例析三角函数中“1”的代换
石阡县第三高中 张军
三角函数是中学数学教材中一种重要的函数，它又是研究其他各类知识的重要工具。

凡是与三角函数有关的问题，都以恒等变形为研究手段。

三角式的变形，包括三角式的化简、求三角式的值、证明恒等式和三角不等式等内容。

特别是三角式的求值、化简是三角函数的重要内容。

在三角函数中，“1”的代换有：βαcot tan 1⋅=，αα22cos sin 1+=， 45tan 1=，1cos sec =⋅αα，1sin csc =⋅αα等等。

在具体的三角变换过程中，常根据题目不同特征选择不同的变换方式，若能把常数“1”恰当处理并灵活运用常会有意想不到的惊喜。

下面举例说明。

例1、 已知
11
tan tan -=-αα
，求2cos sin sin 2++ααα的值。

分析：本题若常规思想，可由已知先求出αtan ，再由同角三角函数关系求得αsin 和αcos ，进而求出关系式的值，这种思想简单直接，
但运用起来却很繁琐、费力，若借助题目条件的特殊性整体考虑，将“αααcos sin sin 2+”的分母“1”看做αα2
2cos sin +直接转化为tan α的关系式求解救容易多了。

解：由已知得2
1tan =α。

2
cos sin sin 2++ααα
5132121212121tan tan tan 2cos sin cos sin sin 2
2
22222=++⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪
⎭⎫ ⎝⎛=+++=+++=αααααααα 评析：对形如ααcos sin b a +，αααα22cos cos sin sin c b a ++的式子称为关于αsin 、αcos 的齐次式，对涉及他们的三角式通常利用整体考虑的方法求解，使其转化为只含有正切的式子。

例2 证明： αααα2222sin tan sin tan =-
分析：本题可以由左证到右，或者由右证到左。

无论哪种方式都需要利用“1”的代换，下面我们一起来看看这两种方式，自己来体会。

解：方法一（由右到左）
右边=()ααααα22222cos tan tan cos 1tan -=-
=αααα
α
α222222
sin tan cos cos sin tan -=-=左边
因此 αααα2222sin tan sin tan =-
方法二（由左到右）
左边=()
1sec sin 1cos 1sin sin cos sin 2
22
2222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-ααααααα ==αα22tan sin 右边
因此αααα2222sin tan sin tan =-
例3、求函数()x
x
x x x x f 2sin 2cos sin cos sin 2244-++=的最小正周期、最大
值和最小值。

分析：由所给式子x x x x 2244cos sin cos sin ++可联想()2
22cos sin 1x x +=。

解 ()()
x x x
x x x x f cos sin 22cos sin cos sin 222
22
--+=
：
()()2
12sin 41cos sin 121
cos sin 12cos sin 122+=+=--=
x x x x x x x
所以函数f(x)的最小正周期是π，最大值是43最小值是4
1。

例4、化简x
x x
x 6644sin cos 1sin cos 1----
分析：所给三角函数式分子、分母次数都较高，应将高次项化去，可考虑将x x 44sin cos +配方利用1cos sin 22=+x x ，达到将次的目的，对x x 66cos sin +变形为
()()()()x x x x x x x x 4224223
232cos cos sin sin cos sin cos sin +-⋅+=+……
去“降次”；或将分子中的“1”换为()2
22cos sin x x +将分母中的“1”
换成()3
22cos sin x x +，展开消去高次项，下面用后一种思路化简。

解：原式=()()()
3
2
cos sin sin cos 3sin cos 2sin cos
cos sin
cos sin cos sin
22222
2
66
3
2
2
44222=
+=
--+--+x x x x x x x
x x x x x x x
评注：()()Z n x x x x n
∈+=+=2
2
22cos sin cos sin 1，
“1”的代换在三角函数的变形中有着广泛的应用，还可用于降幂、升幂。

“1”的代换应用是一个重要内容，利用它能使运算由繁变简，
提高解题速度，但是这种题变换万千，要想能灵活解决还需要积累解题经验，参透其中的奥秘。