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8.1 非线性控制系统概述
❖ 一、有关概念
非线性：指元件或环节的静特性不是按线性规律变化。 非线性系统：如果一个控制系统，包含一个或一个以上具有非 线性静特性的元件或环节，则称这类系统为非线性系统，其特 性不能用线性微分方程来描述。 一般，非线性系统的数学模型可以表示为：
在 F函数中，若相应的算子为线性，则系统为线性系统；否则为 非线性系统。同时，若在F 函数中不显含t ，则为时不变系统； 若显含t ，则为时变系统。
率振荡外，还可能产生倍频振荡和分频振荡。如图8－3所 示波形。
输入信号
t
倍频信号
t
分频信号
t
图8-3 倍频振荡与分频振荡
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❖三、非线性系统的研究方法
相平面法是用图解的方法分析一阶，二阶非线性系统的方 法。通过绘制控制系统相轨迹，达到分析非线性系统特性的 方法。
描述函数法是受线性系统频率法启发，而发展出的一 种分析非线性系统的方法。它是一种谐波线性化的分析 方法，是频率法在非线性系统分析中的推广。
逆系统法是运用内环非线性反馈控制，构成伪线性系统， 并以此为基础，设计外环控制网络，是非线性系统控制的一 个发展方向。
本章介绍对本质非线性系统的研究方法：
相平面法
描述函数法
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8.2 常见非线性特性及其对系统运动的影响
下面介绍的这些特性中，一些是组成控制系统的元件所固
有的，如饱和特性，死区特性和滞环特性等，这些特性一般来 说对控制系统的性能是不利的；另一些特性则是为了改善系统 的性能而人为加入的，如继电器特性，变增益特性，在控制系 统中加入这类特性，一般来说能使系统具有比线性系统更为优 良的动态特性。
例：设二阶系统方程为 x x x 0
斜率方程为 等倾线方程为
dx x x
dx
x
x x a
x
x 1 x 1 a
表示相平面上过原点的一条斜线
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取不同值时，可在相平 面上画出若干不同的等倾 线，在每条等倾线上画出 表示该等倾线斜率值的小 线段，这些小线段表示相 轨迹通过等倾线时的方向， 从相轨迹的起点按顺序将 各小线段连接起来，就得 到了所求的相轨迹 。
（2）在非线性系统中，除了从平衡状态发散或收敛于平衡 状态两种运动形式外，往往即使无外作用存在，系统也可能 产生具有一定振幅和频率的稳定的等幅振荡，即自激振荡。 改变非线性系统的结构和参数，可以改变自激振荡的振幅和 频率，或消除自激振荡。而对线性系统，围绕其平衡状态只 有发散和收敛两种运动形式，其中不可能产生稳定的自激振 荡。
（直角坐标平面）—— 相平面。
在同一时刻 t ，( x ， ) 对应于相平面上的一个点——相点，
随t变化形成一条轨迹——相轨迹。
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相轨迹：相变量从初始时刻t0对应的状态点 x0, x0 起，随着时
间t的推移，在相平面上运动形成的曲线称为相轨迹。 ➢在相轨迹上用箭头符号表示参变量时间t的增加方向。 ➢给定任一初始条件，相平面上有一条相轨迹与之对应。 相平面图：多个初始条件下的运动对应多条相轨迹，形成相轨
0 0
x 0
在奇点处，系统运动的速度和加速度同时为零。
相平面的奇点也称为平衡点。
奇点一定位于相平面的横轴上。
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相轨迹在奇点处的切线斜率不定，表明系统在奇点处可以
按任意方向趋近或离开奇点，因此在奇点处，多条相轨迹
第八章 非线性控制系统分析
❖8.1 非线性控制系统概述 ❖8.2 常见非线性特性及其 对系统运动的影响 ❖8.3 相平面分析法 ❖8.4 描述函数法
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前面几章所讨论的系统都是基于线性系统的 分析设计方法，但实际控制系统在某种程度上均 不可避免地具有某种程度的非线性特性，系统中 只要具有一个非线性环节，就称之为非线性系统， 因此实际的控制系统大都是非线性系统。前面章 节中所讨论的系统的线性特性很多情况下是将系 统的非线性特性在工作点附近进行小偏差线性化 处理而得。
较精确和全面。但是对于高于二阶的系统，需要
讨论变量空间中的曲面结构，从而大大增加了工
程使用的困难。
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❖ 一、基本概念
设一个二阶系统可以用下列常微分方程描述
（ 1）
如果以 x 和 ˉx 作为变量，则可有
（2 ）
用第一个方程除第二个方程有
（3 ）
上式是以 x为自变量，以 为因变量的方程。
x 和 称为系统运动的相变量（状态变量）。 若以 x 为横坐标， 为纵坐标，则构成一个二维状态空间
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理想继电器在原点附近存在跳变，等效增益趋于 无穷大；在原点以外的地方，随着输入信号的增加， 输出始终保持常值，等效增益逐渐减小。若系统中串 有理想继电器，在小起始偏离时开环增益大，运动状 态呈发散性质；在大起始偏离时开环增益很小，系统 具有收敛性质。因而，继电特性常常会使系统产生振 荡现象，但如果选择合适的继电特性可提高系统的响 应速度，也可构成正弦信号发生器。
所以相轨迹是与轴垂直相交的；
x
4、相轨迹的对称性：
关于x 轴对称
f x, x f x, x
关于x 轴对称
f x, x f x,x
关于原点对称
f x, x f x,x
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❖ 三、相轨迹的奇点和极限环
1 奇点
• ••
•
相若的轨在不迹 某 定上点形每处式一，f 点则( x,切 称x• )线该和的点斜为x• 率相同为平时面dd为的xx 零奇xx，•点即f有(•x••xx•, x0)ddxx•
迹簇，而由一簇相轨迹所组成的图形称为相平面图。
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❖ 二、相轨迹的绘制
绘制相轨迹的关键在于找出 x 和 x 的关系
（1）解析法
用求解微分方程的办法找出 x, x的关系，从而可在相平面上绘制相
轨迹，这种方法称为解析法。解析法分为： a.消去参变量t
由 x f (x, x)直接解出 x(t) ，通过求导得到 x. (t) 。在这两个解中消去作
为参变量的t，就得到x, x 的关系。
例 设描述系统的微分方程为 &x& M 0 其中 M 为常量，已知初始条件 x&(0) 0, x(0) x 。求其相轨迹。
解：
&x& M ， 积分有 x& Mt (1) 再积分一次有
x xo 1 Mt 2
(2)
由 (1),(2) 式消去
2 t有
3
本质非线性：不能应用小偏差线性化概念将其线性化。 非本质非线性：可以进行小偏差线性化的非线性特性。 自激振荡：无外作用时非线性系统内部产生的稳定的等幅振
荡称为自激振荡，简称自振荡。
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❖ 二、非线性系统的特征
（1）齐次性和叠加定理：线性系统的最大特点是它具有可叠 加性和齐次性，但对于非线性系统，这个特点不再具有。
可找出 x xo 的关系
在上式中 由
&& x
M
可有
d x&
M
dx x&
x& d x& Mdx
积分有
1 x& 2 M ( x x o ) 2
x& 2 2 M ( x x o )
可见两种方法求出的相轨迹是相同的。
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（2）图解法
等倾线：在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线。
原理：
&x& f ( x, x )
因
&x& x& dx&
故有 式中
d x& dx
d x& dx
dx
f ( xx&, x& )
为相轨迹在某一点的切线的斜率，令a
d x& dx
，则
a
•
取相轨迹切线的I斜率为某一常数
a
•
，得等倾线方程 x
f (x, x) a
f
( x, x&) x&
当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其切线的斜率都相等，均为 a .
如对某些系统，死区的存在会抑止其振荡；而对另一些系统， 死区又能导致其产生自激振荡。
3）死区能滤去从输入端引入的小幅值干扰信号，提 高了系统抗扰动的能力。
4）当系统的输入信号为阶跃、斜坡等函数时，死区 的存在会引起系统输出在时间上的滞后。
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（3）继电器特性
其数学表达式为
0
y bsi0gnx
b
x(t
)
1
x0et x0 x0et
x(t)
1
ln x0
0
x0 1
(8-2)
t
图8-1 一阶非线性系统
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（4）非线性系统在正弦信号作用下，其输出存在极其复 杂的情况：
（a）跳跃谐振和多值响应
图8-2 所示的非线性弹簧输出的幅频特性。
A() 1. 2 2
4
3
4 .5
图8-2 跳跃谐振与多值响应
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(b)分频振荡和倍频振荡 非线性系统在正弦信号作用下，其稳态分量除产生同频
✓饱和特性
✓不灵敏区（死区特性）
✓间隙特性
✓继电特性
✓摩擦特性
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（1)饱和特性
k e(t )
x(t)
k asigne(t )
e(t) a
signe(t
)
1 1
e(t) a
e(t) 0 e(t) 0
饱和特性
饱和特性的等效增益
饱和特性在铁磁元件及各种放大器中都存在，其特点是当 输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输入信号变化，而 是保持某一常值。
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（4）间隙（滞环）特性
ke(t) e0 x(t) ke(t) e0
bsigne(t)
.
X(t)>0
.
X(t)<0