不具有任何特殊意义。

（4）特殊集合
空集是不包含任何元素的集合，记为∅。

（5）集合关系
①包含关系
设S，T是两个集合，如果S的所有元集都属于T，即则称S是T的
子集，记为显然，对任何集合S，都有如果S是T的一个子集，
即，但在T中存在一个元素x不属于S，即则称S是T的一个真子集。

②不包含关系
如果S中至少存在一个元素x不属于T，即那么S不是T的子集，
记为
③相等关系
如果两个集合S与T的元素完全相同，则称S与T两集合相等，记为S=T。

显然有。

（6）基本的区间概念
①设a，b（a<b）是两个实数，则满足不等式a<x<b的所有实数x的集合称为以a，b为端点的开区间，记为
（a，b）={x| a＜x＜b}
②满足不等式a≤ x ≤b的所有实数x的集合称为以a，b为端点的闭区间，记为
[a，b]={x| a≤x≤b}
③满足不等式a＜x≤b或a≤x＜b的所有实数x的集合称为以a，b为端点的半开半
（a，b]={x| a＜x≤b}
或
[a，b）={x| a≤x＜b}
注：上述几类区间的长度是有限的，称为有限区间。

除此以外，还有下述几类无限区间：
（a，+∞)={x| x＞a}；[a，+∞)={x|x≥a}；（－∞，b)={x| x＜b}；(－∞，b]={x| x≤b}；和（－∞，+∞）={x| x为任意实数}（即实数集R）。

2．集合运算
（1）集合的基本运算
集合的基本运算有并、交、差、补四种（图1-1）。

图1-1
①两个集合S和T的并
由S和T的元素汇集成的集合，记为S∪T，即：
S∪T={x|x∈ S或者x ∈T}。

②两个集合S和T的交
由S和T的公共元素组成的集合，记为S∩T，即：
S∩T={x|x∈ S并且x ∈T}。

③两个集合S和T的差
由属于S
但不属于T 的元素组成的集合，记为S ＼T （注意：并不要求
），即④集合S 关于X 的补集
假设S 是X 的一个子集，则
是集合S 关于X 的补集，通常将简
记为
注：①关于补集显然成立：。

②集合补与差运算满足关系：（2）集合基本运算的性质
①交换律 A∪B=B∪A，A∩B=B∩A
②结合律 A∪（B∪D）=（A∪B）∪D，A∩（B∩D）=（A∩B）∩D
③分配律
A∩（B∪D）=（A∩B）∪（A∩D），A∪（B∩D）=（A∪B）∩（A∪D）④对偶律（DeMorgan 公式）
3．有限集与无限集
（1）相关定义
①有限集
若集合S 由n 个元素组成，这里n 是确定的非负整数，则称集合S 为有限集。

②无限集
不是有限集的集合称为无限集。

③可列集
如果一个无限集中的元素可以按某种规律排成一个序列，即这个集合可表示为
{a1，a2，…，a n，…}，则称其为可列集。

注：每个无限集必包含可列子集，但是无限集不一定是可列集。

例如，实数集R是无限集，但不是可列集。

（2）重要定理
①可列个可列集之并也是可列集。

②有理数集Q是可列集。

4．Descartes乘积集合
设A与B是两个集合。

在集合A中任意取一个元素x，在集合B中任意取一个元素y，组成一个有序对（x，y）。

把这样的有序对作为新的元素，它们全体组成的集合称为集合A与集合B的Descartes乘积集合，记为A×B，即A×B={（x，y）|x ∈A并且y ∈B}。

特别地，当A与B都是实数集R时，R×R（记作R2）表示的是平面Descartes直角坐标系下用坐标表示的点的集合。

R×R×R（记作R3）表示的是空间Descartes直角坐标系下用坐标表示的点的集合。

二、映射与函数
1．映射的基本概念
（1）映射的定义
设X，Y是两个给定的集合，若按照某种规则f，使得对集合X中的每一个元素x，都可以找到集合Y中惟一确定的元素y与之对应，则称这个对应规则f是集合X到集合Y的一个映射，记为
其中y 称为在映射f 之下x 的像，x 称为在映射f 之下y 的一个逆像（也称为原像）。

集合x 称为映射f 的定义域，记为D f 。

而在映射f 之下，X 中元素
x 的像y 的全体称为映射f 的值域，记为R f ，即
（2）映射构成三要素
①集合X ，即定义域D f =X ；
②集合Y ，即限制值域的范围：；
③对应规则f ，使每一个x ∈X，有惟一确定的y=f （x ）与之对应。

注意：①映射要求元素的像必须是惟一的。

②映射并不要求逆像也具有惟一性。

（3）特殊映射的定义
①单射、满射与双射
设f 是集合X 到集合Y 的一个映射，若f 的逆像也具有惟一性，即对X 中的任意两个不同元素x 1≠x 2，它们的像y 1与y 2也满足y 1≠y 2，则称f 为单射；如果映射f 满足R f =Y ，则称f 为满射；如果映射f 既是单射，又是满射，则称f 是双射（又称一一对应）。

②逆映射
设f ：X→Y 是单射，则由映射的定义知，对任一
它的逆像
x∈X（即满足方程f （x ）=y 的x ）是惟一确定的。

对应关系构成了R f 到X 上的一个映射，称为f 的逆映射，记为
其定义域为值域。