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第十八届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题解答_


图2 图3
图 15
图4
1° 每 一 次 变 化 后,活 细 胞 的 个 数 不 发 生 变化.
2° 图 5 对 比 图 1,活 细 胞 的 相 对 位 置 和 分 布 的 整 体 形 态 是 一 样 的 ,只 是 向 右 下 方 走 了 一 格 .也 就 是 说 ,活 细 胞 的 分 布 的 形 态 成 周 期 性 变 化 ,最 小 周期是4;相对于上一个 周 期,每 一 个 活 细 胞 均 向 右下方走了一格.
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数学通报 2015年 第54卷 第4期
高度为h =|DO|>0,以点 D 为中心质点构建的 物 体 受 力 如 图 2 所 示 .为 了 保 持 物 体 的 静 态 平 衡 ,
作用在点 D 各方向分力的总和必须等于0. 试确定在圆形 平 台 边 上 的 三 个 弹 簧 一 端 A、
265
bn
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
an+1=an +5,a1 =220;bn+1=bn +1,b1 =34. 由 此 得 an =215+5n,bn =33+n.于 是 有
bn=0.2an-10. 如 果 将 对 应 的 脚 长 (单 位:mm)和 鞋 号 记 作
π 2
)]=
0.
(2)
对每 一 个 弹 簧 应 用 Hooke定 律 可 以 得 到 如
下关系:
烄FDA =kAs, 烅FDB =kBs,
(3)
烆FDC =kCs.
将式(3)带入式(2)得 kBsinα =kCsinγ ,
(4a)
WL sh
=kA
+kB
+kC

(4b)
kA +kBcosα+kCcosγ =0. 由 (4a)和 (4c)可 以 求 解 出
图1
五、假设有一 个 半 径 为 R、重 量 为 W 的 圆 形 平台(含起重货物),它由三个张力弹簧支撑,如 图 1所示.弹簧的质量可以忽略不计.根据 Hooke定 律,弹簧 张 力 F 与 其 形 变 量s 成 正 比,F(s)=ks, 每个弹 簧 的 比 例 系 数 k 分 别 为kA =4.4,kB = 11.2,kC=7.9.当起重机吊起货物时,平 台 以 上 的
我 们 称 在 一 次 派 发 中 ,金 额 最 小 的 红 包 为 “最 差手气”,金额最 大 的 红 包 为 “最 佳 手 气”.一 个 人 参 与 了 这 10 次 抢 红 包 ,请 对 他 计 算 .
(1)全 部 抢 到 “最 差 手 气 ”的 概 率 ;
(2)至 少 一 次 抢 到 “最 佳 手 气 ”的 概 率 ;
图3
|A′A″|= 槡(2y+2z)2 + (2x+2z)2 =2 槡(y+z)2 + (x+z)2 ,
两个正数的大小关系与它们的平方的大小关 系 是 一 样 的 ,于 是 计 算
l2-m2= (2x+2y+4z)2 -4[(y+z)2 + (x +z)2]= 8(z2+xy+xz+yz)>0.
因 此 ,图 1 的 捆 扎 方 法 节 省 材 料 . 四 、在 平 面 方 格 图 中 ,设 每 一 个 小 方 格 是 一 个 细 胞 ,每 个 细 胞 有 8 个 和 它 相 邻 的 细 胞 .我 们 假 设 每 个 细 胞 只 有 两 种 状 态 :“活 ”与 “死 ”,我 们 将 活 细 胞小方格里标 记 “●”,死 细 胞 就 是 没 有 标 记 的 小 方 格 .细 胞 的 活 与 死 是 可 变 的 ,所 有 细 胞 的 变 化 是 同时进行的.每一次细胞变化的规则如下:一个 活 细胞下一步继 续 活 的 充 分 必 要 条 件 是:现 在 与 它 相邻的细 胞 中,有 2 或 3 个 活 细 胞.换 句 话 说,它 的相邻细胞中,活细胞少于2个或多于3 个时,下 一步它将死去;一 个 死 细 胞 下 一 步 变 成 活 细 胞 的 充分必要条 件 是:现 在 与 它 相 邻 的 细 胞 中 恰 有 3 个活细胞. 现在给定一个 初 始 状 态 细 胞 的 位 置 图,在 整 个方格表中,有 5 个 活 细 胞,即 图 1.请 用 文 字 表 述、并自制方格 表 画 出:经 历 了 15 次 变 化 之 后 的 细胞死活状态位置图.
B、C 的位 置,从 而 使 平 台 保 持 水 平,防 止 货 物 在 运 输 过 程 中 滑 落 .即 确 定 如 图 1 所 示 的 、使 三 个 弹 簧形变量s相 同 的 缆 绳 夹 角α,β 和γ,以 保 证 受
力后拉伸的长度 L = 槡R2 +h2 相同.
解 只需计算作用在点 D 的三
个受力向量 FDA ,FDB 和 FDC ,由 它 们 在
2015年 第54卷 第4期 数学通报
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第十八届北京高中数学知识应用 竞赛决赛试题解答
竞 赛 时 间 :2015 年 3 月 29 日 8:30~11:00
一、春 节 期 间,朋 友 高 兴,在 微 信 群 里 玩 起 了 抢红包的游戏.共 有 10 人,每 人 都 在 群 里 派 发 一 次 总 金 额 一 样 的 红 包 ,每 派 发 一 次 红 包 ,网 络 会 随 机 地 将 派 来 的 钱 分 成 10 个 钱 数 不 等 的 红 包 ,抢 到 手 之 前 谁 也 不 知 道 红 包 内 钱 数 ,然 后 大 家 都 去 抢 . 比如,在一次总金额为10 元 的 抢 红 包 中,10 人 抢 到 手 的 分 别 是 :1.68 元 ,1.56 元 ,0.3 元 ,1.29 元 , 0.48元,0.57元,1.85 元,1.08 元,0.58 元,0.61 元 .如 下 图 所 示 .
槡 的大小,FDB =
F2示FDB的
大 小 ,根 据 立 体 几 何 分 析 得 到
烄FDBx

FDB L
[-Rcos(α-
π)], 2
烅FDBy

FDB L
(-h),
(1)
烆FDBz

FDB L
[-Rsin(α-
π 2
)].
同理,可以仿照 式 (1)得 到 FDA ,FDC 的 分 量 表
220 225 230 235 240 245 250 255 260 265 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43
请你解决下面的问题: (1)找 出 满 足 上 面 条 件 的 一 个 计 算 公 式 ,通 过
实际脚长x 计算出鞋号y. (2)习惯 称 为 “30 号”的 童 鞋,对 应 的 脚 实 际
2015年 第54卷 第4期 数学通报
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图1
解 可 以 把 图i+1 看 成 是 第i 次 变 化 后 的 细 胞 状 态 ,我 们 按 照 上 述 的 细 胞 变 化 规 则 ,得 到 图 2 至 图 5.我 们 发 现 :
图5
由于15=4×3+3,利用2°,我们 可 以 画 出 图 15,它 相 对 于 图 3,向 右 下 方 有 走 了 3 格 .
x,y,z 三 个 方 向 上 的 分 量 之 和 为 0,
即 可 确 定 三 个 夹 角α,β 和γ. 从连接点 D 和点B 的弹簧所受
的 力 FDB 开始,用i,j 和k分别表示沿
x ,y 和z 轴 方 向 的 单 位 向 量,则 FDB 图2
可表示为 FDB =FDBxi+FDByj+FDBzk, 其 中 FDBx ,FDBy ,FDBz 表示FDB沿x,y,z 轴方向
达式.
令 每 个 坐 标 轴 方 向 的 合 力 为 0,则 有
烄i:FLDB
[-Rcos(α-
2π)]+
FDC L
[Rcos(γ-
π)] 2
=0,
j:W 烅
-FLDAh -FLDBh -FLDCh
= 0,
k:FDAR L
-FLDB
[Rsin(α-
π 2
)]

-FLDC
[Rsin(γ-
(3)如果每 次 红 包 按 金 额 由 大 到 小 排 的 次 序
为第一名到第 十 名,那 么 抢 到 的 红 包 中 最 高 次 序
为第五名的概率是多少?
解 (1)全 部 抢 到 “最 差 手 气 ”的 概 率 为
( ) P(全部抢到“最差手气”)=
1 10
10
=10-10.
(2)至 少 一 次 抢 到 “最 佳 手 气 ”的 概 率 为
三、过年了,佳 怡 去 探 望 奶 奶,到 商 店 买 了 一 匣 点 心 ,售 货 员 为 她 做 了 一 个 如 图 1 的 捆 扎 ,并 在 角 上 配 了 一 个 花 结 ,使 得 点 心 匣 很 漂 亮 ,佳 怡 非 常 高兴.售货员说,这 种 捆 扎 方 式 不 仅 显 得 漂 亮,而 且比一般的十字捆扎方式(如 图 2)用 的 包 装 彩 绳 短.你同意这种说 法 吗? 请 给 出 你 的 理 由 (注:x, y,z 是长方体形状匣子的 长,宽,高,z<x,z< y).
P(至 少 一 次 抢 到 “手 气 最 佳 ”)
=P(抢到任意一种红包)- P(抢不到“最佳
手 气 ”)
( ) = 1-
9 10
10
= 0.65.
(3)抢 到 的 红 包 中 最 高 次 序 为 第 五 名 的 概
率为
P(抢 到 的 红 包 中 最 高 次 序 为 第 五 名 )
=P(抢到的红包 中 不 出 现 前 四 名)- P(抢
(a,b),其 关 系 为b=0.2a-10. (2)令b=30,由 上 述 公 式 算 出 ,a=200,即 脚
的 长 度 为 200mm. (3)当a =282,利 用 公 式b = 0.2a -10 算
出的结果 为b = 46.4,而 鞋 号 都 是 整 数,按 照 穿 鞋“不挤脚 ”的 原 则,这 个 篮 球 运 动 员 应 穿 47 号 的鞋.
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