隐形圆问题
第一讲 “形”现“圆”形
问题 如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝2，点P 为等腰直角三角形ABC 所在平面内一点，且满足PA ⊥PB ，则PC 的取值范围是__________
．1⎤⎦
分析 本题因为点P 满足PA ⊥PB 即∠APB ＝90°，根据直径所对的圆周角是直角，可知点P 在以AB 为直径的圆上运动，点P 的运动轨迹是一个圆， 要求PC 的取值范围，利用PC 与圆心O 三点共线时取得最值，即可解决．可以发现，这里隐藏着一个圆，像这样的问题，我们称为“隐形圆”问题，本题利用初中的平面几何的知识即可解决．
变式1 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的方程为y ＝kx ，直线l 2的方程为x +ky -2k =0，若l 1与l 2的交点为P ，定点(20)C ，，则PC 的取值范围是__________
．1⎤⎦
分析 可以发现直线l 1与l 2是互相垂直的，直线l 1经过原点O （B ），直线l 2经过定点(02)A ，，P 的轨迹是以AB 为直径的圆（不含A 点），于是本题就转换为上述问题，其平面几何背景即为上述问题． 变式2（2017年南京二模）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2： x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离
A
B C P 变式1
的最大值为__________
．分析 直线l 1过定点(02)A ，，直线l 2过定点(20)B ，，AB
＝，P 的轨迹是以AB 为直径的圆（不含原点），其圆心为C (1，1)
，到直线的距离为P 到直线x －y －4＝0的距
离的最大值为+
＝
圆是高中数学中一种简单但又非常重要的曲线，近几年高考题和高考模拟题中，经常会出现一类有关圆的题目，这类题目在条件中没有直接给出有关圆方面的信息，而是以隐性的形式出现，但我们通过分析和转化，最终都可以利用圆的知识求解．
这类题目构思巧妙，综合性强,，充分考查了学生的数形结合、转化和化归等数学思想方法，处理这类题目关键在于能否把"隐形圆"找出来．
圆作为几何图形，找“隐形圆”的一个角度可以从“形”的角度来发现． 策略一 由圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆
例1（1）如果圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是________．6
05
a -<<
【解】到原点的距离为1的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知圆相
交，从而有13，解得6
05
a -<<．
（2）（2016年南京二模）已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则a 的取值范围为_________
．22a +
≤
例1（1）。