曩 ３》３ ４
（１）请你根据截图内的信息，判断这个结论
年 汛０
是否正确，并给出说明． （２）如果这个结论不正确，请你通过计算得 出最佳组合． 解答（１）这个结论是错误的．根据三年期 的利率５％，可以算出两个三年整存整取存款组 合的本利和为：１００００（１＋３×５％）２＝１３２２５． ｏｏ元．这个数值比程序给出的结果要好，这说 明程序的结论是错误的．
注意到Ｓ。＝ＳＥ＋Ｓ，所以
Ｓ（ｚ—ｚＤ）一ＳＥ（ｘＤ－－３Ｌ＂Ｅ）．
由此可得
ｚ一——＇一。
ＳＤｚＤ—ＳＥｚＥ
将前面分析的结果代入这个式子，化简后
如果月牙的重心位于月牙的内圆弧的Ｅ点，
３２＝ｒ－－ｒ２ｃｏｓＯ＝ｒ（１—２ｃｏｓＯ），
一ｒ
ｚ
２ｃｏｓＯ（Ｏ－－ｓｉｎＯｃｏｓＯ） ，ｒ－－２（０－－ｓｉｎＯｃｏｓＯ）。
４６
数学通报
２０１２年
第５ｌ卷
第５期
第十五届北京高中数学知识应用
竞赛决赛试题和参考答案
２０１２年３月２５日
１．（满分１６分）２０１１年国庆期间，上海新世 界购物中心策划出一套“积点购物”营销方案．即 在活动期间，商品的售价按照一定的比率全部折 算成积点，这次全场商品共分为Ａ、Ｂ、Ｃ三类， 一件Ａ类商品的售价（元）与折算成的点数比是 ｌ：１，一件Ｂ类商品的售价（元）与折算成的点 数比是１：１．５，一件Ｃ类商品的售价（元）与折 算成的点数比是１：１．９．顾客选定商品后，累 计积点．顾客按每满５００个积点付２００元的方式 付款．如果积点ａ不是５００的整数倍，口＝５００ｂ ＋ｆ，其中ｂ为正整数，ｏ＜ｃ＜５００．这时有两种 付款方式供选择．第一种付款方式是按ｂ＋１个 ５００点支付２００（ｂ＋１）元，剩余的５００一ｆ点可与 再继续购物的积点合用；第二种付款方式是支付 ２００ｂ＋ｆ元．无论哪种付款方式，顾客均在积点 购物中得到了优惠． （１）请你算一算，当每一类商品的积点都是 ５００的整数倍时，顾客分别从这三类商品中能得 到相当于多少折的优惠？ （２）有一位顾客，想买一双靴子、一件呢外 套和一条牛仔裤，靴子原价１４９９元，是Ａ类商 品；呢外套原价８９９元，是Ｂ类商品；牛仔裤 原价６９９元，是Ｃ类商品．正当她要掏钱按第一 种付款方式付款时，一位“黄牛”走过来说：“这 样做，你还要绞尽脑汁处理剩余的积点，不如直 接按Ａ类４．２折、Ｂ类６．２折，Ｃ类７．８折将货
方案一：付款２００×９—１８００（元）， 余点数为 １２９．７６（元）． 方案二：付款２００×８＋１７５．６—１７７５．６（元）． “黄牛”的方案：付款１４９９
０．６２＋６９９×０．７８—１
Ｘ
５００—１７５．６—３２４．４（点），
２００ Ｘ ３２４．４÷５００—
余点数折合人民币
０．４２＋８９９ Ｘ
７３２．１８（元）．
参考文献 ｌ人民教育出版杜．普通高级中学教科书（必修）数学第二册 （上）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２００４
万方数据
第十五届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题和参考答案
刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 数学通报 Bulletin des Sciences Mathematics 2012,51(5)
万方数据
２０１２年第５ｌ卷第５期
数学通报
４９
一・一１一南）“．
即挖满足不等式０．９”≤１—０．９—０．１，解得
竹≥２２．
可得ｓＢ形ＡＤＢｃ—ｒ２［（丌一目）＋ｓｉｎＯｃｏｓＯ］，记作 ＳＤ，Ｓ日形＾￡Ｂｃ＝ｒ２（口一ｓｉｎＯｃｏｓＯ），记作ＳＥ，则 Ｓ—ｓＤ—ＳＥ—ｒ２［（丌一２０）＋２ｓｉｎＯｃｏｓＯ］． 根据题意可知，弓形ＡＤＢＣ的重心Ｚ。，弓 形ＡＥＢＣ的重心Ｚ，以及月牙的重心Ｚ都应位于 直线ＣＤ上．如果记它们与圆心Ｏ点的距离分别 为ｚＤ，ｚＥ和ｚ，则有ｚＥ＜ｚＤ＜工．且应用初赛 时得到的结论可知 一堑
瘁弧心勰弧“璐乳
最佳存款时问组合
・本计簋器可估簋产生利息最多的恨行储蓄方式．
初始存入金额
’………
两年
一卫盟元
三年 八年 四年 九年
储蓄存期 七年
五年！六年ｏＩ
十年
计算结果
序号
１ ２ 结论／建议： 存款期限
■■目
本息金额 １０３５０∞元
１３１９６ ２５元
利率
３ ５０％ ５ ５０％
１年
５年
您可以考虑先存１年期定期存获，到期本息再转存５年期定期存款。到期本息总额为 １３１９６，２５元ｏ
（２）存款六年，有多种组合，几乎涉及到了 所有的存款利率项目，为此我们先探讨一下有规 律性的大小关系． 设Ａ为本金数，巩为存ｉ年，Ａ为相应的 利率，ｆ（ａ。，ｑ，…，口。）为依次经历存入口。， 口，，…，口。年之后的本利和．则 ｆ（ａｆ，ａｊ，…，口。）＝Ａ（１＋ｐｉｎｉ）（１＋岛口ｊ）・
…・（１＋户。口。）．
与积点的比率又有所增加，每一元折合积点的倍 数分别为Ａ类：１倍，Ｂ类：１．５倍，Ｃ类：１．９ 倍．因此顾客购买各类商品时实际得到的优惠分 别为 Ａ类商品：１×０．４—４折， Ｂ类商品：１．５×０．４＝６折， Ｃ类商品：１．９Ｘ０．４—７．６折． （２）根据积点方案，顾客购物的积点是：
１４９９＋８９９Ｘ１．５＋６９９×１．９—４１７５．６，而 ４１７５．６—５００×８＋１７５．６．
２．（满分１６分）２月２０日，在新浪网看到， 网站为网民提供了不少有趣和实用的生活应用程 序，其中的“理财计算器”可以为网民呈现出最佳 存款时间组合．下图是程序的一个截图，上图是 存款利率表．
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２０１２年
第５１卷
第５期
数学通报
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存款利率
利率项目 活期储蓄 三个月定期存款 半年定期存款 一年定期存款 二年定期存款 三年定期存款 五年定期存款
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数学通报
２０１２年
第５１卷
第５期
４．（满分１６分）经观察，人们发现鲑鱼在河 中逆流行进时，所消耗的能量为Ｅ＝ＣＶ３Ｔ，其中 口为行进时相对于河水的速度，Ｔ为行进的时间 （单位：小时），Ｃ为常数．如果水的流速为４ ｋｍ／ｈ，鲑鱼在河中逆流行进２００ ｋｍ，问它在怎 样的速度下能使消耗的能量最少？ 解由已知，鲑鱼相对于河岸的速度百一
５．（满分１８分）如果有三门高炮独立射击 目标，用户，表示“第ｉ门高炮命中目标”的概率， 那么“三门高炮都命中目标”的概率就是ｐ。・Ｐ： ・Ｐ。，“三门高炮都不命中目标”的概率是（１一 Ｐ－）（１一Ｐｚ）（１一Ｐａ）．请依据以上的概率计算 法则，回答下列问题： 如果每门高炮击中敌机的概率是十分之一． （１）用十门高炮一定能击中敌机吗？若认为 一定能击中，请说明理由；若认为不一定能，请 计算出击中敌机的概率． （２）要想能以不小于０．９的概率击中敌机， 至少需设置多少门高炮？ 解答 （１）用十门高炮不一定能击中敌机．
本文链接：/Periodical_sxtb201205014.aspx
３ ０——ｓｉｎＯｃｏｓＯ
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３（Ⅱ一疗）一ｓｉｎ（７ｒ一日）ｃ０８（Ⅱ一０） ２ｒ
＼
３丌一口＋ｓｉｎＯｃｏｓＯ。
Ｕ 陟／。
现在有两个半径均为ｒ的圆，圆心分别为点 Ｏ和０ ７．Ａ、Ｂ为两个圆周的交点．则圆弧 ＡＤＢ和圆弧ＡＥＢ围成了一个月牙儿的图形 ＡＤＢＥ．若设计一种特殊的月牙儿，使得这个月 牙儿的重心刚好位于月牙儿的内圆弧ＡＥＢ的中 点Ｅ的位置上，这时么Ｂ０７０—０，如图所示．请 你根据上面得到的弓形板重心的结论，求０满足 的方程． 解答 由问题可知，四边形Ａ０７８０是一个 则有 可得
若三寺，令Ｅ７＝０，得铆２６，当ｕ＜６时，Ｅ７＜
０，当口＞６时，Ｅ７＞０，所以础＝６时Ｅ取得最 小值．） 鲑鱼以每小时６ ｋｍ的相对于河水的速度行 进时所消耗的能量最少．
＝・一（，一拼≈ｏ－６５１，．
（２）设至少需要竹门高炮就能以不小于０．９ 的概率击中敌机，则 ０．９≤Ｐ（用竹门高炮击中敌机）＝Ｐ（起门高 炮中至少有一门击中了敌机） ＝１一Ｐ（ｎ门高炮都没有击中敌机）
２个ｏ＿幽ｏ，又可以表示为＠＝ｖ－－４，所以Ｔ－－旦兰． 口一４
』
于是，Ｅ—ＣＶ３
Ｅ：２００。掣：２００。立些墼磐型里
一２００ｃｆ雷ｚ＋１２面＋４８＋罂１
Ｔ＝２００ｃ』，＿（口＞４），即
因为，Ｐ（用十门高炮击中敌机）＝Ｐ（十门高
—２００ｃ［（。～２）２＋３２（詈＋吾）＋４４］．
因为蚕一２既是（矛一２）２的最小值点，也是
１２９．７６一（１８００—１７３２．１８）＝６１．９４（元）．
款给我，没有积分的事了，由我为你去付款，将
购货凭证给你，你又省钱又省事．” 请你算一算，用数据说明“黄牛”的用意． 解（１）当顾客购买积点时每２００元可以买 ５００个积点．他得到的折扣是２００／５００＝０．４，即 四折的优惠．但是各类商品按积点出售时，售价
及３年以上的任何存款组合的本利和．这样，只 需比较ｆ（３，３）和，（５，１）的大小就可以了，而 这已由（１）可知结果．所以，结论是：对于６年 存期，最大收益是两个三年期组合． ３．（满分１６分）２月１８日至２２日第七届世 界草莓大会在北京市昌平区召开，请你根据下面 的地图推算出昌平区的面积． 解答要点解法会是多样的，要给出明确的 方法，比如，分割求和的方法，按照度量，画出 足够细的网格，通过计算网格数得到近似解答； 或者图形割补的方法，将这个不规则的图形通过 割补拼成近似规范的的图形，再按照度量计算得 到近似解答．（昌平区的实际面积是１３４３平方公 里，在方法正确的基础上，与实际数值误差不超 过４０平方公里即可）
，，、
Ｌ１）或 ±一１—２ｃｏ源自Ｏ．（２）边长为ｒ的菱形．么Ｅ０７Ｂ一０，／ＤＤＢ—Ｔｆ一良 月牙的图形是由ＯＯ上的弓形ＡＤＢ中挖掉０ｄ上
的弓形ＡＥＢ得到的图形，弓形ＡＤＢ上的么Ａ∞