【考纲要求】
1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质． 2．了解抛物线的简单应用．
【考向分析】
抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，直线与抛物线的位置关系是考查的热点．
【高考预测】
抛物线好多年未考，需注意。考查方向为直线与抛物线的位置关系，尤其相切是考查重点.
【迎考策略】
1、“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求 解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
2t
|
2t 4 t 2
|
t
2
1
2t
4
2t 3t 2
2
2
|
|
2 t
2t
|
t4 1
t2 2
2
.
t4 1
令 m t2 2 ，则m>0，
S1 S2
2
m2
m 4m 3
2
m
1 3
4
m
2
1
1
3
.
2 m 3 4
2
m
当 m 3 时， S1 取得最小值1 3 ，此时G（2，0）．
S2
2
5．设顶点在原点，焦点在 x 轴上的拋物线过点 P 2, 4 ，过 P 作抛物线的动弦 PA, PB ，并设它们的斜
（1）求抛物线 C 的标准方程； （2）求过点 F，且与直线 OA 垂直的直线的方程；
（3）设过点 M m, 0 (m 0) 的直线交抛物线 C 于 D、E 两点，ME=2DM，记 D 和 E 两点间的距离为 f m ，求 f m 关于 m 的表达式。
【答案】 【解析】
冲刺 2020 高考 提分必备
抛物线 C 的方程为： y2 4x .
（2）由（1）得： B(4, 4) ， F (1, 0) ，淮线方程 x 1 ，
直线 l 的方程： y 4 (x 1) ， 3
由
y
4 3
(x
1)
解得
x
1
或
x
4 ，于是得
A( 1
, 1)
.
y2 4x
4
4
设点 P( n2 , n) ，又题意 n 1 且 n 4 , 4
t,
t
2
1 2
.
冲刺 2020 高考 提分必备
由于 EM AB ，而 EM t,t2 2 ， AB 与向量 (1, t) 平行，所以 t t2 2 t 0 .解得t=0或
t 1.
当 t =0时，S=3；当 t 1时， S 4 2 .
因此，四边形ADBE的面积为3或 4 2 .
①由
消去 得
因为 P 和 Q 是抛物线 C 上的相异两点，所以
冲刺 2020 高考 提分必备
从而
，化简得
.
方程（*）的两根为
因为
在直线 上，所以
因此，线段 PQ 的中点坐标为
②因为
在直线
所以
，即
，从而 上
由①知
，于是
，所以
因此 的取值范围为 2、【2009 江苏，22】（本题满分 10 分）
在平面直角坐标系 xoy 中，抛物线 C 的顶点在原点，经过点 A（2，2），其焦点 F 在 x 轴上。
3．【2019 年高考北京卷理数】已知抛物线 C：x2=−2py 经过点（2，−1）． （1）求抛物线 C 的方程及其准线方程； （2）设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M，N，直线 y=−1
分别交直线 OM，ON 于点 A 和点 B．求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点．
n)
，则
DA
x1 y1
, 1
n,
DB
x2 y2
, 1
n
，
DA DB x1x2 (n 1)2 y1 y2
冲刺 2020 高考 提分必备
x1x2
(n 1)2
x12 4
x22 4
16 (n 1)2 x1x2
4 (n 1)2 .
令 DA DB 0 ，即 4 (n 1)2 0 ，则 n 1 或 n 3 . 综上，以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的定点 (0,1) 和 (0, 3) . 4．【2019 年高考浙江卷】如图，已知点 F (1，0) 为抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点，过点 F 的直线交抛 物线于 A、B 两点，点 C 在抛物线上，使得△ABC 的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q，且 Q 在点 F 的右侧．记△AFG,△CQG 的面积分别为 S1, S2 ．
28
3
【解析】设直线 l
:
y
3 2
x
t,
A x1,
y1 ,
B
x2,
y2
．
（1）由题设得
F
3 4
,
0
，故
|
AF
|
|
BF
|
x1
x2
3 2
，由题设可得
x1
x2
5 2
．
由
y 3 x 2 y2 3x
t
，可得 9x2
12(t
1) x
4t 2
0
，则
x1
x2
12(t 1) 9
．
从而 12(t 1) 5 ，得 t 7 ．
【答案】（1） y2 4x （2）见证明
【解析】
（1）由题意得： F ( p , 0) ， 2
因为点 B 的横坐标为 4，且 B 在 x 轴的上方，
所以 B(4, 8 p ) ， 因为 AB 的斜率为 4 ，
3
所以
8p 4 p
4 3
，整理得：
p
3
2
p 80，
2
即 ( p 2)( p 4 2) 0 ，得 p 2 ，
故直线AB的方程为 2tx 2 y 1 0 .
所以直线AB过定点 (0, 1 ) . 2
（2）由（1）得直线AB的方程为 y tx 1 . 2
由
y y
tx
x2 2
1 2
，可得
x2
2tx
1
0
.
于是 x1 x2 2t, x1x2 1, y1 y2 t x1 x2 1 2t 2 1，
因拋物线过点 2, 4 ，故 42 4 p, p 4 ，拋物线的方程为 y2 8x .
（2）设 A x1, y1 , B x2 , y2 ，则 kPA
y1 4 x1 2
y1 4 y12 2
8 y1 4 ，
8
同理 kPB
y
8 2
4
,
k
AB

8 y1 y2
,
kPA
kPB
0,
8 y1
【答案】（1）见详解；（2）3 或 4 2 .
【解析】（1）设
D
t,
1 2
,
A x1, y1 ，则 x12 2 y1 .
由于
y'
x
，所以切线DA的斜率为
x1
，故
y1
1 2
x1 t
x1
.
整理得 2 tx1 2 y1+1=0.
设 B x2 , y2 ，同理可得 2tx2 2 y2 +1=0 .
0
，得
C
1 t
t
2
,
2
1 t
t
,
G
2t 4
2t2 3t 2
2
,0
.
所以，直线AC方程为 y 2t 2t x t2 ，得 Q t2 1, 0 .
由于Q在焦点F的右侧，故 t2 2 .从而
S1 S2
1 2
|
FG
|
yA
1 2
| QG
|
yc
2t 4
2t2 3t 2
2
1
|
4
8 y2
4
0 ,
y1
4
y2
4,
y1
y2
8
kAB 1，即直线 AB 的斜率恒为定值，且值为 1.
冲刺 2020 高考 提分必备
（3）
.
直线
AB 的方程为
y
y1
8 y1
y2
x
y12 8
，即
y1
y2 y
y1 y2
8x .
将 y1 y2 4 y1 y2 48 代入上式得
y1 y2 y 4 8 x 6 即为直线 AB 的方程，
（2）已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q.
①求证：线段 PQ 的中点坐标为
；
②求 p 的取值范围.
【答案】（1）
（2）①详见解析，②
【解析】
解：（1）抛物线
的焦点为
由点 在直线 所以抛物线 C 的方程为
上，得
，即
（2）设
，线段 PQ 的中点
因为点 P 和 Q 关于直线 对称，所以直线 垂直平分线段 PQ， 于是直线 PQ 的斜率为 ，则可设其方程为
率分别为 DC .
（1）求拋物线的方程；
（2）若 kPA kPB 0 ，求证：直线 AB 的斜率为定值，并求出其值；
（3）若 kPAkPB 1，求证：直线 AB 恒过定点，并求出其坐标.
【答案】（1） y2 8x ；（2）证明见解析， 1；（3）证明见解析， 6, 4 .
【解析】
（1）依题意，可设所求拋物线的方程为 y2 2 px p 0 ,
冲刺 2020 高考 提分必备
高考冲刺 提分必备 2020 年江苏省高考数学专项训练-真题解析
专题 22 抛物线