全国高中数学联合竞赛试题（校模拟）第 一 试 时间：10月16日一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、设锐角θ使关于x 的方程24cos cot 0x x θθ++=有重根，则θ的弧度数为（ ） A.6π B.51212orππ C.5612orππ D.12π 2、已知22{(,)|23},{(,)|}M x y x y N x y y mx b =+===+。

若对所有,m R M N ∈≠∅ 均有，则b 的取值范围是（ ）A. ⎡⎢⎣⎦B. ⎛ ⎝⎭C. (,33-D. ⎡⎢⎣⎦ 3、3121log 202x +>的解集为（ ） A. [2,3)B. (2,3]C. [2,4)D. (2,4]4、设O 点在ABC ∆内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为（ ） A. 2B.32C. 3D.535、设三位数n abc =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 有（ ） A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆的圆心，AB OB ⊥，垂足为B ，OH PB ⊥，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长是（ ）A.3B.3C.3D.3二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、在平面直角坐标系xoy 中，函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的区间上的图像与函数()g x =________________。

8、设函数:,(0)1f R R f →=满足，且对任意,,x y R ∈都有(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，则()f x =_____________________。

9、如图、正方体1111ABCD A B C D -中， 二面角11A BD A --的度数是____________。

10、设p 是给定的奇质数，正整数k也是一个正整数，则k=____________。

11、已知数列012,,,...,,...,n a a a a 满足关系式10(3)(6)18,3n n a a a +-+==且，则1ni o ia =∑的值是_________________________。

12、在平面直角坐标系XOY 中，给定两点M （－1，2）和N （1，4），点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标为___________________。

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、一项“过关游戏”规则规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于2n ，则算过关。

问：（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？ （Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。

抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。

）14、在平面直角坐标系xoy 中，给定三点4(0,),(1,0),(1,0)3A B C -，点P 到直线BC 的距离是该点到直线AB ，AC 距离的等比中项。

（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线L 经过ABC ∆的内心（设为D ），且与P 点的轨迹恰好有3个公共点，求L 的斜率k 的取值范围。

15、已知,αβ是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数22()1x tf x x -=+的定义域为[],αβ。

（Ⅰ）求()max ()min ()g t f x f x =-； （Ⅱ）证明：对于(0,)(1,2,3)2i u i π∈=，若123sin sin sin 1,u u u ++=123111(tan )(tan )(tan )g u g u g u ++<则B参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据本评分标准。

选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。

2、如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、解：因方程24cos cot 0x x θθ++=有重根，故216cos 4cot 0θθ∆=-=0,4cot (2sin 21)02πθθθ<<∴-= 得1sin 22θ=52266ππθθ∴==或，于是51212ππθ=或。

故选B 。

2、解：M N ≠∅ 相当于点（0，b ）在椭圆2223x y +=上或它的内部221,3b b ∴≤≤≤。

故选A 。

3、解：原不等式等价于22331log 0222log 10x x ++>⎪-≥⎩2310,22t t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪≥⎩则有 解得01t ≤<。

即20log 11,24x x ≤-<∴≤<。

故选C 。

4、解：如图，设D ，E 分别是AC ，BC 边的中点，则2(1)2()4(2)OA OC OD OB OC OE +=+=由（1）（2）得，232(2)0OA OB OC OD OE ++=+= ，即OD OE与共线，且332||2||,322AEC ABC AOC AOC S S OD OE S S ∆∆∆∆⨯=∴=∴== ， 故选C 。

5、解：a ，b ，c 要能构成三角形的边长，显然均不为0。

即,,{1,2,...,9}a b c ∈（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为1n ，由于三位数中三个数码都相同，所以，1199n C ==。

（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为2n ，由于三位数中只有2个不同数码。

设为a 、b ，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a ，b ）共有292C 。

共20种情况。

同时，每个数码组（a ，b ）中的二个数码填上三个数位，有23C 种情况。

故2222399(220)6(10)156n C C C =-=-=。

综上，12165n n n =+=。

6、解：,,,AB OB AB OP AB PB OH PB ⊥⊥∴⊥⊥ 又,,PAB POB OH HC OH PA ∴⊥∴⊥⊥面面。

C 是PA 中点，OC PA ∴⊥ HOC HO HC S ∆∴=当时最大，也即O HPC P HCO V V --=最大。

此时，0,30tan 30HO OP HPO OB OP =∴∠=∴=⋅=1故HO=2，故选D 。

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、解：1()),arctanf x axaϕϕ=+=其中，它的最小正周期为2aπ，振幅为()f x的图像与()g x的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为2aπ8、解：,,(1)()()()2,x y R f xy f x f y f y x∀∈+=--+对有(1)()()()2f xy f y f x f x y∴+=--+有∴()()()2f x f y f y x--+=()()()2f y f x f x y--+即()(),0,()1f x y f y x y f x x+=+==+令得。

9、解：连结1,D C⊥1作CE BD，垂足为E，延长CE交1A B于F，则1FE BD⊥，连结AE，由对称性知1,AE BD FEA⊥∴∠是二面角11A BD A--的平面角。

连结AC，设AB=1，则11AC AD BD===1Rt ABD∆在中，11AB ADAEBD⋅==，在2222222213cos42223AE CE AC AE ACAEC AECAE CE AE-+--∆∠====-⋅中,120,AEC FEA AEC∴∠=∠∠而是的补角，060FEA∴∠=。

10、解：*22,,0,n n N k pk n k=∈--==则，从而224p n+是平方数，设为2*2,,(2)(2)m m N m n m n p∈-+=则22212123,,214pmm np pm n p pn⎧+=⎪-=⎧⎪≥∴⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩是质数，且解得B222(1)(1),244p m p p p k k ±±++∴===故。

（负值舍去）11、解：设1111,0,1,2,...,(3)(6)18,n n n nb n a b b +==-+=则即1111113610.2,2()333n n n n n n b b b b b b +++--=∴=++=+ 故数列1{}3n b +是公比为2的等比数列，11001111112()2()2(21)33333n n n n n n b b b a +++=+=+=⨯∴=-。

()112001112(21)1(21)(1)2333213n nn ni n i i o i i i b n n a +++===⎡⎤-==-=-+=--⎢⎥-⎣⎦∑∑∑。

12、解：经过M 、N 两点的圆的圆心在线段MN 的垂直平分线y=3－x 上，设圆心为 S （a ，3－a ），则圆S 的方程为：222()(3)2(1)x a y a a -+-+=+对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当MPN ∠取最大值时，经过M ，N ，P 三点的圆S 必与X 轴相切于点P ，即圆S 的方程中的a 值必须满足222(1)(3),a a +=-解得 a=1或a=－7。

即对应的切点分别为'(1,0)(7,0)P P -和，而过点M ，N ，'p 的圆的半径大于过点M ，N ，P 的圆的半径，所以'MPN MP N ∠>∠，故点P （1，0）为所求，所以点P 的横坐标为1。

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、解：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。

（Ⅰ）因骰子出现的点数最大为6，而45642,652⨯>⨯<，因此，当5n ≥时，n 次出现的点数之和大于2n已不可能。

即这是一个不可能事件，过关的概率为0。

所以最多只能连过4关。

.......5分（Ⅱ）设事件n A 为“第n 关过关失败”，则对立事件n A 为“第n 关过关成功”。

第n 关游戏中，基本事件总数为6n个。

第1关：事件1A 所含基本事件数为2（即出现点数为1和2这两种情况），∴过此关的概率为：1122()1()163P A P A =-=-=。