第二章 第二节 常见离散型随机变量的分布
二、二项分布 （ 一 ） n 重 伯 努 利 试 验 (n-fold Bernoulli trials) 将伯努利试验独立地重复进行n 次就 称为 n 重伯努利试验。
第章 第二节 常见离散型随机变量的分布
n 重伯努利试验的特点： （1）只有两个结果，要么 A 发生， 要么 A 不发生； （2）每次试验事件 A 发生的概率都 等于p。 （3）n 次试验之间是相互独立的；
Pn (k ) C p q
k n k
nk
(k 0,1,, n)
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(二) 二项分布(binomial distribution) 若随机变量 X 的概率函数为
P( X k ) C p q
k n k nk
(k 0,1,, n)
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雅各 .伯努利(Bernoulli Jacob)瑞士 数学家，他在十七世纪末，在重复独立 试验概率模型研究方面，做了大量的工 作，以他命名的Bernoulli 分布是概率论 中最基本，也是最重要的分布，在它的 基础上，发展了 Poisson 分布，Normal 分布。
三、Poisson分布 四、超几何分布
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一、二点分布 （一）伯努利试验(Bernoulli trials) 进行一次试验，如果我们只关心某 事件A发生还是不发生，试验结果 只有两个，A和 A ，令
P( A) p, P( A) 1 p q,
这样的试验就称为伯努利试验。
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分布函数 设 X 是一随机变量，x 是 任意的一个实数，则函数 F(x)=P(Xx) 称为随机变量 X 的分布函数。 分布函数适用于离散型和连续型
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对离散型随机变量：
对于任意实数x1, x2 ( x1 < x2),
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问题：在一次试验中，事件A发 生的概率为p,则在n次独立重复的 试验中，事件A恰好发生k次的概 率为多少？
答案：事件A恰好发生k次的概率
Pn (k ) C p q
k n k
nk
(k 0,1,, n)
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例 设随机变量X的分布律为： X P 3 4 5 1/10 3/10 6/10
求X的分布函数，并求P(X7/2)， P(3 <X9/2), P(3 X9/2)
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第二节 常见离散型 随机变量的分布
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一、二点分布
二、二项分布
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Poisson 定理 设 是一常数，n是任意正整数， 设npn ，则对于任意固定的非负整数
k，有
当n很大，且p很小时，令 np 则
(一般要求n≥10, p≤0.1)
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例 据以往经验，新生儿染色体异常 率为1%，试求100名新生儿中有0、 1、2个染色体异常的概率？
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(二)、二点分布(two point distribution)
在伯努利试验中，分别用0,1表示事 件A发生与不发生，这样X就是一个只能 取0或1的随机变量，其概率分布为： X P 0 1 p 1 p
其中0<p<1，则称 X 服从参数为 p 的二 点分布或0-1分布。
例 射击，n=3,k=2,用Ai表示“第i 次射中”，记B为射击3次恰好击 中2次，求P(B)
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n 重伯努利试验的计算公式 在 n 重伯努利试验中，事件 A 发生的概率为 p ，不发生的概率为 q=1p，则在 n 次独立重复试验中， 事件 A 恰好发生 k 次（0≤k≤n）的 概率为：
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解： 有反应的人数X服从二项分布
P( X k )
0
1
2
3
4
5
X k
0.59049 0.32805 0.72090 0.00810 0.00045 0.00001
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例 据以往经验，新生儿染色体异常率 为1%，试求100名新生儿中有0、1、2 个染色体异常的概率？ 解：n=100,p=0.01则100名新生儿中 发生染色体异常例数的概率为
k n k n k
0
n
（ 2） P ( X k ) C
k 0 k 0


k n
p q
k
nk
( p q) 1
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例 据报道，有10％的人对某药有 胃肠道反应。为考察某厂的产品质 量，现任选5人服用此药。试求： （1）k 个人有反应的概率 （k=0,1,2,3,4,5）； （2）不多于2人有反应的概率； （3）有人有反应的概率。
则称 X 服从参数为 n,p 的二项分布， 记为 X~B(n,p)。
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P( X k ) C p q
k n k
n k
n 恰好是二项展开式(p+q) 的通项
显然，二项分布满足离散型变量 分布律的条件：
（1）P ( X k ) C p q
解：n=100,p=0.01则100名新生儿 中发生染色体异常例数的概率为
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三.Poisson 分布(Poisson distribution) 若随机变量 X 的概率函数为 k P( X k ) e ( 0, k 0,1,2,) k! 则称 X 服从参数为 的 Poisson 分布， 记作 X~P()。
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显然，泊松分布满足离散型变量 分布律的条件：
（ 1） P ( X k )


k
P( X k ) （ 2） k 0 k 0